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9. 某校对八(1)班40名学生进行了劳动技能测评，因小铭请假没有参加测评，算得39名学生测评成绩的平均分为8分，方差是1.6分²。小铭补测的成绩恰好为8分，重新计算40名学生测评成绩的平均分为$\bar{x}$，方差为$S^2$，则下列关于$\bar{x}$和$S^2$的描述，正确的是（
A.$\bar{x}=8,S^2=1.6$
B.$\bar{x}=9,S^2=0$
C.$\bar{x}=8,S^2=1.56$
D.$\bar{x}=7.8,S^2=1.6$
C
）A.$\bar{x}=8,S^2=1.6$
B.$\bar{x}=9,S^2=0$
C.$\bar{x}=8,S^2=1.56$
D.$\bar{x}=7.8,S^2=1.6$
答案
9.C
解析
【分析】
要解决本题，需分别计算40名学生的平均分和方差：平均分等于总分数除以总人数，总分数是原39名学生的总分加上小铭的补测成绩；方差需根据方差公式，先确定原数据的平方和，再加入小铭成绩对应的平方项，最后除以总人数。
【解析】
1. 计算平均分$\bar{x}$：
原39名学生的总分为 $39 × 8 = 312$，加上小铭的8分后，40名学生的总分为 $312 + 8 = 320$，因此平均分 $\bar{x} = \frac{320}{40} = 8$。
2. 计算方差$S^2$：
根据方差公式 $S^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$，原39名学生的平方和为 $39 × 1.6 = 62.4$。小铭的成绩为8，新的平均分也是8，所以小铭成绩对应的平方项为 $(8 - 8)^2 = 0$。则40名学生的方差为：
$S^2 = \frac{62.4 + 0}{40} = 1.56$。
综上，$\bar{x}=8$，$S^2=1.56$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平均数、方差
【点评】
本题考查平均数和方差的基本计算，核心是掌握两者的计算公式，加入新数据时需准确调整总分数和平方和，计算过程需仔细避免出错。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需分别计算40名学生的平均分和方差：平均分等于总分数除以总人数，总分数是原39名学生的总分加上小铭的补测成绩；方差需根据方差公式，先确定原数据的平方和，再加入小铭成绩对应的平方项，最后除以总人数。
【解析】
1. 计算平均分$\bar{x}$：
原39名学生的总分为 $39 × 8 = 312$，加上小铭的8分后，40名学生的总分为 $312 + 8 = 320$，因此平均分 $\bar{x} = \frac{320}{40} = 8$。
2. 计算方差$S^2$：
根据方差公式 $S^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$，原39名学生的平方和为 $39 × 1.6 = 62.4$。小铭的成绩为8，新的平均分也是8，所以小铭成绩对应的平方项为 $(8 - 8)^2 = 0$。则40名学生的方差为：
$S^2 = \frac{62.4 + 0}{40} = 1.56$。
综上，$\bar{x}=8$，$S^2=1.56$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平均数、方差
【点评】
本题考查平均数和方差的基本计算，核心是掌握两者的计算公式，加入新数据时需准确调整总分数和平方和，计算过程需仔细避免出错。
【难度系数】
0.6
10.如图,点P是矩形ABCD的对角线上一动点,过点P作AC的垂线,分别交边AD,BC于点E,F,连结CE,AF,则下列结论中,不成立的是 (
A.四边形AFCE的面积是定值
B.$AE+CF$的值不变
C.$CE+AF$的值不变
D.$AE^2+CF^2=AF^2+CE^2$
C
)A.四边形AFCE的面积是定值
B.$AE+CF$的值不变
C.$CE+AF$的值不变
D.$AE^2+CF^2=AF^2+CE^2$
答案
10.C 【解析】如图,过点C作$CG// EF$,交AD的延长线于点G。
