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知识梳理
1. 等可能性
一般地,设一个试验的所有可能发生的结果有$n$个,它们都是随机事件,每次试验有且只有其中的一个结果出现.如果每个结果出现的机会均等,那么我们说这$n$个事件的发生是等可能的,也称这个试验的结果具有等可能性.
2. 等可能条件下的概率——古典概型
(1)特点:①试验结果具有
(2)计算公式:$P(A)=$
(3)列举等可能结果的方法
①列表法:适用于一次试验涉及两个因素,且可能出现的等可能结果数目较多;
②画树状图法:适用于一次试验涉及两个或更多因素.
1. 等可能性
一般地,设一个试验的所有可能发生的结果有$n$个,它们都是随机事件,每次试验有且只有其中的一个结果出现.如果每个结果出现的机会均等,那么我们说这$n$个事件的发生是等可能的,也称这个试验的结果具有等可能性.
2. 等可能条件下的概率——古典概型
(1)特点:①试验结果具有
有限
性;②试验结果具有等可能
性.(2)计算公式:$P(A)=$
$\dfrac{m}{n}$
.($m$为事件$A$发生可能出现的结果数,$n$为所有等可能出现的结果数)(3)列举等可能结果的方法
①列表法:适用于一次试验涉及两个因素,且可能出现的等可能结果数目较多;
②画树状图法:适用于一次试验涉及两个或更多因素.
答案
2.(1)有限 等可能 (2)$\dfrac{m}{n}$
解析
【分析】本题考查古典概型的基础知识点，解题思路为：首先明确古典概型的两个核心特点，一是试验的所有可能结果数量有限，二是每个结果出现的机会均等（即等可能）；其次，回忆等可能条件下概率的计算公式，即事件A发生的结果数与所有等可能结果数的比值，据此完成填空即可。
【解析】对于2.(1)，古典概型的特点为试验结果具有有限性和等可能性；对于2.(2)，等可能条件下的概率计算公式为事件A发生的结果数m除以所有等可能出现的结果数n，即$\dfrac{m}{n}$。
【答案】2.(1)有限 等可能 (2)$\dfrac{m}{n}$
【知识点】古典概型、概率公式
【点评】本题是对古典概型基础概念的直接考查，属于识记类题目，难度较低，只要准确掌握相关概念即可正确作答。
【难度系数】0.9
【解析】对于2.(1)，古典概型的特点为试验结果具有有限性和等可能性；对于2.(2)，等可能条件下的概率计算公式为事件A发生的结果数m除以所有等可能出现的结果数n，即$\dfrac{m}{n}$。
【答案】2.(1)有限 等可能 (2)$\dfrac{m}{n}$
【知识点】古典概型、概率公式
【点评】本题是对古典概型基础概念的直接考查，属于识记类题目，难度较低，只要准确掌握相关概念即可正确作答。
【难度系数】0.9
1. 小丽掷一枚质地均匀的硬币10次，有8次正面朝上，当她掷第11次时，正面朝上的概率是
（
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{7}{11}$
C.$\dfrac{4}{5}$
D.$\dfrac{10}{11}$
（
A
）A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{7}{11}$
C.$\dfrac{4}{5}$
D.$\dfrac{10}{11}$
答案
A
解析
【分析】
