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20.(8分)某校为了解八年级男生引体向上的成绩情况,随机抽测了八年级部分男生进行测试,并将测试得到的成绩绘制成了如下统计表:
请你根据表中的信息,解答下列问题:
(1)求被抽测男生的成绩的众数、中位数和平均数。
(2)在众数、中位数和平均数中,你认为用哪一个统计量作为该校八年级男生引体向上测试的合格标准较为合适?请说明你的理由。
请你根据表中的信息,解答下列问题:
(1)求被抽测男生的成绩的众数、中位数和平均数。
(2)在众数、中位数和平均数中,你认为用哪一个统计量作为该校八年级男生引体向上测试的合格标准较为合适?请说明你的理由。
答案
20.(1)众数是4,中位数是$\dfrac{4+5}{2}=4.5$,总人数为$1+1+5+18+10+6+2+2+1+1+2+1=50$,平均数=$\dfrac{1}{50}×(1×1+2×1+3×5+4×18+5×10+6×6+7×2+8×2+9×1+10×1+11×2+12×1)=5.18$。
(2)用众数作为合格标准个数较合适,因为大多数学生达到了4个及以上。
(2)用众数作为合格标准个数较合适,因为大多数学生达到了4个及以上。
解析
【分析】
要解决本题，需明确三个统计量的定义与计算方法：1. 众数是一组数据中出现次数最多的数，需找到对应人数最多的成绩；2. 中位数是将数据从小到大排列后，中间位置的数，总人数为偶数时取中间两个数的平均数，需通过累计人数确定中间位置对应的成绩；3. 本题的平均数为加权平均数，用各成绩乘以对应人数的总和除以总人数。第(2)问需结合统计量的实际意义，判断哪个适合作为合格标准。
【解析】
(1) ①计算总人数：将各成绩对应的人数相加，即$1+1+5+18+10+6+2+2+1+1+2+1=50$（人）。
②求众数：观察人数，成绩为4对应的人数是18，是所有人数中最多的，因此众数是4。
③求中位数：总人数50为偶数，中位数是第25和第26个数据的平均数。累计人数：成绩1到3的累计人数为$1+1+5=7$，成绩4的人数为18，$7+18=25$，故第25个数据是4；第26个数据属于成绩5的组，为5，因此中位数为$\frac{4+5}{2}=4.5$。
④求平均数：根据加权平均数公式，代入数据得：
$\mathrm{平均数}=\frac{1}{50}×(1×1 + 2×1 + 3×5 + 4×18 +5×10 +6×6 +7×2 +8×2 +9×1 +10×1 +11×2 +12×1)=\frac{259}{50}=5.18$。
(2) 选择众数作为合格标准较合适，因为众数反映了大多数学生的成绩水平，成绩为4个的学生人数最多，说明大多数学生能达到4个，以此作为合格标准更符合实际情况。
【答案】
(1) 众数是4，中位数是4.5，平均数是5.18；(2) 用众数作为该校八年级男生引体向上测试的合格标准较为合适，理由是大多数学生达到了4个及以上。
【知识点】
众数、中位数、平均数；统计量的实际应用
【点评】
本题考查统计量的计算与实际应用，需熟练掌握众数、中位数、平均数的计算方法，理解不同统计量的意义，属于基础统计题，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需明确三个统计量的定义与计算方法：1. 众数是一组数据中出现次数最多的数，需找到对应人数最多的成绩；2. 中位数是将数据从小到大排列后，中间位置的数，总人数为偶数时取中间两个数的平均数，需通过累计人数确定中间位置对应的成绩；3. 本题的平均数为加权平均数，用各成绩乘以对应人数的总和除以总人数。第(2)问需结合统计量的实际意义，判断哪个适合作为合格标准。
【解析】
(1) ①计算总人数：将各成绩对应的人数相加，即$1+1+5+18+10+6+2+2+1+1+2+1=50$（人）。
②求众数：观察人数，成绩为4对应的人数是18，是所有人数中最多的，因此众数是4。
③求中位数：总人数50为偶数，中位数是第25和第26个数据的平均数。累计人数：成绩1到3的累计人数为$1+1+5=7$，成绩4的人数为18，$7+18=25$，故第25个数据是4；第26个数据属于成绩5的组，为5，因此中位数为$\frac{4+5}{2}=4.5$。
④求平均数：根据加权平均数公式，代入数据得：
