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21. (10分)如图17,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的半圆O交AB于点D,过点D作圆O的切线,交BC于点E,F是半圆上异于点D的任一动点。
(1)求证:OE//AB。
(2)填空:①若AD=4√2,BD=2√2,则四边形OEBD的面积为;
②当∠B的度数为时,以A,O,D,F为顶点的四边形为菱形。
(1)求证:OE//AB。
(2)填空:①若AD=4√2,BD=2√2,则四边形OEBD的面积为;
②当∠B的度数为时,以A,O,D,F为顶点的四边形为菱形。
答案
(1) 证明：
连接OD。
∵ DE是半圆O的切线，
∴ $OD⊥ DE$，即 $∠ ODE=90°$。
又 $\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ OCE=∠ ODE=90°$。
$\because OD=OC$，$OE=OE$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ ODE ≌ \mathrm{Rt}△ OCE \ (\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ DOE=∠ COE$。
$\because OA=OD$，
$\therefore ∠ OAD=∠ ODA$。
由三角形外角性质得 $∠ DOC=∠ OAD+∠ ODA=2∠ OAD$，
又 $∠ DOC=∠ DOE+∠ COE=2∠ COE$，
$\therefore 2∠ COE=2∠ OAD$，即 $∠ COE=∠ CAB$，
$\therefore OE// AB$。
---
(2) 填空：
① $\boldsymbol{5\sqrt{2}}$；
② $\boldsymbol{30°}$。
连接OD。
∵ DE是半圆O的切线，
∴ $OD⊥ DE$，即 $∠ ODE=90°$。
又 $\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ OCE=∠ ODE=90°$。
$\because OD=OC$，$OE=OE$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ ODE ≌ \mathrm{Rt}△ OCE \ (\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ DOE=∠ COE$。
$\because OA=OD$，
$\therefore ∠ OAD=∠ ODA$。
由三角形外角性质得 $∠ DOC=∠ OAD+∠ ODA=2∠ OAD$，
又 $∠ DOC=∠ DOE+∠ COE=2∠ COE$，
$\therefore 2∠ COE=2∠ OAD$，即 $∠ COE=∠ CAB$，
$\therefore OE// AB$。
---
(2) 填空：
① $\boldsymbol{5\sqrt{2}}$；
② $\boldsymbol{30°}$。
解析
【分析】
(1) 要证OE//AB，可通过证明同位角∠COE=∠CAB实现。遇到切线问题先连接切点与圆心得到垂直关系，因此连接OD，先利用HL证明Rt△ODE和Rt△OCE全等得到角相等，再结合等腰三角形性质、三角形外角定理进行角的等量代换，即可推出同位角相等，证得平行。
(2) ① 先根据直径所对圆周角为直角得到CD⊥AB，利用相似三角形的射影定理求出CD、AC、BC的长度，结合(1)的结论可知OE是△ABC的中位线，即E为BC中点，再通过面积和差计算四边形OEBD的面积。② 要使以A,O,D,F为顶点的四边形为菱形，需四边相等，结合OA=OD为半径，可得△AOD为等边三角形，求出∠BAC的度数后，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠B的度数。
【解析】
(1) 证明：
连接OD。
∵ DE是半圆O的切线，
∴ $OD⊥ DE$，即 $∠ ODE=90°$。
又 $\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ OCE=∠ ODE=90°$。
$\because OD=OC$，$OE=OE$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ ODE ≌ \mathrm{Rt}△ OCE \ (\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ DOE=∠ COE$。
$\because OA=OD$，
$\therefore ∠ OAD=∠ ODA$。
由三角形外角性质得 $∠ DOC=∠ OAD+∠ ODA=2∠ OAD$，
又 $∠ DOC=∠ DOE+∠ COE=2∠ COE$，
$\therefore 2∠ COE=2∠ OAD$，即 $∠ COE=∠ CAB$，
$\therefore OE// AB$。
(2) ① 解：连接CD，
∵ AC为半圆O的直径，
∴ $∠ ADC=90°$，即$CD⊥AB$。
$AB=AD+BD=4\sqrt{2}+2\sqrt{2}=6\sqrt{2}$，
由$△ ACD ∽ △ ABC ∽ △ CBD$，可得：
$CD^2=AD· BD=4\sqrt{2}× 2\sqrt{2}=16$，解得$CD=4$；
$BC^2=BD· AB=2\sqrt{2}× 6\sqrt{2}=24$，解得$BC=2\sqrt{6}$；