本题考查独立事件的概率，需明确质地均匀的硬币每次抛掷是独立事件，单次正面朝上的概率不受之前抛掷结果的影响，解题时要排除前10次结果的干扰，直接根据硬币的均匀性判断概率。
【解析】
质地均匀的硬币，每次抛掷时正面朝上和反面朝上的可能性相等，概率均为$\frac{1}{2}$。由于每次抛掷属于独立事件，前10次的抛掷结果不会影响第11次的概率，因此第11次掷硬币正面朝上的概率为$\frac{1}{2}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
独立事件的概率、概率的意义
【点评】
本题考查概率的基础概念，核心是理解独立事件的概率不受过往试验结果影响，易被前10次的结果误导，属于基础概念题。
【难度系数】
0.3
本题考查独立事件的概率，需明确质地均匀的硬币每次抛掷是独立事件，单次正面朝上的概率不受之前抛掷结果的影响，解题时要排除前10次结果的干扰，直接根据硬币的均匀性判断概率。
【解析】
质地均匀的硬币，每次抛掷时正面朝上和反面朝上的可能性相等，概率均为$\frac{1}{2}$。由于每次抛掷属于独立事件，前10次的抛掷结果不会影响第11次的概率，因此第11次掷硬币正面朝上的概率为$\frac{1}{2}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
独立事件的概率、概率的意义
【点评】
本题考查概率的基础概念，核心是理解独立事件的概率不受过往试验结果影响，易被前10次的结果误导，属于基础概念题。
【难度系数】
0.3
2. (2025·内蒙古)在单词“class(班级)”中随机选择一个字母，则选中字母“s”的概率是
$\dfrac{2}{5}$
.答案
$\dfrac{2}{5}$
解析
【分析】要计算随机选中字母“s”的概率，需利用古典概型的概率公式：某事件发生的概率=该事件包含的基本事件数÷所有可能的基本事件总数。首先统计单词“class”的总字母个数，再统计其中字母“s”的个数，最后代入公式计算即可。
【解析】单词“class”的字母总数为5个，其中字母“s”的个数为2个。根据概率计算公式，选中字母“s”的概率为：$\dfrac{2}{5}$。
【答案】$\dfrac{2}{5}$
【知识点】古典概型、概率计算
【点评】本题是古典概型的基础应用，仅需准确统计总字母数和目标字母数即可求解，属于概率部分的基础题，难度较低，主要考察学生对概率基本公式的掌握。
【难度系数】0.9
【解析】单词“class”的字母总数为5个，其中字母“s”的个数为2个。根据概率计算公式，选中字母“s”的概率为：$\dfrac{2}{5}$。
【答案】$\dfrac{2}{5}$
【知识点】古典概型、概率计算
【点评】本题是古典概型的基础应用，仅需准确统计总字母数和目标字母数即可求解，属于概率部分的基础题，难度较低，主要考察学生对概率基本公式的掌握。
【难度系数】0.9
3. 在一个不透明的盒子中装有 12 个白球和若干个黄球,它们除颜色不同外,其余均相同. 若从中随机摸出一个球是白球的概率为$\dfrac{2}{3}$,则盒子中黄球有
6
个.答案
6 解析:设盒子中黄球有$x$个.根据题意,得$\dfrac{12}{12+x}=\dfrac{2}{3}$,解得$x=6$,经检验,$x=6$是原分式方程的解,$\therefore$盒子中黄球有6个.