因为$EF⊥ AC$,所以$CG⊥ AC$。因为G为定点,即AG为定值。因为四边形ABCD是矩形,所以$AD// BC$。所以四边形EFCG是平行四边形。所以$CF=EG$。所以$S_{△ ACF}=S_{△ CEG}$。所以$S_{△ ACF}+S_{△ ACE}=S_{△ CEG}+S_{△ ACE}$,即$S_{四边形AFCE}=S_{△ ACG}$。所以四边形AFCE的面积是定值,故选项A正确。因为$AE+CF=AE+EG=AG$,所以$AE+CF$的值不变,故选项B正确。因为$AE^2+CF^2=AP^2+PE^2+CP^2+PF^2$,$AF^2+CE^2=AP^2+PF^2+PE^2+CP^2$,所以$AE^2+CF^2=AF^2+CE^2$,故选项D正确。所以$CE+AF$的值不变不成立,故选项C错误。故选C。解析
【分析】本题是矩形背景下的动点几何问题，需通过作辅助线转化线段关系，结合矩形性质、平行四边形判定、勾股定理逐一分析选项。核心思路是：过点C作CG//EF交AD延长线于G，将CF转化为EG，进而分析面积、线段和、平方和的变化，判断各选项是否成立。
【解析】如图，过点C作$CG// EF$，交AD的延长线于点G。
因为$EF⊥AC$，所以$CG⊥AC$。
因为四边形ABCD是矩形，所以$AD// BC$，又$CG// EF$，故四边形EFCG是平行四边形，因此$CF=EG$。
选项A：$S_{四边形AFCE}=S_{△ACF}+S_{△ACE}$，而$S_{△ACF}=S_{△CEG}$（等底等高），所以$S_{四边形AFCE}=S_{△CEG}+S_{△ACE}=S_{△ACG}$，G为定点，$S_{△ACG}$是定值，故四边形AFCE的面积是定值，A正确。
选项B：$AE+CF=AE+EG=AG$，AG是定值，故$AE+CF$的值不变，B正确。
选项D：由勾股定理，$AE^2=AP^2+PE^2$，$CF^2=CP^2+PF^2$，则$AE^2+CF^2=AP^2+PE^2+CP^2+PF^2$；同理$AF^2=AP^2+PF^2$，$CE^2=CP^2+PE^2$，故$AF^2+CE^2=AP^2+PF^2+CP^2+PE^2$，因此$AE^2+CF^2=AF^2+CE^2$，D正确。
选项C：CE和AF的长度随点P移动而变化，它们的和不是定值，故C错误。
综上，答案为C。
【答案】C
【知识点】矩形性质、平行四边形判定、勾股定理
【点评】本题通过构造平行四边形转化动点线段，将动态问题转化为静态定点问题，考查几何性质的综合应用，需熟练掌握矩形、平行四边形及勾股定理的相关知识。
【难度系数】0.5
【解析】如图，过点C作$CG// EF$，交AD的延长线于点G。
因为$EF⊥AC$，所以$CG⊥AC$。
因为四边形ABCD是矩形，所以$AD// BC$，又$CG// EF$，故四边形EFCG是平行四边形，因此$CF=EG$。
选项A：$S_{四边形AFCE}=S_{△ACF}+S_{△ACE}$，而$S_{△ACF}=S_{△CEG}$（等底等高），所以$S_{四边形AFCE}=S_{△CEG}+S_{△ACE}=S_{△ACG}$，G为定点，$S_{△ACG}$是定值，故四边形AFCE的面积是定值，A正确。
选项B：$AE+CF=AE+EG=AG$，AG是定值，故$AE+CF$的值不变，B正确。
选项D：由勾股定理，$AE^2=AP^2+PE^2$，$CF^2=CP^2+PF^2$，则$AE^2+CF^2=AP^2+PE^2+CP^2+PF^2$；同理$AF^2=AP^2+PF^2$，$CE^2=CP^2+PE^2$，故$AF^2+CE^2=AP^2+PF^2+CP^2+PE^2$，因此$AE^2+CF^2=AF^2+CE^2$，D正确。
选项C：CE和AF的长度随点P移动而变化，它们的和不是定值，故C错误。
综上，答案为C。
【答案】C
【知识点】矩形性质、平行四边形判定、勾股定理
【点评】本题通过构造平行四边形转化动点线段，将动态问题转化为静态定点问题，考查几何性质的综合应用，需熟练掌握矩形、平行四边形及勾股定理的相关知识。
【难度系数】0.5
11. 已知一组数据的方差为2,则这组数据的标准差为$\underline{\sqrt{2}}$。
答案
11.$\sqrt{2}$
解析
【分析】首先明确标准差与方差的核心关系：标准差是方差的算术平方根，因此已知方差求标准差，只需将方差开平方即可。本题给出方差为2，直接对2开平方就能得到对应标准差。
【解析】根据标准差的定义，标准差等于方差的算术平方根，公式为：若一组数据的方差为$ s^2 $，则其标准差$ s = \sqrt{s^2} $。已知该组数据的方差为2，代入公式计算得标准差为$ \sqrt{2} $。
【答案】$\sqrt{2}$
【知识点】方差与标准差的关系
【点评】本题考查方差和标准差的基础概念，属于概念直接应用的简单题目，只要牢记标准差是方差的算术平方根这一知识点即可快速解答。
【难度系数】0.9
【解析】根据标准差的定义，标准差等于方差的算术平方根，公式为：若一组数据的方差为$ s^2 $，则其标准差$ s = \sqrt{s^2} $。已知该组数据的方差为2，代入公式计算得标准差为$ \sqrt{2} $。
