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23. (11分)定义:有一组对角互余的四边形叫作对余四边形。
理解:(1)若四边形ABCD是对余四边形,则∠A与∠C的度数之和为。
证明:(2)如图19①,MN是⊙O的直径,点A,B,C在⊙O上,AM,CN相交于点D。求证:四边形ABCD是对余四边形。
探究:(3)如图19②,在对余四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=60°,探究线段AD,CD和BD之间有怎样的数量关系。写出猜想,并说明理由。
理解:(1)若四边形ABCD是对余四边形,则∠A与∠C的度数之和为。
证明:(2)如图19①,MN是⊙O的直径,点A,B,C在⊙O上,AM,CN相交于点D。求证:四边形ABCD是对余四边形。
探究:(3)如图19②,在对余四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=60°,探究线段AD,CD和BD之间有怎样的数量关系。写出猜想,并说明理由。
答案
解：(1) $90°$
(2) 证明：连接$AN$。
$\because MN$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ MAN=90°$，即$∠ DAN=90°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ADN$中，$∠ ADN + ∠ AND=90°$。
$\because ∠ ABC$和$∠ ANC$都是弧$AC$所对的圆周角，
$\therefore ∠ ABC=∠ AND$，
$\therefore ∠ ABC + ∠ ADC=90°$，
$\therefore$ 四边形$ABCD$有一组对角互余，即四边形$ABCD$是对余四边形。
(3) 猜想：$AD^2 + CD^2 = BD^2$，理由如下：
将$△ ABD$绕点$B$顺时针旋转$60°$，使$AB$与$BC$重合，得到$△ CBE$，连接$DE$。
由旋转的性质得：$AD=CE$，$BD=BE$，$∠ ABD=∠ CBE$，$∠ BAD=∠ BCE$，
$\therefore ∠ DBE=∠ DBC + ∠ CBE=∠ DBC + ∠ ABD=∠ ABC=60°$，
又$\because BD=BE$，
$\therefore △ BDE$是等边三角形，
$\therefore DE=BD$。
$\because$ 四边形$ABCD$是对余四边形，且$∠ ABC=60°$，
$\therefore ∠ ADC=90° - ∠ ABC=30°$，
由四边形内角和为$360°$得：
$∠ BAD + ∠ BCD=360° - ∠ ABC - ∠ ADC=360° - 60° - 30°=270°$，
$\therefore ∠ BCE + ∠ BCD=270°$，
$\therefore ∠ DCE=360° - (∠ BCE + ∠ BCD)=90°$，
$\therefore △ DCE$是直角三角形。
由勾股定理得：$CE^2 + CD^2 = DE^2$，
又$\because CE=AD$，$DE=BD$，
$\therefore AD^2 + CD^2 = BD^2$。
(2) 证明：连接$AN$。
$\because MN$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ MAN=90°$，即$∠ DAN=90°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ADN$中，$∠ ADN + ∠ AND=90°$。
$\because ∠ ABC$和$∠ ANC$都是弧$AC$所对的圆周角，
$\therefore ∠ ABC=∠ AND$，
$\therefore ∠ ABC + ∠ ADC=90°$，
$\therefore$ 四边形$ABCD$有一组对角互余，即四边形$ABCD$是对余四边形。
(3) 猜想：$AD^2 + CD^2 = BD^2$，理由如下：
将$△ ABD$绕点$B$顺时针旋转$60°$，使$AB$与$BC$重合，得到$△ CBE$，连接$DE$。
由旋转的性质得：$AD=CE$，$BD=BE$，$∠ ABD=∠ CBE$，$∠ BAD=∠ BCE$，
$\therefore ∠ DBE=∠ DBC + ∠ CBE=∠ DBC + ∠ ABD=∠ ABC=60°$，
又$\because BD=BE$，
$\therefore △ BDE$是等边三角形，
$\therefore DE=BD$。
$\because$ 四边形$ABCD$是对余四边形，且$∠ ABC=60°$，
$\therefore ∠ ADC=90° - ∠ ABC=30°$，
由四边形内角和为$360°$得：
$∠ BAD + ∠ BCD=360° - ∠ ABC - ∠ ADC=360° - 60° - 30°=270°$，
$\therefore ∠ BCE + ∠ BCD=270°$，
$\therefore ∠ DCE=360° - (∠ BCE + ∠ BCD)=90°$，
$\therefore △ DCE$是直角三角形。
由勾股定理得：$CE^2 + CD^2 = DE^2$，
又$\because CE=AD$，$DE=BD$，
$\therefore AD^2 + CD^2 = BD^2$。
解析
【分析】
(1) 直接利用对余四边形的定义：有一组对角互余的四边形是对余四边形，互余两角的和为90°，即可直接得出结果。
(2) 要证明四边形ABCD是对余四边形，需证其一组对角的和为90°。由MN是⊙O的直径，联想到直径所对的圆周角为直角，因此连接AN构造直角三角形，再结合同弧所对的圆周角相等进行角的等量代换，即可得到一组对角和为90°，完成证明。
(3) 已知AB=BC且∠ABC=60°，可通过旋转将△ABD绕点B顺时针旋转60°，使AB与BC重合，构造全等三角形和等边三角形，再结合对余四边形的性质推导出直角三角形，最后利用勾股定理即可得出三条线段的数量关系。
【解析】
(1) 根据对余四边形的定义，一组对角互余，因此∠A与∠C的度数之和为$90°$。
(2) 证明：连接$AN$。
