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17.(6分)(1)计算:$\sqrt{3}×\sqrt{6}-\sqrt{8}$。 (2)解方程:$x^2 - 2x - 15 = 0$。
答案
17.(1)原式=$3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。 (2)$x_1=5$,$x_2=-3$。
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问是二次根式的混合运算，解题思路是先根据二次根式乘法法则计算乘法项，再化简各项二次根式，最后合并同类二次根式；第(2)问是一元二次方程的求解，解题思路是利用因式分解法将方程左边分解为两个一次因式的乘积，再根据“若两个因式乘积为0，则至少一个因式为0”的性质求解。
【解析】
(1) 计算：$\sqrt{3}×\sqrt{6}-\sqrt{8}$
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，得：
$\sqrt{3}×\sqrt{6}=\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$
化简$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$
所以原式$=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$
(2) 解方程：$x^2 - 2x - 15 = 0$
对左边因式分解，找两个数乘积为$-15$且和为$-2$，即$-5$和$3$，得：
$(x - 5)(x + 3) = 0$
则$x - 5 = 0$或$x + 3 = 0$
解得$x_1 = 5$，$x_2 = -3$
【答案】
(1) $\sqrt{2}$；(2) $x_1=5$，$x_2=-3$
【知识点】
二次根式的混合运算，一元二次方程的因式分解解法
【点评】
本题考查初中数学核心基础知识点，二次根式的化简运算和一元二次方程的因式分解求解，题型常规，侧重基础运算能力的考查，是学生必须掌握的内容。
【难度系数】
0.8
本题分为两小问，第(1)问是二次根式的混合运算，解题思路是先根据二次根式乘法法则计算乘法项，再化简各项二次根式，最后合并同类二次根式；第(2)问是一元二次方程的求解，解题思路是利用因式分解法将方程左边分解为两个一次因式的乘积，再根据“若两个因式乘积为0，则至少一个因式为0”的性质求解。
【解析】
(1) 计算：$\sqrt{3}×\sqrt{6}-\sqrt{8}$
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，得：
$\sqrt{3}×\sqrt{6}=\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$
化简$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$
所以原式$=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$
(2) 解方程：$x^2 - 2x - 15 = 0$
对左边因式分解，找两个数乘积为$-15$且和为$-2$，即$-5$和$3$，得：
$(x - 5)(x + 3) = 0$
则$x - 5 = 0$或$x + 3 = 0$
解得$x_1 = 5$，$x_2 = -3$
【答案】
(1) $\sqrt{2}$；(2) $x_1=5$，$x_2=-3$
【知识点】
二次根式的混合运算，一元二次方程的因式分解解法
【点评】
本题考查初中数学核心基础知识点，二次根式的化简运算和一元二次方程的因式分解求解，题型常规，侧重基础运算能力的考查，是学生必须掌握的内容。
【难度系数】
0.8
18.(8分)在某次射击训练中,甲、乙两人的成绩如图1所示,小颖根据图1绘制成如图2所示的箱线图。
(1)在图2中,A反映的是
(2)分别求出A的$m_{25}$和B的$m_{75}$。
(3)请你根据箱线图和对四分位数的理解,谈谈你对两人成绩的看法。
(1)在图2中,A反映的是
乙
(填“甲”或“乙”)的成绩。(2)分别求出A的$m_{25}$和B的$m_{75}$。
(3)请你根据箱线图和对四分位数的理解,谈谈你对两人成绩的看法。
答案
18.(1)乙
(2)A的$m_{25}=\dfrac{7+7}{2}=7$,B的$m_{75}=\dfrac{8+8}{2}=8$。
(3)根据箱线图,可知甲的成绩比较分散,乙的成绩比较集中,所以甲的测试成绩的方差更大。(答案不唯一)
(2)A的$m_{25}=\dfrac{7+7}{2}=7$,B的$m_{75}=\dfrac{8+8}{2}=8$。
(3)根据箱线图,可知甲的成绩比较分散,乙的成绩比较集中,所以甲的测试成绩的方差更大。(答案不唯一)
