1. 已知:如图,一条直线上依次有$A,B,C$三点.
(1)若$BC=60,AC=3AB$,求$AB$的长.
(2)若点$D$是射线$CB$上一点,点$M$为$BD$的中点,点$N$为$CD$的中点,求$\dfrac{BC}{MN}$的值.
(3)当点$P$在线段$BC$的延长线上运动时,点$E$是$AP$中点,点$F$是$BC$中点,下列结论:
①$\dfrac{AC+BP}{EF}$是定值;②$\left|\dfrac{AC-BP}{EF}\right|$是定值.其中只有一个结论是正确的,请选择正确的结论并求出其值.

(1) 因为BC=60,AC=AB+BC=3AB,所以BC=2AB,所以AB=30.
(2) 因为点M为BD中点,点N为CD中点,所以BM=MD,DN=NC,
①当点D在B,C之间时,如图.
BC=BD+CD=2MD+2DN=2MN,所以$\dfrac{BC}{MN}=2$;
②当点D在A,B之间时,如图,
BC=DC-DB=2DN-2MB=2(BN+MB)-2MB=2BN+2MB=2MN,所以$\dfrac{BC}{MN}=2$;
③当点D在A点左侧时,如图,
BC=CD-DB=2DN-2DM=2(DN-DM)=2MN,所以$\dfrac{BC}{MN}=2$.
综上,$\dfrac{BC}{MN}$的值为2.
(3) 选②$\left|\dfrac{AC-BP}{EF}\right|$是定值.因为点E是AP的中点,点F是BC的中点,所以AE=EP,BF=CF.
如图,$EF=FC-EC=\dfrac{1}{2}BC-AC+AE=\dfrac{1}{2}(AC-AB)-AC+AE=AE-\dfrac{1}{2}AB-\dfrac{1}{2}AC$,$BP=AP-AB=2AE-AB$,所以$AC-BP=AC-2AE+AB$,所以$\left|\dfrac{AC-BP}{EF}\right|=2$.
如图,$EF=\dfrac{1}{2}BC+CE=\dfrac{1}{2}BC+AE-AC=\dfrac{1}{2}(AC-AB)+AE-AC=AE-\dfrac{1}{2}AB-\dfrac{1}{2}AC$,$BP=AP-AB=2AE-AB$,所以$AC-BP=AC+AB-2AE$,所以$\left|\dfrac{AC-BP}{EF}\right|=2$.
如图,$EF=CE-CF=CE-\dfrac{1}{2}BC=AC-AE-\dfrac{1}{2}BC=AC-AE-\dfrac{1}{2}(AC-AB)=\dfrac{1}{2}AC-AE+\dfrac{1}{2}AB$,$BP=AP-AB=2AE-AB$,所以$AC-BP=AC+AB-2AE$,所以$\left|\dfrac{AC-BP}{EF}\right|=2$. 综上,$\left|\dfrac{AC-BP}{EF}\right|$是定值,定值为2.

2. |新定义（2025·南京校考）如图,直线$l$上有三个点$A,B,C,AB=16\ \mathrm{cm},BC=14\ \mathrm{cm}$,点$M$从点$A$出发,沿直线$l$以每秒$6\ \mathrm{cm}$的速度向点$C$运动,到达点$C$后立即按原速返回到点$A$;点$N$从点$B$出发,沿直线$l$以每秒$2\ \mathrm{cm}$的速度向点$C$运动,到达点$C$后停止,若运动过程中某一时刻满足$MN=\dfrac{1}{n}AB$($n＞1$且为正整数),则称此时是点$M,N$的一次“$n$分时刻”.点$M,N$同时出发,直到点$M$返回点$A$运动结束,设运动时间为$t\ \mathrm{s}$.

(1)当$t=2$时,点$M,N$到达“______分时刻”.
(2)当$t$为何值时,点$M,N$到达“$3$分时刻”?
(3)当$t=\_\_\_\_\_\_$时,点$M,N$到达“$8$分时刻”.
(4)进一步探究发现点$M,N$到达“$n$分时刻”的次数随着$n$的变化而变化,请直接写出对于$n$的每一个值,点$M,N$到达“$n$分时刻”的次数.

(1)2 【解析】当t=2时,AM=12,BN=4,如图:
BM=AB-AM=16-12=4,所以MN=BN+BM=4+4=8,所以$MN=\dfrac{1}{2}AB$.所以点M,N到达“2分时刻”.
(2)当0≤t≤5时,AM=6t;当5＜t≤10时,AM=30-6(t-5)=60-6t;当0≤t≤7时,AN=16+2t.当M,N两点重合时,6t=16+2t或60-6t=16+2t,解得t=4或t=5.5,因为点M,N到达“3分时刻”,所以$MN=\dfrac{1}{3}AB=\dfrac{16}{3}$.①当0≤t≤4时,$MN=AN-AM=(16+2t)-6t=16-4t$,所以$16-4t=\dfrac{16}{3}$,解得$t=\dfrac{8}{3}$;②当4＜t≤5时,$MN=AM-AN=6t-(16+2t)=4t-16$,所以$4t-16=\dfrac{16}{3}$,解得$t=\dfrac{16}{3}＞5$,不合题意,舍去;③当5＜t≤5.5时,$MN=AM-AN=(60-6t)-(16+2t)=44-8t$,所以$44-8t=\dfrac{16}{3}$,解得$t=\dfrac{29}{6}＜5$,不合题意,舍去;④当5.5＜t≤7时,$MN=AN-AM=(16+2t)-(60-6t)=8t-44$,所以$8t-44=\dfrac{16}{3}$,解得$t=\dfrac{37}{6}$;⑤当7＜t≤10时,$MN=AN-AM=30-(60-6t)=6t-30$,所以$6t-30=\dfrac{16}{3}$,解得$t=\dfrac{53}{9}$(舍去).综上所述,当t为$\dfrac{8}{3}$或$\dfrac{37}{6}$时,点M,N到达“3分时刻”.
(3)$\dfrac{7}{2}$或$\dfrac{9}{2}$或$\dfrac{21}{4}$或$\dfrac{23}{4}$ 【解析】当0≤t≤5时,AM=6t;当5＜t≤10时,AM=30-6(t-5)=60-6t;当0≤t≤7时,AN=16+2t.当n=8时,则MN=AB=2,当M,N两点重合时,6t=16+2t或60-6t=16+2t,解得t=4或t=5.5.①当0≤t≤4时,$MN=AN-AM=(16+2t)-6t=16-4t$,所以16-4t=2,解得$t=\dfrac{7}{2}$;②当4＜t≤5时,$MN=AM-AN=6t-(16+2t)=4t-16$,所以4t-16=2,解得$t=\dfrac{9}{2}$;③当5＜t≤5.5时,$MN=AM-AN=(60-6t)-(16+2t)=44-8t$,所以44-8t=2,解得$t=\dfrac{21}{4}$;④当5.5＜t≤7时,$MN=AN-AM=(16+2t)-(60-6t)=8t-44$,所以8t-44=2,解得$t=\dfrac{23}{4}$;⑤当7＜t≤10时,$MN=AN-AM=30-(60-6t)=6t-30$,所以6t-30=2,解得$t=\dfrac{16}{3}$(舍去).综上所述,当t为$\dfrac{7}{2}$或$\dfrac{9}{2}$或$\dfrac{21}{4}$或$\dfrac{23}{4}$时,点M,N达到“8分时刻”.
(4)同(3)的方法可知,当1＜n＜4时,有2个对应的t;当n=4时,有3个对应的t;当n＞4时,有4个对应的t.