【答案】$\sqrt{2}$
【知识点】方差与标准差的关系
【点评】本题考查方差和标准差的基础概念，属于概念直接应用的简单题目，只要牢记标准差是方差的算术平方根这一知识点即可快速解答。
【难度系数】0.9
12. 关于$x$的一元二次方程$x^2 + k = 0$有实数根，则实数$k$的取值范围是________。
答案
12.$k≤0$
解析
【分析】
要确定一元二次方程有实数根时k的取值范围，需依据一元二次方程根的判别式规则：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$时，方程存在实数根。先将题目中的方程化为标准形式，确定$a、b、c$的值，再代入判别式计算，进而求解k的取值范围。
【解析】
将方程$x^2 + k = 0$整理为一元二次方程的标准形式：$x^2 + 0·x + k = 0$，其中$a=1$，$b=0$，$c=k$。
因为方程有实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，代入参数得：
$\Delta = 0^2 - 4×1×k = -4k ≥ 0$
不等式两边同时除以$-4$（负数），不等号方向改变，解得$k ≤ 0$。
【答案】
$k ≤ 0$
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题，核心考查判别式与根的关系，计算时需注意不等式的变号规则，属于初中数学的基础得分题。
【难度系数】
0.7
要确定一元二次方程有实数根时k的取值范围，需依据一元二次方程根的判别式规则：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$时，方程存在实数根。先将题目中的方程化为标准形式，确定$a、b、c$的值，再代入判别式计算，进而求解k的取值范围。
【解析】
将方程$x^2 + k = 0$整理为一元二次方程的标准形式：$x^2 + 0·x + k = 0$，其中$a=1$，$b=0$，$c=k$。
因为方程有实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，代入参数得：
$\Delta = 0^2 - 4×1×k = -4k ≥ 0$
不等式两边同时除以$-4$（负数），不等号方向改变，解得$k ≤ 0$。
【答案】
$k ≤ 0$
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题，核心考查判别式与根的关系，计算时需注意不等式的变号规则，属于初中数学的基础得分题。
【难度系数】
0.7
13.一个正八边形,从它的一个顶点可引出m条对角线,并把这个正八边形分成n个三角形,则$m+n=$
11
。答案
13.11
解析
【分析】
要解决这个问题，需掌握多边形的核心性质：从n边形的一个顶点出发，可引出的对角线数量为$n-3$条，这些对角线能将多边形分成$n-2$个三角形。本题是正八边形，边数为8，先分别计算对角线数量$m$和分成的三角形数量，再求和即可。
【解析】
1. 计算对角线数量$m$：
对于n边形，从一个顶点引出的对角线数量公式为$m = n - 3$。正八边形的边数$n=8$，代入得$m = 8 - 3 = 5$。
2. 计算分成的三角形数量：
从n边形的一个顶点引出的对角线将多边形分成的三角形数量公式为$k = n - 2$，本题中三角形数量记为题目中的$n$，因此$n = 8 - 2 = 6$。
3. 求和：$m + n = 5 + 6 = 11$。
【答案】
11
【知识点】
多边形的对角线、多边形的分割
【点评】
本题考查多边形的基础性质，核心是牢记从多边形一个顶点引对角线及分三角形的数量公式，属于基础题型，难度较低，只要掌握公式就能快速解答。
【难度系数】
0.2
要解决这个问题，需掌握多边形的核心性质：从n边形的一个顶点出发，可引出的对角线数量为$n-3$条，这些对角线能将多边形分成$n-2$个三角形。本题是正八边形，边数为8，先分别计算对角线数量$m$和分成的三角形数量，再求和即可。
【解析】
1. 计算对角线数量$m$：
对于n边形，从一个顶点引出的对角线数量公式为$m = n - 3$。正八边形的边数$n=8$，代入得$m = 8 - 3 = 5$。
2. 计算分成的三角形数量：
从n边形的一个顶点引出的对角线将多边形分成的三角形数量公式为$k = n - 2$，本题中三角形数量记为题目中的$n$，因此$n = 8 - 2 = 6$。
3. 求和：$m + n = 5 + 6 = 11$。
【答案】
11
【知识点】
