3. (2025·泰州期中)如图①，$∠ ACB=90°, MA// BN$.
(1)①如果$∠ MAC=30°$,求$∠ CBN$的度数.
②设$∠ MAC=α, ∠ CBN=β$,直接写出$α,β$之间的数量关系:________.
(2)如图②，$∠ MAC,∠ CBN$的平分线交于点$P$,当$∠ MAC$的度数发生变化时,$∠ APB$的度数是否发生变化？如果变化,请说明理由；如果不变,请求出$∠ APB$的度数.
(3)在(2)的条件下,若$∠ MAC=40°$,点$E$为射线$BN$上的一个动点,过点$E$作$EF// BC$交直线$AP$于点$F$,连接$EP$.已知$∠ FEP=10°$,求$∠ BPE$的度数.

(1)①如图,过点C作CE//AM,因为MA//BN,所以MA//CE//BN,所以∠ACE=∠A=30°,∠ECB+∠CBN=180°.又因为∠ACB=90°,所以∠ECB=90°-∠ACE=90°-30°=60°,所以∠CBN=180°-∠ECB=180°-60°=120°.
②β=α+90° 【解析】过点C作CE//AM,因为MA//BN,所以MA//CE//BN,所以∠ACE=∠MAC=α,∠ECB=180°-∠CBN=180°-β.又因为∠ACB=90°,所以α+180°-β=90°,所以β=α+90°.
(2)∠APB的度数不发生变化.∠APB=135°.由②可得∠MAC=α,∠CBN=90°+α.因为∠MAC,∠CBN的平分线交于点P,所以∠MAP=$\dfrac{1}{2}$∠MAC=$\dfrac{1}{2}$α,∠NBP=$\dfrac{1}{2}$∠CBN=45°+$\dfrac{1}{2}$α,过P作PE//AM,如图,所以PE//AM//BN,所以∠EPB=180°-∠NBP=180°-$(45°+\dfrac{1}{2}α)$=135°-$\dfrac{1}{2}$α.所以∠EPA=∠MAP,所以∠APB=∠EPA+∠EPB=$\dfrac{1}{2}$α+135°-$\dfrac{1}{2}$α=135°.
(3)由(2)得∠MAP=$\dfrac{1}{2}$∠MAC=20°,∠CBN=90°+40°=130°,∠APB=135°.因为EF//BC,所以∠FEB=180°-∠CBN=180°-130°=50°.过点P作PG//AM,因为MA//BN,所以MA//PG//BN,所以∠APG=∠MAF=20°,∠GPE=∠PEB,∠APE=∠APG+∠GPE=20°+∠PEB,当点F在点P的左侧时,如图,则∠PEB=∠FEB+∠FEP=50°+10°=60°,所以∠APE=20°+∠PEB=20°+60°=80°,所以∠BPE=∠APB-∠APE=135°-80°=55°;当点F在点P的右侧时,如图,则∠PEB=∠FEB-∠FEP=50°-10°=40°,所以∠APE=20°+∠PEB=20°+40°=60°,所以∠BPE=∠APB-∠APE=135°-60°=75°.综上所述,当点F在点P的左侧时,∠BPE=55°;当点F在点P的右侧时,∠BPE=75°.

4. 如图,在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH,长方形ABCD的长AD是6个单位长度,宽AB是4个单位长度,长方形EFGH的长EH是10个单位长度,宽EF是3个单位长度,点E在数轴上表示的数是-4,且E,D两点之间的距离为14.

(1)点H在数轴上表示的数是,点A在数轴上表示的数是.
(2)若点P在线段AD上,且点P到点D与到点E的距离和为20,求点P在数轴上表示的数.
(3)若长方形ABCD在数轴上向右运动,长方形EFGH固定不动,设两个长方形重叠部分的面积为S.
①整个运动过程中,S首次达到最大值时,点D在数轴上表示的数是.
②当$S=8$时,求此时点D在数轴上表示的数.
$\gg$ 进一步挑战进阶专题:P158 专题30

(1)6 -24 【解析】因为长方形ABCD的长AD是6个单位长度,宽AB是4个单位长度,长方形EFGH的长EH是10个单位长度,宽EF是3个单位长度,点E在数轴上表示的数是-4,且E,D两点之间的距离为14,所以点H在数轴上表示的数是-4+10=6,点A在数轴上表示的数是-4-14-6=-24.
(2)因为AD的长是6个单位长度,点A在数轴上表示的数为-24,所以点D在数轴上表示的数是-24+6=-18.设点P表示的数是x,因为点P在线段AD上,所以PD=-18-x,PE=-4-x.因为点P在线段AD上,且点P到点D与到点E的距离和为20,所以(-18-x)+(-4-x)=20,解得x=-21,所以点P在数轴上表示的数是-21.
(3)①2 【解析】S首次达到最大值时,即点A与点E重合时,如图,由题意可知未移动之前AE=-4-(-24)=20,所以当点A与点E重合时,点A与点D都向右移动了20个单位长度,所以点D在数轴上表示的数是20-4-14=2;
②由题意可知两个长方形重叠部分的宽为3个单位长度,且S=8,所以两个长方形重叠部分的长为$\dfrac{8}{3}$个单位长度,分类讨论:当长方形ABCD与长方形EFGH重合,$ED=\dfrac{8}{3}$,S=8时,如图,所以点D在数轴上表示的数是$-4+\dfrac{8}{3}=-\dfrac{4}{3}$;当长方形ABCD与长方形EFGH重合,$AH=\dfrac{8}{3}$,S=8时,如图,$HD=6-\dfrac{8}{3}=\dfrac{10}{3}$,所以点D在数轴上表示的数是$6+\dfrac{10}{3}=\dfrac{28}{3}$.综上可知,此时点D在数轴上表示的数为$-\dfrac{4}{3}$或$\dfrac{28}{3}$.