$AC^2=AD· AB=4\sqrt{2}× 6\sqrt{2}=48$，解得$AC=4\sqrt{3}$，故$OC=\frac{AC}{2}=2\sqrt{3}$。
由(1)知$OE//AB$，O为AC中点，
∴ E为BC中点，$CE=\frac{BC}{2}=\sqrt{6}$。
计算面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}× 4\sqrt{3}× 2\sqrt{6}=12\sqrt{2}$；
O是AC中点，故$S_{△ AOD}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× (\frac{1}{2}× AD× CD)=\frac{1}{4}× 4\sqrt{2}× 4=4\sqrt{2}$；
$S_{△ OCE}=\frac{1}{2}× OC× CE=\frac{1}{2}× 2\sqrt{3}× \sqrt{6}=3\sqrt{2}$；
则四边形OEBD的面积$=S_{△ ABC} - S_{△ AOD} - S_{△ OCE}=12\sqrt{2} -4\sqrt{2} -3\sqrt{2}=5\sqrt{2}$。
② 解：若以A,O,D,F为顶点的四边形为菱形，则$AO=AD$，
又
∵ $AO=OD$（都是半圆O的半径），
∴ $AO=OD=AD$，即$△ AOD$为等边三角形，
∴ $∠ BAC=60°$，
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°-∠ BAC=90°-60°=30°$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) ①$\boldsymbol{5\sqrt{2}}$；②$\boldsymbol{30°}$
【知识点】
切线的性质，相似三角形的应用，菱形的判定
【点评】
本题属于圆与三角形的综合题，涵盖了全等三角形判定、平行线判定、直角三角形性质等多个考点，解题时需灵活添加辅助线，结合相关性质进行角的推导和面积的计算，是中考常见的综合题型。
【难度系数】
0.65
(1) 要证OE//AB，可通过证明同位角∠COE=∠CAB实现。遇到切线问题先连接切点与圆心得到垂直关系，因此连接OD，先利用HL证明Rt△ODE和Rt△OCE全等得到角相等，再结合等腰三角形性质、三角形外角定理进行角的等量代换，即可推出同位角相等，证得平行。
(2) ① 先根据直径所对圆周角为直角得到CD⊥AB，利用相似三角形的射影定理求出CD、AC、BC的长度，结合(1)的结论可知OE是△ABC的中位线，即E为BC中点，再通过面积和差计算四边形OEBD的面积。② 要使以A,O,D,F为顶点的四边形为菱形，需四边相等，结合OA=OD为半径，可得△AOD为等边三角形，求出∠BAC的度数后，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠B的度数。
【解析】
(1) 证明：
连接OD。
∵ DE是半圆O的切线，
∴ $OD⊥ DE$，即 $∠ ODE=90°$。
又 $\because ∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ OCE=∠ ODE=90°$。
$\because OD=OC$，$OE=OE$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ ODE ≌ \mathrm{Rt}△ OCE \ (\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ DOE=∠ COE$。
$\because OA=OD$，
$\therefore ∠ OAD=∠ ODA$。
由三角形外角性质得 $∠ DOC=∠ OAD+∠ ODA=2∠ OAD$，
又 $∠ DOC=∠ DOE+∠ COE=2∠ COE$，
$\therefore 2∠ COE=2∠ OAD$，即 $∠ COE=∠ CAB$，
$\therefore OE// AB$。
(2) ① 解：连接CD，
∵ AC为半圆O的直径，
∴ $∠ ADC=90°$，即$CD⊥AB$。
$AB=AD+BD=4\sqrt{2}+2\sqrt{2}=6\sqrt{2}$，
由$△ ACD ∽ △ ABC ∽ △ CBD$，可得：
$CD^2=AD· BD=4\sqrt{2}× 2\sqrt{2}=16$，解得$CD=4$；
$BC^2=BD· AB=2\sqrt{2}× 6\sqrt{2}=24$，解得$BC=2\sqrt{6}$；
$AC^2=AD· AB=4\sqrt{2}× 6\sqrt{2}=48$，解得$AC=4\sqrt{3}$，故$OC=\frac{AC}{2}=2\sqrt{3}$。
由(1)知$OE//AB$，O为AC中点，
∴ E为BC中点，$CE=\frac{BC}{2}=\sqrt{6}$。
计算面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}× 4\sqrt{3}× 2\sqrt{6}=12\sqrt{2}$；
O是AC中点，故$S_{△ AOD}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× (\frac{1}{2}× AD× CD)=\frac{1}{4}× 4\sqrt{2}× 4=4\sqrt{2}$；
$S_{△ OCE}=\frac{1}{2}× OC× CE=\frac{1}{2}× 2\sqrt{3}× \sqrt{6}=3\sqrt{2}$；