多边形的对角线、多边形的分割
【点评】
本题考查多边形的基础性质，核心是牢记从多边形一个顶点引对角线及分三角形的数量公式，属于基础题型，难度较低，只要掌握公式就能快速解答。
【难度系数】
0.2
14.如图,菱形ABCD的周长为20,面积为24,P是对角线BD上一点,分别作点P到直线AB,AD的垂线段PE,PF,则PE+PF等于________。
答案
14.$\dfrac{24}{5}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先利用菱形的周长求出边长，再通过连接对角线将菱形面积分割为两个三角形的面积和，结合三角形面积公式建立关于PE、PF的等式，进而求出PE+PF的值。具体思路：1. 根据菱形周长计算边长AB=AD；2. 确定△ABD的面积为菱形面积的一半；3. 利用PE、PF是点P到AB、AD的垂线段，写出两个三角形的面积表达式，结合面积和建立方程求解。
【解析】
解：
∵ 菱形ABCD的周长为20，
∴ 边长AB=AD=20÷4=5。
连接AP，
∵ 菱形的对角线平分菱形面积，
∴ $S_{△ ABD} = \frac{1}{2}S_{菱形ABCD} = \frac{1}{2}×24=12$。
又
∵ PE⊥AB，PF⊥AD，
∴ $S_{△ ABP} = \frac{1}{2}AB·PE$，$S_{△ ADP} = \frac{1}{2}AD·PF$。
而 $S_{△ ABP} + S_{△ ADP} = S_{△ ABD}$，
代入AB=AD=5，得：
$\frac{1}{2}×5·PE + \frac{1}{2}×5·PF =12$，
提取公因式得：$\frac{5}{2}(PE+PF)=12$，
解得：$PE+PF=12×\frac{2}{5}=\frac{24}{5}$。
【答案】
$\dfrac{24}{5}$
【知识点】
菱形的性质、三角形面积计算
【点评】
本题考查菱形性质与面积法的应用，核心是通过连接AP将所求线段转化为三角形面积的关系，利用菱形边长相等简化计算，是几何中面积法解题的典型例题，需掌握这种转化思想。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，首先利用菱形的周长求出边长，再通过连接对角线将菱形面积分割为两个三角形的面积和，结合三角形面积公式建立关于PE、PF的等式，进而求出PE+PF的值。具体思路：1. 根据菱形周长计算边长AB=AD；2. 确定△ABD的面积为菱形面积的一半；3. 利用PE、PF是点P到AB、AD的垂线段，写出两个三角形的面积表达式，结合面积和建立方程求解。
【解析】
解：
∵ 菱形ABCD的周长为20，
∴ 边长AB=AD=20÷4=5。
连接AP，
∵ 菱形的对角线平分菱形面积，
∴ $S_{△ ABD} = \frac{1}{2}S_{菱形ABCD} = \frac{1}{2}×24=12$。
又
∵ PE⊥AB，PF⊥AD，
∴ $S_{△ ABP} = \frac{1}{2}AB·PE$，$S_{△ ADP} = \frac{1}{2}AD·PF$。
而 $S_{△ ABP} + S_{△ ADP} = S_{△ ABD}$，
代入AB=AD=5，得：
$\frac{1}{2}×5·PE + \frac{1}{2}×5·PF =12$，
提取公因式得：$\frac{5}{2}(PE+PF)=12$，
解得：$PE+PF=12×\frac{2}{5}=\frac{24}{5}$。
【答案】
$\dfrac{24}{5}$
【知识点】
菱形的性质、三角形面积计算
【点评】
本题考查菱形性质与面积法的应用，核心是通过连接AP将所求线段转化为三角形面积的关系，利用菱形边长相等简化计算，是几何中面积法解题的典型例题，需掌握这种转化思想。
【难度系数】
0.5
15. 观察下列各式：$5+2\sqrt{6}=(2+3)+2\sqrt{2×3}=(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{3})^{2}+2\sqrt{2}×\sqrt{3}=(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}$，$8+2\sqrt{7}=(1+7)+2\sqrt{1×7}=1^{2}+(\sqrt{7})^{2}+2×1×\sqrt{7}=(1+\sqrt{7})^{2}$，…
请运用以上方法化简：$\sqrt{7+2\sqrt{10}}=$
请运用以上方法化简：$\sqrt{7+2\sqrt{10}}=$
$\sqrt{5}+\sqrt{2}$
。答案