解析
【分析】
要解答本题，首先需整理甲、乙的射击成绩数据，明确两人各成绩的次数，再结合箱线图的含义和四分位数的计算规则分析：
1. 统计甲、乙的成绩分布，总次数均为12次，通过成绩的四分位数特征对应箱线图A、B；
2. 计算四分位数时，先将数据从小到大排列，根据总次数n，分位数位置为n×百分比，若结果为整数，则取该位置和下一个位置数据的平均值；
3. 最后结合箱线图的离散程度，分析两人成绩的稳定性差异。
【解析】
(1) 整理甲、乙的射击成绩：
甲的成绩（共12次）：6环3次，7环5次，8环2次，9环1次，10环1次，从小到大排列为：6,6,6,7,7,7,7,7,8,8,9,10；
乙的成绩（共12次）：6环1次，7环3次，8环4次，9环3次，10环1次，从小到大排列为：6,7,7,7,8,8,8,8,9,9,9,10；
计算25%分位数：乙的25%分位数位置为12×25%=3，取第3、4个数据，均为7，故乙的$m_{25}=7$；结合箱线图A的25%分位数为7，因此A反映的是乙的成绩。
(2) 计算四分位数：
① A为乙的成绩，总数据量$n=12$，25%分位数位置：$12×0.25=3$，对应第3个数据7、第4个数据7，故A的$m_{25}=\dfrac{7+7}{2}=7$；
② B为甲的成绩，总数据量$n=12$，75%分位数位置：$12×0.75=9$，对应第9个数据8、第10个数据8，故B的$m_{75}=\dfrac{8+8}{2}=8$。
(3) 从箱线图的离散程度可知：甲的成绩分布范围更大，说明甲的成绩波动更大，方差更大；乙的成绩更集中，稳定性更好（答案不唯一，合理即可）。
【答案】
(1) 乙；(2) A的$m_{25}=7$，B的$m_{75}=8$；(3) 甲的成绩比较分散，乙的成绩比较集中，甲的测试成绩方差更大（合理即可）
【知识点】
箱线图、四分位数、数据离散程度
【点评】
本题结合条形统计图和箱线图考查数据的分析与处理，需掌握四分位数的计算方法，理解箱线图反映的数据特征，题目难度适中，侧重统计知识的应用。
【难度系数】
0.4
要解答本题，首先需整理甲、乙的射击成绩数据，明确两人各成绩的次数，再结合箱线图的含义和四分位数的计算规则分析：
1. 统计甲、乙的成绩分布，总次数均为12次，通过成绩的四分位数特征对应箱线图A、B；
2. 计算四分位数时，先将数据从小到大排列，根据总次数n，分位数位置为n×百分比，若结果为整数，则取该位置和下一个位置数据的平均值；
3. 最后结合箱线图的离散程度，分析两人成绩的稳定性差异。
【解析】
(1) 整理甲、乙的射击成绩：
甲的成绩（共12次）：6环3次，7环5次，8环2次，9环1次，10环1次，从小到大排列为：6,6,6,7,7,7,7,7,8,8,9,10；
乙的成绩（共12次）：6环1次，7环3次，8环4次，9环3次，10环1次，从小到大排列为：6,7,7,7,8,8,8,8,9,9,9,10；
计算25%分位数：乙的25%分位数位置为12×25%=3，取第3、4个数据，均为7，故乙的$m_{25}=7$；结合箱线图A的25%分位数为7，因此A反映的是乙的成绩。
(2) 计算四分位数：
① A为乙的成绩，总数据量$n=12$，25%分位数位置：$12×0.25=3$，对应第3个数据7、第4个数据7，故A的$m_{25}=\dfrac{7+7}{2}=7$；
② B为甲的成绩，总数据量$n=12$，75%分位数位置：$12×0.75=9$，对应第9个数据8、第10个数据8，故B的$m_{75}=\dfrac{8+8}{2}=8$。
(3) 从箱线图的离散程度可知：甲的成绩分布范围更大，说明甲的成绩波动更大，方差更大；乙的成绩更集中，稳定性更好（答案不唯一，合理即可）。
【答案】
(1) 乙；(2) A的$m_{25}=7$，B的$m_{75}=8$；(3) 甲的成绩比较分散，乙的成绩比较集中，甲的测试成绩方差更大（合理即可）
【知识点】
箱线图、四分位数、数据离散程度
【点评】
本题结合条形统计图和箱线图考查数据的分析与处理，需掌握四分位数的计算方法，理解箱线图反映的数据特征，题目难度适中，侧重统计知识的应用。
【难度系数】
0.4
19.(8分)如图,在矩形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,F,G分别是AE和AD的中点。
(1)求证:△ABE是等腰直角三角形。
(2)若AD=4,AB=3,求FG的长。
(1)求证:△ABE是等腰直角三角形。
(2)若AD=4,AB=3,求FG的长。
答案
19.(1)因为AE平分$∠ BAD$,所以$∠ BAE=∠ DAE$。在矩形ABCD中,$∠ B=90°$,$AD// BC$,所以$∠ DAE=∠ AEB$。所以$∠ BAE=∠ AEB$。所以$AB=BE$,即$△ ABE$是等腰直角三角形。