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用随机事件的概率公式：某事件发生的概率等于该事件的结果数除以所有可能结果的总数。本题中，摸出白球的概率 = 白球个数 ÷ 球的总个数，球的总个数是白球个数加黄球个数，因此先设黄球个数为未知数，再结合已知的白球概率列出方程，最后解方程并检验即可得到黄球的数量。
【解析】
设盒子中黄球有$ x $个，则盒子中球的总个数为$ 12 + x $个。
根据“随机摸出一个球是白球的概率为$\dfrac{2}{3}$”，结合概率公式列方程：
$\dfrac{12}{12 + x} = \dfrac{2}{3}$
解方程：
交叉相乘得：$2(12 + x) = 12×3$
展开计算：$24 + 2x = 36$
移项得：$2x = 36 - 24$
化简得：$2x = 12$
解得：$x = 6$
经检验，当$x = 6$时，分母$12 + x = 18 ≠ 0$，故$x = 6$是原分式方程的解，符合题意。
【答案】
6
【知识点】
概率的计算、分式方程的应用
【点评】
本题是概率知识的基础应用题，通过方程思想求解，考查了学生对概率公式的理解和分式方程的应用能力，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需利用随机事件的概率公式：某事件发生的概率等于该事件的结果数除以所有可能结果的总数。本题中，摸出白球的概率 = 白球个数 ÷ 球的总个数，球的总个数是白球个数加黄球个数，因此先设黄球个数为未知数，再结合已知的白球概率列出方程，最后解方程并检验即可得到黄球的数量。
【解析】
设盒子中黄球有$ x $个，则盒子中球的总个数为$ 12 + x $个。
根据“随机摸出一个球是白球的概率为$\dfrac{2}{3}$”，结合概率公式列方程：
$\dfrac{12}{12 + x} = \dfrac{2}{3}$
解方程：
交叉相乘得：$2(12 + x) = 12×3$
展开计算：$24 + 2x = 36$
移项得：$2x = 36 - 24$
化简得：$2x = 12$
解得：$x = 6$
经检验，当$x = 6$时，分母$12 + x = 18 ≠ 0$，故$x = 6$是原分式方程的解，符合题意。
【答案】
6
【知识点】
概率的计算、分式方程的应用
【点评】
本题是概率知识的基础应用题，通过方程思想求解，考查了学生对概率公式的理解和分式方程的应用能力，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.7
1. (2025·山东)某班学生到山东省博物馆参加研学活动.博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品,每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品.若抽到每一款的可能性相等,则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（
A.$\dfrac{1}{9}$
B.$\dfrac{1}{6}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{2}{3}$
A
）A.$\dfrac{1}{9}$
B.$\dfrac{1}{6}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{2}{3}$
答案
A 解析:把以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品分别记为A、B、C,列表如下,由表可知,共有9种等可能的结果,其中甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的结果有1种,$\therefore$甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是$\dfrac{1}{9}$.
解析
【分析】
本题考查古典概型的概率计算，解题思路为：先明确甲、乙两位同学抽取文创产品为独立事件，分别确定两人抽取的可能结果数，再计算所有等可能的总结果数，最后找出甲、乙同时抽到“亚醜钺”的结果数，根据概率公式计算即可。
【解析】
设三款文创产品“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”分别记为A、B、C。
甲同学抽取文创产品有3种等可能结果，乙同学抽取文创产品也有3种等可能结果，根据分步乘法计数原理，甲、乙两位同学抽取文创产品的所有等可能结果共有 $3 × 3 = 9$ 种。
其中，甲、乙同时抽到“亚醜钺”（即同时抽到A）的结果仅1种。
根据古典概型概率公式，所求概率为 $\frac{1}{9}$。
【答案】
A
【知识点】
古典概型、分步乘法计数原理
【点评】
本题是古典概型的基础应用题，通过分步计数确定总结果与符合条件的结果，计算过程简单，主要考查学生对等可能事件概率计算方法的掌握，属于概率模块的基础题。
【难度系数】
0.8
本题考查古典概型的概率计算，解题思路为：先明确甲、乙两位同学抽取文创产品为独立事件，分别确定两人抽取的可能结果数，再计算所有等可能的总结果数，最后找出甲、乙同时抽到“亚醜钺”的结果数，根据概率公式计算即可。
【解析】
设三款文创产品“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”分别记为A、B、C。
甲同学抽取文创产品有3种等可能结果，乙同学抽取文创产品也有3种等可能结果，根据分步乘法计数原理，甲、乙两位同学抽取文创产品的所有等可能结果共有 $3 × 3 = 9$ 种。
其中，甲、乙同时抽到“亚醜钺”（即同时抽到A）的结果仅1种。
根据古典概型概率公式，所求概率为 $\frac{1}{9}$。
【答案】
A
【知识点】
古典概型、分步乘法计数原理
【点评】
本题是古典概型的基础应用题，通过分步计数确定总结果与符合条件的结果，计算过程简单，主要考查学生对等可能事件概率计算方法的掌握，属于概率模块的基础题。
【难度系数】
0.8