$\mathrm{平均数}=\frac{1}{50}×(1×1 + 2×1 + 3×5 + 4×18 +5×10 +6×6 +7×2 +8×2 +9×1 +10×1 +11×2 +12×1)=\frac{259}{50}=5.18$。
(2) 选择众数作为合格标准较合适，因为众数反映了大多数学生的成绩水平，成绩为4个的学生人数最多，说明大多数学生能达到4个，以此作为合格标准更符合实际情况。
【答案】
(1) 众数是4，中位数是4.5，平均数是5.18；(2) 用众数作为该校八年级男生引体向上测试的合格标准较为合适，理由是大多数学生达到了4个及以上。
【知识点】
众数、中位数、平均数；统计量的实际应用
【点评】
本题考查统计量的计算与实际应用，需熟练掌握众数、中位数、平均数的计算方法，理解不同统计量的意义，属于基础统计题，难度适中。
【难度系数】
0.5
21.(10分)已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(2m-1)x-3m^2+m=0$。
(1)求证:无论$m$为何值,方程总有实数根。
(2)若$x_1,x_2$是方程的两个实数根,且$\dfrac{x_2}{x_1}+\dfrac{x_1}{x_2}=-\dfrac{5}{2}$,求$m$的值。
(1)求证:无论$m$为何值,方程总有实数根。
(2)若$x_1,x_2$是方程的两个实数根,且$\dfrac{x_2}{x_1}+\dfrac{x_1}{x_2}=-\dfrac{5}{2}$,求$m$的值。
答案
21.(1)因为$\Delta=[-(2m-1)]^2-4×1×(-3m^2+m)=4m^2-4m+1+12m^2-4m=16m^2-8m+1=(4m-1)^2≥0$,所以方程总有实数根。
(2)由题意知,$x_1+x_2=2m-1$,$x_1x_2=-3m^2+m$,因为$\dfrac{x_2}{x_1}+\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\dfrac{(x_1+x_2)^2}{x_1x_2}-2=-\dfrac{5}{2}$,所以$\dfrac{(2m-1)^2}{-3m^2+m}-2=-\dfrac{5}{2}$,整理得$5m^2-7m+2=0$,解得$m=1$或$m=\dfrac{2}{5}$。
(2)由题意知,$x_1+x_2=2m-1$,$x_1x_2=-3m^2+m$,因为$\dfrac{x_2}{x_1}+\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\dfrac{(x_1+x_2)^2}{x_1x_2}-2=-\dfrac{5}{2}$,所以$\dfrac{(2m-1)^2}{-3m^2+m}-2=-\dfrac{5}{2}$,整理得$5m^2-7m+2=0$,解得$m=1$或$m=\dfrac{2}{5}$。
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问要证明一元二次方程总有实数根，核心是利用根的判别式，计算判别式并证明其非负即可；第(2)问已知两根的分式和，需结合韦达定理（根与系数的关系），将所求分式转化为含两根和与积的形式，代入后建立关于m的方程，求解得到m的值。
【解析】
(1) 对于一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$，判别式 $\Delta = b^2-4ac$。
本题中 $a=1$，$b=-(2m-1)$，$c=-3m^2+m$，则：
$\begin{aligned}\Delta&=[-(2m-1)]^2 - 4×1×(-3m^2+m)\\&=4m^2 -4m +1 +12m^2 -4m\\&=16m^2 -8m +1\\&=(4m-1)^2\end{aligned}$
因为任何数的平方非负，即 $(4m-1)^2≥0$，所以无论m为何值，方程总有实数根。
(2) 由韦达定理，方程的两根 $x_1,x_2$ 满足：
$x_1+x_2=2m-1$，$x_1x_2=-3m^2+m$。
对 $\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$ 变形：
$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2}{x_1x_2} -2$
