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1. 科学研究表明,当雕塑的上部与下部的高度比等于下部与全部的高度比时,雕塑看起来最美,我们把这个比值叫作黄金分割数,如何求黄金分割数? 把上面问题一般化. 如图,线段 AB 的长为1,线段 AB 上的点 C 满足关系式$AC^{2}=BC· AB$,则线段 AC 的长为
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
.答案
根据题意,设$AC=x$,则$BC=1-x$.$\because AC^{2}=BC· AB$,$\therefore x^{2}=(1-x)· 1$.整理,得$x^{2}+x-1=0$,解得$x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,$x_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$(舍去).$\therefore AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
解析
【分析】
我们的目标是求线段AC的长度，已知线段AB总长为1，点C在AB上，因此满足AC+BC=AB=1。首先设AC的长度为x，就可以用总长减去AC表示出BC的长度为1-x，接着把AC=x、BC=1-x、AB=1代入题目给出的等量关系AC²=BC·AB，就能得到关于x的一元二次方程，解出方程的两个根后，由于线段长度不可能为负数，舍去不符合实际意义的负根，剩下的正根就是AC的长度，也就是黄金分割数。
【解析】
解：设AC的长为x，
∵AB=1，点C在线段AB上，
∴BC = AB - AC = 1 - x，
将AC=x，BC=1-x，AB=1代入关系式$AC^{2}=BC· AB$，可得：
$x^2 = (1-x) × 1$
整理得一元二次方程：$x^2 + x - 1 = 0$
由求根公式解得：$x=\frac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
即$x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$x_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$
∵线段长度为正数，$x_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}＜0$，不符合实际意义，舍去
∴AC的长为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【知识点】
黄金分割，一元二次方程求解，线段和差运算
【点评】
本题是黄金分割概念的基础推导题，通过设未知数列一元二次方程求解黄金分割数，需要注意结合线段长度为正的实际意义舍去不符合题意的负根，帮助学生理解黄金分割数的由来，巩固一元二次方程在几何线段计算中的应用。
【难度系数】
0.8
我们的目标是求线段AC的长度，已知线段AB总长为1，点C在AB上，因此满足AC+BC=AB=1。首先设AC的长度为x，就可以用总长减去AC表示出BC的长度为1-x，接着把AC=x、BC=1-x、AB=1代入题目给出的等量关系AC²=BC·AB，就能得到关于x的一元二次方程，解出方程的两个根后，由于线段长度不可能为负数，舍去不符合实际意义的负根，剩下的正根就是AC的长度，也就是黄金分割数。
【解析】
解：设AC的长为x，
∵AB=1，点C在线段AB上，
∴BC = AB - AC = 1 - x，
将AC=x，BC=1-x，AB=1代入关系式$AC^{2}=BC· AB$，可得：
$x^2 = (1-x) × 1$
整理得一元二次方程：$x^2 + x - 1 = 0$
由求根公式解得：$x=\frac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
即$x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$x_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$
∵线段长度为正数，$x_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}＜0$，不符合实际意义，舍去
∴AC的长为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【知识点】
黄金分割，一元二次方程求解，线段和差运算
【点评】
本题是黄金分割概念的基础推导题，通过设未知数列一元二次方程求解黄金分割数，需要注意结合线段长度为正的实际意义舍去不符合题意的负根，帮助学生理解黄金分割数的由来，巩固一元二次方程在几何线段计算中的应用。
【难度系数】
0.8
2.【问题背景】2021年7月，第14届国际数学教育大会在中国上海召开，其会标蕴含丰富的数学知识，会标的设计理念来自《河图》.
【观察】（1）如图①所示为《河图》，由$1,2,3,···,10$这10个自然数排列而成，“十”字形布局中，横向上的5个数$(8,3,10,4,9)$之和为34，纵向上的5个数$(7,2,5,1,6)$之和为21，这两个数是相邻的斐波那契数(斐波那契数列：$1,1,2,3,5,8,13,21,34,55······$该数列随着项数增大，相邻两数的比越接近黄金比，因而又被称为黄金分割数列).请直接写出该黄金分割数列中的第13个数：
【思考】（2）会标中心的弦图是三国时期数学家赵爽给出的勾股定理的一个绝妙证明.如图②，在由四个全等的直角三角形$(△ DAE,△ ABF,△ BCG,△ CDH)$和中间一个小正方形$EFGH$拼成的大正方形$ABCD$中，$∠ ABF＞∠ BAF$，$E$是$AF$的黄金分割点，求正方形$EFGH$与正方形$ABCD$的面积之比.