$\because MN$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ MAN=90°$，即$∠ DAN=90°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ADN$中，$∠ ADN + ∠ AND=90°$。
$\because ∠ ABC$和$∠ ANC$都是弧$AC$所对的圆周角，
$\therefore ∠ ABC=∠ AND$，
$\therefore ∠ ABC + ∠ ADC=90°$，
$\therefore$ 四边形$ABCD$有一组对角互余，即四边形$ABCD$是对余四边形。
(3) 猜想：$AD^2 + CD^2 = BD^2$，理由如下：
将$△ ABD$绕点$B$顺时针旋转$60°$，使$AB$与$BC$重合，得到$△ CBE$，连接$DE$。
由旋转的性质得：$AD=CE$，$BD=BE$，$∠ ABD=∠ CBE$，$∠ BAD=∠ BCE$，
$\therefore ∠ DBE=∠ DBC + ∠ CBE=∠ DBC + ∠ ABD=∠ ABC=60°$，
又$\because BD=BE$，
$\therefore △ BDE$是等边三角形，
$\therefore DE=BD$。
$\because$ 四边形$ABCD$是对余四边形，且$∠ ABC=60°$，
$\therefore ∠ ADC=90° - ∠ ABC=30°$，
由四边形内角和为$360°$得：
$∠ BAD + ∠ BCD=360° - ∠ ABC - ∠ ADC=360° - 60° - 30°=270°$，
$\therefore ∠ BCE + ∠ BCD=270°$，
$\therefore ∠ DCE=360° - (∠ BCE + ∠ BCD)=90°$，
$\therefore △ DCE$是直角三角形。
由勾股定理得：$CE^2 + CD^2 = DE^2$，
又$\because CE=AD$，$DE=BD$，
$\therefore AD^2 + CD^2 = BD^2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{90°}$
(2) 四边形ABCD是对余四边形，证明见解析；
(3) $\boldsymbol{AD^2 + CD^2 = BD^2}$，理由见解析。
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 旋转的性质
3. 勾股定理
【点评】
本题为新定义类几何综合题，从新定义的理解应用出发，逐步结合圆的性质、几何变换、特殊三角形的判定与性质等知识点，难度层层递进，能有效考查几何逻辑推理能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 直接利用对余四边形的定义：有一组对角互余的四边形是对余四边形，互余两角的和为90°，即可直接得出结果。
(2) 要证明四边形ABCD是对余四边形，需证其一组对角的和为90°。由MN是⊙O的直径，联想到直径所对的圆周角为直角，因此连接AN构造直角三角形，再结合同弧所对的圆周角相等进行角的等量代换，即可得到一组对角和为90°，完成证明。
(3) 已知AB=BC且∠ABC=60°，可通过旋转将△ABD绕点B顺时针旋转60°，使AB与BC重合，构造全等三角形和等边三角形，再结合对余四边形的性质推导出直角三角形，最后利用勾股定理即可得出三条线段的数量关系。
【解析】
(1) 根据对余四边形的定义，一组对角互余，因此∠A与∠C的度数之和为$90°$。
(2) 证明：连接$AN$。
$\because MN$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ MAN=90°$，即$∠ DAN=90°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ADN$中，$∠ ADN + ∠ AND=90°$。
$\because ∠ ABC$和$∠ ANC$都是弧$AC$所对的圆周角，
$\therefore ∠ ABC=∠ AND$，
$\therefore ∠ ABC + ∠ ADC=90°$，
$\therefore$ 四边形$ABCD$有一组对角互余，即四边形$ABCD$是对余四边形。
(3) 猜想：$AD^2 + CD^2 = BD^2$，理由如下：
将$△ ABD$绕点$B$顺时针旋转$60°$，使$AB$与$BC$重合，得到$△ CBE$，连接$DE$。
由旋转的性质得：$AD=CE$，$BD=BE$，$∠ ABD=∠ CBE$，$∠ BAD=∠ BCE$，
$\therefore ∠ DBE=∠ DBC + ∠ CBE=∠ DBC + ∠ ABD=∠ ABC=60°$，
又$\because BD=BE$，
$\therefore △ BDE$是等边三角形，
$\therefore DE=BD$。
$\because$ 四边形$ABCD$是对余四边形，且$∠ ABC=60°$，
$\therefore ∠ ADC=90° - ∠ ABC=30°$，
由四边形内角和为$360°$得：
$∠ BAD + ∠ BCD=360° - ∠ ABC - ∠ ADC=360° - 60° - 30°=270°$，
$\therefore ∠ BCE + ∠ BCD=270°$，
$\therefore ∠ DCE=360° - (∠ BCE + ∠ BCD)=90°$，
$\therefore △ DCE$是直角三角形。
由勾股定理得：$CE^2 + CD^2 = DE^2$，
又$\because CE=AD$，$DE=BD$，
$\therefore AD^2 + CD^2 = BD^2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{90°}$
(2) 四边形ABCD是对余四边形，证明见解析；
(3) $\boldsymbol{AD^2 + CD^2 = BD^2}$，理由见解析。
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 旋转的性质
3. 勾股定理
【点评】
本题为新定义类几何综合题，从新定义的理解应用出发，逐步结合圆的性质、几何变换、特殊三角形的判定与性质等知识点，难度层层递进，能有效考查几何逻辑推理能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