代入已知 $\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=-\frac{5}{2}$，得：
$\frac{(2m-1)^2}{-3m^2+m} -2 = -\frac{5}{2}$
整理方程：
$\frac{(2m-1)^2}{-3m^2+m} = -\frac{5}{2} +2 = -\frac{1}{2}$
交叉相乘得：$2(4m^2 -4m +1) = -(-3m^2 +m)$，即 $8m^2 -8m +2 = 3m^2 -m$，移项合并得 $5m^2 -7m +2=0$，因式分解为 $(5m-2)(m-1)=0$，解得 $m=1$ 或 $m=\frac{2}{5}$。
【答案】
(1) 证明：因为 $\Delta=(4m-1)^2≥0$，所以无论m为何值，方程总有实数根；
(2) $m=1$ 或 $m=\frac{2}{5}$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，重点考察根的判别式的应用和韦达定理的变形技巧，解题关键在于熟练进行代数式的恒等变形，难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.5
本题分为两小问，第(1)问要证明一元二次方程总有实数根，核心是利用根的判别式，计算判别式并证明其非负即可；第(2)问已知两根的分式和，需结合韦达定理（根与系数的关系），将所求分式转化为含两根和与积的形式，代入后建立关于m的方程，求解得到m的值。
【解析】
(1) 对于一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$，判别式 $\Delta = b^2-4ac$。
本题中 $a=1$，$b=-(2m-1)$，$c=-3m^2+m$，则：
$\begin{aligned}\Delta&=[-(2m-1)]^2 - 4×1×(-3m^2+m)\\&=4m^2 -4m +1 +12m^2 -4m\\&=16m^2 -8m +1\\&=(4m-1)^2\end{aligned}$
因为任何数的平方非负，即 $(4m-1)^2≥0$，所以无论m为何值，方程总有实数根。
(2) 由韦达定理，方程的两根 $x_1,x_2$ 满足：
$x_1+x_2=2m-1$，$x_1x_2=-3m^2+m$。
对 $\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$ 变形：
$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2}{x_1x_2} -2$
代入已知 $\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=-\frac{5}{2}$，得：
$\frac{(2m-1)^2}{-3m^2+m} -2 = -\frac{5}{2}$
整理方程：
$\frac{(2m-1)^2}{-3m^2+m} = -\frac{5}{2} +2 = -\frac{1}{2}$
交叉相乘得：$2(4m^2 -4m +1) = -(-3m^2 +m)$，即 $8m^2 -8m +2 = 3m^2 -m$，移项合并得 $5m^2 -7m +2=0$，因式分解为 $(5m-2)(m-1)=0$，解得 $m=1$ 或 $m=\frac{2}{5}$。
【答案】
(1) 证明：因为 $\Delta=(4m-1)^2≥0$，所以无论m为何值，方程总有实数根；
(2) $m=1$ 或 $m=\frac{2}{5}$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，重点考察根的判别式的应用和韦达定理的变形技巧，解题关键在于熟练进行代数式的恒等变形，难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.5
22.(10分)一次围棋比赛采用单循环赛制(即每位选手与其他选手各比赛1局),且参赛者少于15人。小珺和小哲对比赛的总局数进行了统计:
(1)若参赛者共5人,按赛制应该进行几局比赛?
(2)小哲说的有道理吗?请通过计算说明。
(3)他们经过查询发现,小珺的统计无误,是有一人中途退出比赛,请直接写出报名本次比赛的人数。
(1)若参赛者共5人,按赛制应该进行几局比赛?