【观察】（1）如图①所示为《河图》，由$1,2,3,···,10$这10个自然数排列而成，“十”字形布局中，横向上的5个数$(8,3,10,4,9)$之和为34，纵向上的5个数$(7,2,5,1,6)$之和为21，这两个数是相邻的斐波那契数(斐波那契数列：$1,1,2,3,5,8,13,21,34,55······$该数列随着项数增大，相邻两数的比越接近黄金比，因而又被称为黄金分割数列).请直接写出该黄金分割数列中的第13个数：
233
.【思考】（2）会标中心的弦图是三国时期数学家赵爽给出的勾股定理的一个绝妙证明.如图②，在由四个全等的直角三角形$(△ DAE,△ ABF,△ BCG,△ CDH)$和中间一个小正方形$EFGH$拼成的大正方形$ABCD$中，$∠ ABF＞∠ BAF$，$E$是$AF$的黄金分割点，求正方形$EFGH$与正方形$ABCD$的面积之比.
答案
（1）由斐波那契数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55……可知从2开始,后面的数等于前面两个数的和,
∴第11个数为34+55=89,第12个数为55+89=144,第13个数为89+144=233.
（2）根据题意,设$AF=x$,则$EF=\frac{\sqrt{5}-1}{2}x$,$EF^2=\frac{6-2\sqrt{5}}{4}x^2$.易得$BF=AE=AF-EF=\frac{3-\sqrt{5}}{2}x$.在$\mathrm{Rt}△ AFB$中,根据勾股定理,得$AB^2=AF^2+BF^2=x^2+(\frac{3-\sqrt{5}}{2}x)^2=\frac{18-6\sqrt{5}}{4}x^2$.
∴正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为$EF^2:AB^2=\frac{6-2\sqrt{5}}{4}x^2:\frac{18-6\sqrt{5}}{4}x^2=1:3$.
∴第11个数为34+55=89,第12个数为55+89=144,第13个数为89+144=233.
（2）根据题意,设$AF=x$,则$EF=\frac{\sqrt{5}-1}{2}x$,$EF^2=\frac{6-2\sqrt{5}}{4}x^2$.易得$BF=AE=AF-EF=\frac{3-\sqrt{5}}{2}x$.在$\mathrm{Rt}△ AFB$中,根据勾股定理,得$AB^2=AF^2+BF^2=x^2+(\frac{3-\sqrt{5}}{2}x)^2=\frac{18-6\sqrt{5}}{4}x^2$.
∴正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为$EF^2:AB^2=\frac{6-2\sqrt{5}}{4}x^2:\frac{18-6\sqrt{5}}{4}x^2=1:3$.