则四边形OEBD的面积$=S_{△ ABC} - S_{△ AOD} - S_{△ OCE}=12\sqrt{2} -4\sqrt{2} -3\sqrt{2}=5\sqrt{2}$。
② 解：若以A,O,D,F为顶点的四边形为菱形，则$AO=AD$，
又
∵ $AO=OD$（都是半圆O的半径），
∴ $AO=OD=AD$，即$△ AOD$为等边三角形，
∴ $∠ BAC=60°$，
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°-∠ BAC=90°-60°=30°$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) ①$\boldsymbol{5\sqrt{2}}$；②$\boldsymbol{30°}$
【知识点】
切线的性质，相似三角形的应用，菱形的判定
【点评】
本题属于圆与三角形的综合题，涵盖了全等三角形判定、平行线判定、直角三角形性质等多个考点，解题时需灵活添加辅助线，结合相关性质进行角的推导和面积的计算，是中考常见的综合题型。
【难度系数】
0.65
22. (10分)我们学习过利用尺规作图平分一个任意角,而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题,之后被数学家证明是不可能完成的。人们根据实际需要,发现了一种简易操作工具——三分角器。图18①是它的示意图,其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上,且AB的长度与半圆的半径相等;DB与AC垂直于点B,DB足够长。使用方法如图18②所示,若要把∠MEN三等分,只需适当放置三分角器,使DB经过∠MEN的顶点E,点A落在边EM上,半圆O与另一边EN恰好相切,切点为F,则EB,EO就把∠MEN三等分了。
为了说明这一方法的正确性,需要对其进行证明。如下给出了不完整的“已知”和“求证”,请补充完整,并写出证明过程。
已知:如图18②,点A,B,O,C在同一直线上,EB⊥AC,垂足为B,。
求证:。
为了说明这一方法的正确性,需要对其进行证明。如下给出了不完整的“已知”和“求证”,请补充完整,并写出证明过程。
已知:如图18②,点A,B,O,C在同一直线上,EB⊥AC,垂足为B,。
求证:。
答案
补全已知
$AB=OB$，$EN$与半圆$O$相切于点$F$，点$A$在边$EM$上
补全求证
$∠ MEB=∠ BEO=∠ OEN$（或$EB,EO$把$∠ MEN$三等分）
---
证明：
$\because EB⊥ AC$，
$\therefore ∠ EBA=∠ EBO=90°$。
在$△ ABE$和$△ OBE$中：
$\begin{cases}AB=OB \\∠ EBA=∠ EBO \\EB=EB\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ OBE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ AEB=∠ OEB$，即$∠ MEB=∠ BEO$。
$\because EN$切半圆$O$于点$F$，
$\therefore OF⊥ EN$。
又$\because OB⊥ EB$，且$OB$、$OF$都是半圆$O$的半径，即$OB=OF$，
$\therefore$ 点$O$到直线$EB$的距离等于点$O$到直线$EN$的距离，
由角平分线的判定定理可得：$EO$平分$∠ BEN$，
$\therefore ∠ BEO=∠ OEN$。
$\therefore ∠ MEB=∠ BEO=∠ OEN$，
即$EB,EO$把$∠ MEN$三等分。
$AB=OB$，$EN$与半圆$O$相切于点$F$，点$A$在边$EM$上
补全求证
$∠ MEB=∠ BEO=∠ OEN$（或$EB,EO$把$∠ MEN$三等分）
---
证明：
$\because EB⊥ AC$，
$\therefore ∠ EBA=∠ EBO=90°$。
在$△ ABE$和$△ OBE$中：
$\begin{cases}AB=OB \\∠ EBA=∠ EBO \\EB=EB\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ OBE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ AEB=∠ OEB$，即$∠ MEB=∠ BEO$。
$\because EN$切半圆$O$于点$F$，
$\therefore OF⊥ EN$。
又$\because OB⊥ EB$，且$OB$、$OF$都是半圆$O$的半径，即$OB=OF$，
$\therefore$ 点$O$到直线$EB$的距离等于点$O$到直线$EN$的距离，
由角平分线的判定定理可得：$EO$平分$∠ BEN$，
$\therefore ∠ BEO=∠ OEN$。
$\therefore ∠ MEB=∠ BEO=∠ OEN$，
即$EB,EO$把$∠ MEN$三等分。
解析
【分析】
解题时首先结合题目中三分角器的构造和使用规则补全已知和求证：已知需补充AB和半圆半径相等（即AB=OB）、EN与半圆O相切于F、点A在EM上三个条件；求证需明确EB、EO将∠MEN三等分。证明时分两步推导角相等：第一步先利用SAS证明△ABE与△OBE全等，得到∠MEB=∠BEO；第二步利用切线的性质和角平分线的判定定理，证明EO平分∠BEN，得到∠BEO=∠OEN，联立两个结论即可得证三个角相等，完成三等分的证明。
【解析】
补全已知：