(2)小哲说的有道理吗?请通过计算说明。
(3)他们经过查询发现,小珺的统计无误,是有一人中途退出比赛,请直接写出报名本次比赛的人数。
答案
22.(1)由题意得$\dfrac{5×(5-1)}{2}=10$(局),所以应该进行10局比赛。
(2)小哲说的有道理。理由如下:设有$x$人报名参赛。由题意得$\dfrac{x(x-1)}{2}=70$,解得$x=\dfrac{1+\sqrt{561}}{2}$(负值已舍),不为整数,所以方程的解不符合实际,小哲说的有道理。
(3)设有一人比赛了$n$场后退出比赛。根据题意,得$\dfrac{(x-1)(x-2)}{2}+n=70$。解得$x=\dfrac{3\pm\sqrt{561-8n}}{2}$。当$n=4$时,$x=13$(负值舍去)。所以报名本次比赛的有13人。
(2)小哲说的有道理。理由如下:设有$x$人报名参赛。由题意得$\dfrac{x(x-1)}{2}=70$,解得$x=\dfrac{1+\sqrt{561}}{2}$(负值已舍),不为整数,所以方程的解不符合实际,小哲说的有道理。
(3)设有一人比赛了$n$场后退出比赛。根据题意,得$\dfrac{(x-1)(x-2)}{2}+n=70$。解得$x=\dfrac{3\pm\sqrt{561-8n}}{2}$。当$n=4$时,$x=13$(负值舍去)。所以报名本次比赛的有13人。
解析
【分析】
首先明确单循环赛制的总局数公式：若有n名选手，总局数为$\frac{n(n-1)}{2}$（每局比赛仅两人参与，避免重复计算需除以2）。第(1)问直接代入n=5计算；第(2)问假设总人数为x，令总局数等于70，解一元二次方程，若解非整数（人数必为整数），则小哲说法合理；第(3)问因1人中途退出，总局数等于(x-1)人的单循环局数加该人已赛局数，结合报名人数x＜15的条件，寻找整数解即可。
【解析】
(1) 5人参赛时，根据单循环总局数公式：
总局数 = $\frac{5×(5-1)}{2} = \frac{5×4}{2} = 10$（局），故应进行10局比赛。
(2) 设报名参赛人数为x，若全员参赛，总局数为$\frac{x(x-1)}{2}$，令其等于70，列方程：
$\frac{x(x-1)}{2}=70$
整理得：$x^2 - x - 140 = 0$
计算判别式$\Delta=(-1)^2 -4×1×(-140)=561$，$\sqrt{561}\approx23.68$，方程正根为$x=\frac{1+\sqrt{561}}{2}\approx12.34$，非整数，不符合实际参赛人数要求，因此小哲说的有道理。
(3) 设报名人数为x，中途退出选手已赛n局（n为正整数），总局数为(x-1)人的单循环局数加该选手已赛局数，列方程：
$\frac{(x-1)(x-2)}{2}+n=70$
结合x＜15，尝试x=13时，$\frac{(13-1)(13-2)}{2}=66$，则n=70-66=4，符合实际，故报名人数为13人。
【答案】
(1)10局；(2)小哲说的有道理；(3)13人
【知识点】
单循环赛制、一元二次方程应用
【点评】
本题结合实际比赛场景，考查单循环赛制的总局数计算及一元二次方程的应用，需将实际问题转化为数学方程，同时考虑人数为整数的实际意义，是联系生活的典型应用题。
【难度系数】
0.5
首先明确单循环赛制的总局数公式：若有n名选手，总局数为$\frac{n(n-1)}{2}$（每局比赛仅两人参与，避免重复计算需除以2）。第(1)问直接代入n=5计算；第(2)问假设总人数为x，令总局数等于70，解一元二次方程，若解非整数（人数必为整数），则小哲说法合理；第(3)问因1人中途退出，总局数等于(x-1)人的单循环局数加该人已赛局数，结合报名人数x＜15的条件，寻找整数解即可。
【解析】
(1) 5人参赛时，根据单循环总局数公式：
总局数 = $\frac{5×(5-1)}{2} = \frac{5×4}{2} = 10$（局），故应进行10局比赛。
(2) 设报名参赛人数为x，若全员参赛，总局数为$\frac{x(x-1)}{2}$，令其等于70，列方程：
$\frac{x(x-1)}{2}=70$
整理得：$x^2 - x - 140 = 0$
计算判别式$\Delta=(-1)^2 -4×1×(-140)=561$，$\sqrt{561}\approx23.68$，方程正根为$x=\frac{1+\sqrt{561}}{2}\approx12.34$，非整数，不符合实际参赛人数要求，因此小哲说的有道理。
(3) 设报名人数为x，中途退出选手已赛n局（n为正整数），总局数为(x-1)人的单循环局数加该选手已赛局数，列方程：
$\frac{(x-1)(x-2)}{2}+n=70$
结合x＜15，尝试x=13时，$\frac{(13-1)(13-2)}{2}=66$，则n=70-66=4，符合实际，故报名人数为13人。
【答案】
(1)10局；(2)小哲说的有道理；(3)13人
【知识点】
单循环赛制、一元二次方程应用
【点评】
本题结合实际比赛场景，考查单循环赛制的总局数计算及一元二次方程的应用，需将实际问题转化为数学方程，同时考虑人数为整数的实际意义，是联系生活的典型应用题。
【难度系数】
0.5