解析
【分析】
（1）对于第一小问，斐波那契数列的规则是从第3项开始，每一项都等于它前面相邻两项的和，题目已经给出该数列的前10项，我们只需要按照规则依次递推计算第11项、第12项，即可得到第13项的结果。
（2）对于第二小问，首先利用黄金分割点的性质，设直角三角形的长直角边AF为参数x，用含x的代数式表示出小正方形的边长EF；再根据四个直角三角形全等，得到短直角边BF=AE，同样用含x的代数式表示BF；接着在Rt△ABF中通过勾股定理计算出大正方形ABCD的面积（即AB²），小正方形EFGH的面积为EF²，两者作比后约去参数x，化简即可得到面积之比。
【解析】
（1）已知斐波那契数列从第三项起，每一项等于前两项之和，已知该数列前10项为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55
则第11项为：$34+55=89$
第12项为：$55+89=144$
第13项为：$89+144=233$
（2）设$AF=x$，
∵E是AF的黄金分割点，
∴$EF = \frac{\sqrt{5}-1}{2}x$，
则小正方形EFGH的面积 $EF^2 = ( \frac{\sqrt{5}-1}{2}x )^2 = \frac{6-2\sqrt{5}}{4}x^2$。
由四个直角三角形全等，可得$BF=AE$，
又$AE = AF - EF = x - \frac{\sqrt{5}-1}{2}x = \frac{3-\sqrt{5}}{2}x$，即$BF=\frac{3-\sqrt{5}}{2}x$。
在Rt△AFB中，由勾股定理得：
$AB^2 = AF^2 + BF^2 = x^2 + ( \frac{3-\sqrt{5}}{2}x )^2$
$= x^2 + \frac{9 - 6\sqrt{5} + 5}{4}x^2$
$= \frac{4x^2 + 14x^2 - 6\sqrt{5}x^2}{4}$
$= \frac{18 - 6\sqrt{5}}{4}x^2$，
即大正方形ABCD的面积为$\frac{18 - 6\sqrt{5}}{4}x^2$。
因此正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为：
$EF^2:AB^2 = \frac{6-2\sqrt{5}}{4}x^2 : \frac{18-6\sqrt{5}}{4}x^2 = (6-2\sqrt{5}):(18-6\sqrt{5}) = 1:3$。
【答案】
（1）233；（2）$1:3$
【知识点】
斐波那契数列；黄金分割；勾股定理
【点评】
本题结合国际数学教育大会会标的数学文化背景，融合了数列递推、黄金分割性质、赵爽弦图与勾股定理的相关知识点，既考察基础的递推计算能力，也考察了几何与代数结合的综合运算能力，化简比值时可直接提取公因式约分，能大幅降低运算复杂度。
【难度系数】
0.6
（1）对于第一小问，斐波那契数列的规则是从第3项开始，每一项都等于它前面相邻两项的和，题目已经给出该数列的前10项，我们只需要按照规则依次递推计算第11项、第12项，即可得到第13项的结果。
（2）对于第二小问，首先利用黄金分割点的性质，设直角三角形的长直角边AF为参数x，用含x的代数式表示出小正方形的边长EF；再根据四个直角三角形全等，得到短直角边BF=AE，同样用含x的代数式表示BF；接着在Rt△ABF中通过勾股定理计算出大正方形ABCD的面积（即AB²），小正方形EFGH的面积为EF²，两者作比后约去参数x，化简即可得到面积之比。
【解析】
（1）已知斐波那契数列从第三项起，每一项等于前两项之和，已知该数列前10项为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55
则第11项为：$34+55=89$
第12项为：$55+89=144$
第13项为：$89+144=233$
（2）设$AF=x$，
∵E是AF的黄金分割点，
∴$EF = \frac{\sqrt{5}-1}{2}x$，
则小正方形EFGH的面积 $EF^2 = ( \frac{\sqrt{5}-1}{2}x )^2 = \frac{6-2\sqrt{5}}{4}x^2$。
由四个直角三角形全等，可得$BF=AE$，
又$AE = AF - EF = x - \frac{\sqrt{5}-1}{2}x = \frac{3-\sqrt{5}}{2}x$，即$BF=\frac{3-\sqrt{5}}{2}x$。
在Rt△AFB中，由勾股定理得：
$AB^2 = AF^2 + BF^2 = x^2 + ( \frac{3-\sqrt{5}}{2}x )^2$
$= x^2 + \frac{9 - 6\sqrt{5} + 5}{4}x^2$
$= \frac{4x^2 + 14x^2 - 6\sqrt{5}x^2}{4}$
$= \frac{18 - 6\sqrt{5}}{4}x^2$，
即大正方形ABCD的面积为$\frac{18 - 6\sqrt{5}}{4}x^2$。
因此正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为：
$EF^2:AB^2 = \frac{6-2\sqrt{5}}{4}x^2 : \frac{18-6\sqrt{5}}{4}x^2 = (6-2\sqrt{5}):(18-6\sqrt{5}) = 1:3$。
【答案】
（1）233；（2）$1:3$
【知识点】
斐波那契数列；黄金分割；勾股定理
【点评】
本题结合国际数学教育大会会标的数学文化背景，融合了数列递推、黄金分割性质、赵爽弦图与勾股定理的相关知识点，既考察基础的递推计算能力，也考察了几何与代数结合的综合运算能力，化简比值时可直接提取公因式约分，能大幅降低运算复杂度。
【难度系数】
0.6