15.$\sqrt{5}+\sqrt{2}$ 【解析】原式=$\sqrt{(2+5)+2\sqrt{2×5}}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+2\sqrt{2}×\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2}=\sqrt{(\sqrt{2}+\sqrt{5})^2}=\sqrt{2}+\sqrt{5}$。
解析
【分析】
先观察题目给出的示例，发现形如“$a + 2\sqrt{b}$”的式子可通过拆分$a$为两个数的和，使这两个数的乘积等于$b$，进而转化为完全平方公式的形式$(\sqrt{m} + \sqrt{n})^2$（其中$m + n = a$，$mn = b$）。对于本题，需先将根号内的$7$拆分为两个数的和，且这两个数的乘积为$10$，再利用完全平方公式化简，最后根据二次根式的性质开方得到结果。
【解析】
解：先处理根号内的式子，将$7$拆分为$2 + 5$，$2\sqrt{10}$拆分为$2×\sqrt{2}×\sqrt{5}$，因此：
$\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{(2 + 5) + 2×\sqrt{2}×\sqrt{5}}$
根据完全平方公式$A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2$，可得：
$= \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 2×\sqrt{2}×\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2}$
$= \sqrt{(\sqrt{2} + \sqrt{5})^2}$
因为$\sqrt{x^2} = |x|$，且$\sqrt{2}$、$\sqrt{5}$均为正数，所以：
$= \sqrt{2} + \sqrt{5}$
【答案】
$\sqrt{2} + \sqrt{5}$
【知识点】
完全平方公式、二次根式化简
【点评】
本题是规律探究型的二次根式化简题，核心是利用完全平方公式对根号内的式子变形，关键在于准确拆分常数项使其满足完全平方结构，考查学生的观察能力与公式运用能力。
【难度系数】
0.5
先观察题目给出的示例，发现形如“$a + 2\sqrt{b}$”的式子可通过拆分$a$为两个数的和，使这两个数的乘积等于$b$，进而转化为完全平方公式的形式$(\sqrt{m} + \sqrt{n})^2$（其中$m + n = a$，$mn = b$）。对于本题，需先将根号内的$7$拆分为两个数的和，且这两个数的乘积为$10$，再利用完全平方公式化简，最后根据二次根式的性质开方得到结果。
【解析】
解：先处理根号内的式子，将$7$拆分为$2 + 5$，$2\sqrt{10}$拆分为$2×\sqrt{2}×\sqrt{5}$，因此：
$\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{(2 + 5) + 2×\sqrt{2}×\sqrt{5}}$
根据完全平方公式$A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2$，可得：
$= \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 2×\sqrt{2}×\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2}$
$= \sqrt{(\sqrt{2} + \sqrt{5})^2}$
因为$\sqrt{x^2} = |x|$，且$\sqrt{2}$、$\sqrt{5}$均为正数，所以：
$= \sqrt{2} + \sqrt{5}$
【答案】
$\sqrt{2} + \sqrt{5}$
【知识点】
完全平方公式、二次根式化简
【点评】
本题是规律探究型的二次根式化简题，核心是利用完全平方公式对根号内的式子变形，关键在于准确拆分常数项使其满足完全平方结构，考查学生的观察能力与公式运用能力。
【难度系数】
0.5
16.正方形工整、匀称、美观,设计方便,在人们的生活和生产实际中有着广泛的应用。如图1所示为某园林石窗,其外框是边长为6的正方形ABCD(如图2),E,F,G,H分别为四边上的中点,以四边形EFGH各边的三等分点的连线为边,分别向内作等边三角形(如$△ JIK$),四个等边三角形的顶点恰好是正方形MNPQ各边的中点,则点H,M之间的距离是
$\sqrt{3}$
。答案
