23.(10分)
探究将任意凸四边形经过“分割—重拼(不重叠、无缝隙)”得到正方形
素材1 取四边形ABCD各边的中点后，有两种方法可将其“分割-重拼”得到平行四边形。
方法一:如图1,沿对边中点连线分割,再按序号重拼得到平行四边形；
方法二:如图2,沿邻边中点连线分割,再按序号重拼得到平行四边形。


素材2 将平行四边形按图3折叠,并沿折痕分割,再重拼成矩形。

素材3 如图4,在矩形EFGH的EH边上取点M,连结FM,过点G作$GN⊥FM$于点N,沿FM,NG分割矩形EFGH,将$△EFM$沿射线EH平移,$△FNG$沿射线FN平移,重拼得到正方形NGPQ。

问题解决
任务1 请从素材1的两种方法中选择一种证明重拼得到的四边形是平行四边形。
任务2 根据素材3的操作过程,若$EF=3,FG=4$,求线段EM的长。

23.任务1:选方法一,如图1,依次连结点E,F,G,H,连结AC。因为E,F分别为AB,CB的中点,所以$EF\equalparallel\dfrac{1}{2}AC$。同理$HG\equalparallel\dfrac{1}{2}AC$,所以$EF// HG$。所以四边形EFGH为平行四边形。所以$HO=FO$,$EO=GO$。由拼接,得$O_1O=O_2O_3=2HO$,$O_1O_2=OO_3=2GO$,所以四边形$O_1OO_3O_2$是平行四边形。
选方法二,如图2,连结AC。因为E,F分别为AB,CB的中点,所以$EF=\dfrac{1}{2}AC$。同理$HG=\dfrac{1}{2}AC$,所以$EF=HG$。同理可证$EH=FG$。由拼接,得$E_1F_1=HG$,$E_1H=F_1G$,所以四边形$E_1HGF_1$是平行四边形。
任务2:由题意,得剪拼前后面积保持不变,所以$S_{正方形GPQN}=S_{矩形EFGH}=12$。所以$NQ=NG=2\sqrt{3}$。由题意得$△ MQP≌△ FNG$,所以$FN=MQ$。所以$FN+NM=MQ+NM$,即$FM=NQ=2\sqrt{3}$。在$\mathrm{Rt}△ EFM$中,由勾股定理得$EM=\sqrt{FM^2-EF^2}=\sqrt{3}$。

【分析】
任务1：选择方法一，解题思路是先连接原四边形的对角线AC，利用三角形中位线定理证明各中点连线构成平行四边形，得到对角线互相平分的关系；再根据拼接后各线段的长度关系，推导重拼后四边形的对边平行且相等，从而证明是平行四边形。任务2：解题思路是利用剪拼前后图形面积不变，先由矩形面积求出正方形的边长；再根据平移变换的性质得到FM的长度；最后在Rt△EFM中，用勾股定理计算EM的长度。
【解析】
任务1：选方法一，如图1，连接AC。
∵E、F分别为AB、CB的中点，根据三角形中位线定理，得$EF\equalparallel\dfrac{1}{2}AC$。
同理，H、G分别为AD、CD的中点，得$HG\equalparallel\dfrac{1}{2}AC$。
∴$EF// HG$，故四边形EFGH为平行四边形，因此$HO=FO$，$EO=GO$。
由拼接规则，得$O_1O=O_2O_3=2HO$，$O_1O_2=OO_3=2GO$，即重拼后四边形$O_1OO_3O_2$的对边分别平行且相等，所以四边形$O_1OO_3O_2$是平行四边形。
任务2：
∵剪拼前后图形面积相等，矩形EFGH的面积为$EF×FG=3×4=12$，
∴正方形NGPQ的面积为12，其边长$NG=NQ=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
由平移的性质，$△ EFM$平移后与$△ MQP$重合，$△ FNG$平移后与$△ MQP$重合，故$FM=NQ=2\sqrt{3}$。
在$Rt△ EFM$中，由勾股定理得：$EM=\sqrt{FM^2 - EF^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2 - 3^2}=\sqrt{12 - 9}=\sqrt{3}$。
【答案】
任务1：证明见上述解析；任务2：$EM=\sqrt{3}$
【知识点】
三角形中位线定理、平行四边形判定、勾股定理、正方形性质
【点评】
本题是几何探究题，结合中点连线、图形剪拼与变换，考查三角形中位线定理、平行四边形判定、面积不变性及勾股定理的应用，需掌握几何证明的逻辑推导和图形变换的性质，综合性适中。
【难度系数】
0.5