(2)由(1)得$BE=AB=3$,在矩形ABCD中,$BC=AD=4$,$DC=AB=3$,所以$EC=BC-BE=1$。连结DE,在$\mathrm{Rt}△ DCE$中,$DE=\sqrt{DC^2+EC^2}=\sqrt{10}$。因为F,G分别为AE,AD的中点,所以$FG=\dfrac{1}{2}DE=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$。
(2)由(1)得$BE=AB=3$,在矩形ABCD中,$BC=AD=4$,$DC=AB=3$,所以$EC=BC-BE=1$。连结DE,在$\mathrm{Rt}△ DCE$中,$DE=\sqrt{DC^2+EC^2}=\sqrt{10}$。因为F,G分别为AE,AD的中点,所以$FG=\dfrac{1}{2}DE=\dfrac{\sqrt{10}}{2}$。
解析
【分析】
第(1)问需利用矩形的性质和角平分线定义，推导得出△ABE中AB=BE且∠B=90°，从而证明其为等腰直角三角形；第(2)问先根据矩形对边相等求出EC长度，用勾股定理算出DE的长，再结合F、G为中点，利用三角形中位线定理计算FG的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ AE平分∠BAD，
∴ ∠BAE = ∠DAE。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B = 90°，AD//BC，
∴ ∠DAE = ∠AEB（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠BAE = ∠AEB，
∴ AB = BE，
又
∵ ∠B = 90°，
∴ △ABE是等腰直角三角形。
(2) 解：
由(1)得BE = AB = 3，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ BC = AD = 4，DC = AB = 3，
∴ EC = BC - BE = 4 - 3 = 1。
连接DE，在Rt△DCE中，根据勾股定理：
DE = √(DC² + EC²) = √(3² + 1²) = √10。
∵ F、G分别是AE和AD的中点，
∴ FG是△ADE的中位线，
∴ FG = $\dfrac{1}{2}$DE = $\dfrac{1}{2}$×√10 = $\dfrac{\sqrt{10}}{2}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) FG的长为$\dfrac{\sqrt{10}}{2}$。
【知识点】
矩形的性质、等腰直角三角形判定、三角形中位线定理
【点评】
本题综合考查矩形性质、等腰直角三角形判定及三角形中位线定理，解题关键是利用矩形性质推导角与边的关系，结合中位线定理求解，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
第(1)问需利用矩形的性质和角平分线定义，推导得出△ABE中AB=BE且∠B=90°，从而证明其为等腰直角三角形；第(2)问先根据矩形对边相等求出EC长度，用勾股定理算出DE的长，再结合F、G为中点，利用三角形中位线定理计算FG的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ AE平分∠BAD，
∴ ∠BAE = ∠DAE。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B = 90°，AD//BC，
∴ ∠DAE = ∠AEB（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠BAE = ∠AEB，
∴ AB = BE，
又
∵ ∠B = 90°，
∴ △ABE是等腰直角三角形。
(2) 解：
由(1)得BE = AB = 3，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ BC = AD = 4，DC = AB = 3，
∴ EC = BC - BE = 4 - 3 = 1。
连接DE，在Rt△DCE中，根据勾股定理：
DE = √(DC² + EC²) = √(3² + 1²) = √10。
∵ F、G分别是AE和AD的中点，
∴ FG是△ADE的中位线，
∴ FG = $\dfrac{1}{2}$DE = $\dfrac{1}{2}$×√10 = $\dfrac{\sqrt{10}}{2}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) FG的长为$\dfrac{\sqrt{10}}{2}$。
【知识点】
矩形的性质、等腰直角三角形判定、三角形中位线定理
【点评】
本题综合考查矩形性质、等腰直角三角形判定及三角形中位线定理，解题关键是利用矩形性质推导角与边的关系，结合中位线定理求解，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