16.$\sqrt{3}$ 【解析】因为E,H分别是正方形ABCD的边AB,AD的中点,所以$AE=AH=3$。所以$∠ AEH=∠ AHE=45°$,$EH=\sqrt{AE^2+AH^2}=3\sqrt{2}$。同理可得$∠ DHG=45°$,$EH=HG=FG=EF$,所以$∠ EHG=90°$。所以四边形EFGH是正方形。因为以四边形EFGH各边的三等分点的连线为边,分别向内作等边三角形,所以$IJ=EJ=HI=JK=\dfrac{1}{3}EH=\sqrt{2}$。
如图,过点K作$KT⊥ EH$于点T,延长TK分别交PQ,FG于点L,S。所以$TJ=IT=\dfrac{1}{2}IJ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。所以$TK=\sqrt{JK^2-JT^2}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$。因为$∠ THG=∠ HTS=∠ HGS=90°$,所以四边形TSGH是矩形。所以$TS=HG=HE=3\sqrt{2}$。由对称性可知$LS=TK=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$,所以$KL=TS-TK-LS=3\sqrt{2}-\sqrt{6}$。因为K,L分别为正方形NMQP边MN,PQ的中点,所以$∠ Q=90°$,$MK=QL$,$MK// QL$。所以四边形MQLK是矩形。所以$MN=MQ=KL=3\sqrt{2}-\sqrt{6}$,$∠ TKM=90°$。过点M作$MW⊥ EH$于点W,则四边形TKMW是矩形。所以$MW=TK=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$,$TW=MK=\dfrac{1}{2}MN=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{6}}{2}$。因为$EJ=HI$,$TJ=TI$,$ET=HT=\dfrac{1}{2}EH=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$,所以$WH=HT-TW=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$。所以$HM=\sqrt{MW^2+HW^2}=\sqrt{3}$。所以点H,M之间的距离是$\sqrt{3}$。解析
【分析】
要计算点H、M之间的距离，需先推导各图形的性质与线段长度：
1. 利用正方形ABCD的边长及中点性质，先求出EH的长度，判断四边形EFGH为正方形；
2. 根据三等分点的定义得到等边三角形的边长，结合等边三角形的高计算相关线段长度；
3. 借助对称性和矩形性质确定M点到EH的垂直、水平距离，最终用勾股定理计算HM的长度。
【解析】
因为正方形ABCD的边长为6，E、H分别为AB、AD的中点，所以AE=AH=3。
在Rt△AEH中，由勾股定理得：$EH=\sqrt{AE^2+AH^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，且$∠ AEH=∠ AHE=45°$。
同理可得：$HG=FG=EF=3\sqrt{2}$，$∠ DHG=45°$，故$∠ EHG=180°-45°-45°=90°$，因此四边形EFGH是边长为$3\sqrt{2}$的正方形。
以EFGH各边的三等分点连线为边作等边三角形，故等边三角形的边长为$\frac{1}{3}EH=\frac{1}{3}×3\sqrt{2}=\sqrt{2}$，即$IJ=JK=\sqrt{2}$。
过点K作$KT⊥ EH$于点T，在等边△JIK中，$TJ=IT=\frac{1}{2}IJ=\frac{\sqrt{2}}{2}$，由勾股定理得：$TK=\sqrt{JK^2-TJ^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
由对称性可知，四边形TSGH是矩形，故$TS=HG=3\sqrt{2}$，且$LS=TK=\frac{\sqrt{6}}{2}$，因此$KL=TS-TK-LS=3\sqrt{2}-\sqrt{6}$。
又因为K、L为正方形MNPQ边的中点，四边形MQLK为矩形，故$MK=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}KL=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$。