点A,B,O,C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为B，$\boldsymbol{AB=OB}$，$\boldsymbol{EN}$与半圆$\boldsymbol{O}$相切于点$\boldsymbol{F}$，点$\boldsymbol{A}$在边$\boldsymbol{EM}$上。
补全求证：
$\boldsymbol{∠ MEB=∠ BEO=∠ OEN}$（或$\boldsymbol{EB,EO}$把$\boldsymbol{∠ MEN}$三等分）。
证明过程：
$\because EB⊥ AC$，
$\therefore ∠ EBA=∠ EBO=90°$。
在$△ ABE$和$△ OBE$中：
$\begin{cases}AB=OB \\∠ EBA=∠ EBO \\EB=EB\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ OBE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ AEB=∠ OEB$，即$∠ MEB=∠ BEO$。
$\because EN$切半圆$O$于点$F$，
$\therefore OF⊥ EN$。
又$\because OB⊥ EB$，且$OB$、$OF$都是半圆$O$的半径，即$OB=OF$，
$\therefore$ 点$O$到直线$EB$的距离等于点$O$到直线$EN$的距离，
根据角平分线的判定定理可得：$EO$平分$∠ BEN$，
$\therefore ∠ BEO=∠ OEN$。
$\therefore ∠ MEB=∠ BEO=∠ OEN$，
即$EB,EO$把$∠ MEN$三等分。
【答案】
已知补充：$AB=OB$，$EN$与半圆$O$相切于点$F$，点$A$在边$EM$上；
求证补充：$∠ MEB=∠ BEO=∠ OEN$（或$EB,EO$把$∠ MEN$三等分）；
证明过程见上述解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；切线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题以数学史上经典的“三等分角”问题为背景，结合实用工具的操作原理命题，将生活应用与几何证明相结合，既考查了学生对核心几何知识点的掌握情况，也能有效锻炼学生的逻辑推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.65
解题时首先结合题目中三分角器的构造和使用规则补全已知和求证：已知需补充AB和半圆半径相等（即AB=OB）、EN与半圆O相切于F、点A在EM上三个条件；求证需明确EB、EO将∠MEN三等分。证明时分两步推导角相等：第一步先利用SAS证明△ABE与△OBE全等，得到∠MEB=∠BEO；第二步利用切线的性质和角平分线的判定定理，证明EO平分∠BEN，得到∠BEO=∠OEN，联立两个结论即可得证三个角相等，完成三等分的证明。
【解析】
补全已知：
点A,B,O,C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为B，$\boldsymbol{AB=OB}$，$\boldsymbol{EN}$与半圆$\boldsymbol{O}$相切于点$\boldsymbol{F}$，点$\boldsymbol{A}$在边$\boldsymbol{EM}$上。
补全求证：
$\boldsymbol{∠ MEB=∠ BEO=∠ OEN}$（或$\boldsymbol{EB,EO}$把$\boldsymbol{∠ MEN}$三等分）。
证明过程：
$\because EB⊥ AC$，
$\therefore ∠ EBA=∠ EBO=90°$。
在$△ ABE$和$△ OBE$中：
$\begin{cases}AB=OB \\∠ EBA=∠ EBO \\EB=EB\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ OBE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ AEB=∠ OEB$，即$∠ MEB=∠ BEO$。
$\because EN$切半圆$O$于点$F$，
$\therefore OF⊥ EN$。
又$\because OB⊥ EB$，且$OB$、$OF$都是半圆$O$的半径，即$OB=OF$，
$\therefore$ 点$O$到直线$EB$的距离等于点$O$到直线$EN$的距离，
根据角平分线的判定定理可得：$EO$平分$∠ BEN$，
$\therefore ∠ BEO=∠ OEN$。
$\therefore ∠ MEB=∠ BEO=∠ OEN$，
即$EB,EO$把$∠ MEN$三等分。
【答案】
已知补充：$AB=OB$，$EN$与半圆$O$相切于点$F$，点$A$在边$EM$上；
求证补充：$∠ MEB=∠ BEO=∠ OEN$（或$EB,EO$把$∠ MEN$三等分）；
证明过程见上述解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；切线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题以数学史上经典的“三等分角”问题为背景，结合实用工具的操作原理命题，将生活应用与几何证明相结合，既考查了学生对核心几何知识点的掌握情况，也能有效锻炼学生的逻辑推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.65
