1. ★★★ 在草稿纸上计算:①$\sqrt{1^3}$;②$\sqrt{1^3+2^3}$;③$\sqrt{1^3+2^3+3^3}$;④$\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3}$,观察你计算的结果,
用你发现的规律直接写出下面式子的值:$\sqrt{1^3+2^3+3^3+\dots+28^3}=$.

1. 406 解析:
∵ ①$\sqrt{1^3} = 1$; ②$\sqrt{1^3+2^3} = 3 = 1 + 2$;③$\sqrt{1^3+2^3+3^3} = 6 = 1 + 2 + 3$; ④$\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3} = 10 = 1 + 2 + 3 + 4$,$\therefore \sqrt{1^3+2^3+3^3+\dots+28^3} = 1+2+3+4+\dots+28 = 406$.

2. ★★★ 在草稿纸上计算：$\sqrt{9^2+19}$；$\sqrt{99^2+199}$；$\sqrt{999^2+1\ 999}$；$\sqrt{9\ 999^2+19\ 999}$。观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得 $\sqrt{\underbrace{99···9}_{999个9}^2+\underbrace{199···9}_{999个9}}=\_\_\_\_\_\_$。

2. $10^{999}$ 解析:
∵ $\sqrt{9^2+19} = 10 = 10^1$, $\sqrt{99^2+199} = 100 = 10^2$,$\sqrt{999^2+1\ 999} = 1\ 000 = 10^3$, $\sqrt{9\ 999^2+19\ 999} = 10\ 000 = 10^4$,$\therefore$ $= 10^{999}$.

3. 将$1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}$按如图方式排列,若规定$(m,n)$表示第$m$排从左向右第$n$个数,则$(5,4)$与$(12,4)$表示的两数之差是________.

3. 0 解析:由题图可知:第一排有1个数,第二排有2个数,第三排有3个数,第四排有4个数,…,第m排有m个数,从第一排到第m排共有 $1+2+3+4+\dots+m=\frac{1}{2}m(m+1)$(个)数,且每四个数一个轮回,$(5,4)$表示第5排从左向右第4个数,为$\sqrt{2}$.$\because$ 前11排共有 $1+2+3+4+\dots+11=\frac{1}{2}×11×(11+1)=66$(个数),$\therefore (12,4)$表示第12排从左向右第4个数,即第70个数.$\because 70÷4=17······2$,$\therefore (12,4)$表示的数为$\sqrt{2}$,$\therefore (5,4)$与$(12,4)$表示的两数之差是$\sqrt{2}-\sqrt{2}=0$.

4. 先观察下列各式：

(1)计算：$\sqrt{1+3+5+7+9+11} =$ ；
(2)已知$n$为正整数，通过观察并归纳，请写出：$\sqrt{1+3+5+7+9+11+···+(2n-1)} =$ ；
(3)应用上述结论，请计算$\sqrt{4+12+20+28+36+44+···+204}$的值.

4. (1)6 (2)n (3)$\sqrt{4+12+20+28+36+44+\dots+204} = \sqrt{4×(1+3+5+\dots+51)} = \sqrt{4×26^2} = 52$.