过点M作$MW⊥ EH$于点W，四边形TKMW为矩形，所以$MW=TK=\frac{\sqrt{6}}{2}$，$TW=MK=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$。
计算WH：$ET=HT=\frac{1}{2}EH=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，故$WH=HT-TW=\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
在Rt△HMW中，由勾股定理得：$HM=\sqrt{MW^2+WH^2}=\sqrt{(\frac{\sqrt{6}}{2})^2+(\frac{\sqrt{6}}{2})^2}=\sqrt{\frac{6}{4}+\frac{6}{4}}=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
正方形的性质、等边三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题为几何综合题，综合考查正方形、等边三角形的性质及勾股定理的应用，解题关键是利用对称性确定线段关系，通过辅助线构造直角三角形完成计算，对几何推理能力要求较高。
【难度系数】
0.4
要计算点H、M之间的距离，需先推导各图形的性质与线段长度：
1. 利用正方形ABCD的边长及中点性质，先求出EH的长度，判断四边形EFGH为正方形；
2. 根据三等分点的定义得到等边三角形的边长，结合等边三角形的高计算相关线段长度；
3. 借助对称性和矩形性质确定M点到EH的垂直、水平距离，最终用勾股定理计算HM的长度。
【解析】
因为正方形ABCD的边长为6，E、H分别为AB、AD的中点，所以AE=AH=3。
在Rt△AEH中，由勾股定理得：$EH=\sqrt{AE^2+AH^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，且$∠ AEH=∠ AHE=45°$。
同理可得：$HG=FG=EF=3\sqrt{2}$，$∠ DHG=45°$，故$∠ EHG=180°-45°-45°=90°$，因此四边形EFGH是边长为$3\sqrt{2}$的正方形。
以EFGH各边的三等分点连线为边作等边三角形，故等边三角形的边长为$\frac{1}{3}EH=\frac{1}{3}×3\sqrt{2}=\sqrt{2}$，即$IJ=JK=\sqrt{2}$。
过点K作$KT⊥ EH$于点T，在等边△JIK中，$TJ=IT=\frac{1}{2}IJ=\frac{\sqrt{2}}{2}$，由勾股定理得：$TK=\sqrt{JK^2-TJ^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
由对称性可知，四边形TSGH是矩形，故$TS=HG=3\sqrt{2}$，且$LS=TK=\frac{\sqrt{6}}{2}$，因此$KL=TS-TK-LS=3\sqrt{2}-\sqrt{6}$。
又因为K、L为正方形MNPQ边的中点，四边形MQLK为矩形，故$MK=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}KL=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$。
过点M作$MW⊥ EH$于点W，四边形TKMW为矩形，所以$MW=TK=\frac{\sqrt{6}}{2}$，$TW=MK=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$。
计算WH：$ET=HT=\frac{1}{2}EH=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，故$WH=HT-TW=\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。
在Rt△HMW中，由勾股定理得：$HM=\sqrt{MW^2+WH^2}=\sqrt{(\frac{\sqrt{6}}{2})^2+(\frac{\sqrt{6}}{2})^2}=\sqrt{\frac{6}{4}+\frac{6}{4}}=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
正方形的性质、等边三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题为几何综合题，综合考查正方形、等边三角形的性质及勾股定理的应用，解题关键是利用对称性确定线段关系，通过辅助线构造直角三角形完成计算，对几何推理能力要求较高。
【难度系数】
0.4
