1. 如图是一个数值转换器,其工作原理如图所示.

(1)若输入有意义的$ x $值后,始终输不出$ y $值,则所有会出现这种情况的$ x $的值有.
(2)若输出的$ y $值为$ \sqrt{2} $,则输入的实数$ x(|x|＜20) $可取的负整数值是.

1. (1)1或2或3 解析:
∵算术平方根等于它本身的数是0或1,
∴当|x-2|=1或0时,可得x=1或2或3,即当x=1或2或3时,始终输不出y值.
(2)-2或-14 解析:当经过1次运算输出的值是√2时,|x-2|=2,
∴x-2=±2,解得x=4或x=0;当经过2次运算输出的值是√2时,|x-2|=4,
∴x-2=±4,解得x=6或x=-2;当经过3次运算输出的值是√2时,|x-2|=16,
∴x-2=±16,解得x=18或x=-14.
∵|x|＜20,且x取负整数,
∴x=-2或-14.

2. |新定义（2025·常州期中）在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组$\{x,y,z\}$中，$x$，$y$，$z$为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”。例如，数组$\{2,8,18\}$，计算可得$\sqrt{2×8}=4$，$\sqrt{2×18}=6$，$\sqrt{8×18}=12$，所以它是“和谐数组”。
（1）判断：$\{4,9,36\}$“和谐数组”，$\{2,4,8\}$“和谐数组”（填“是”或“不是”）；
（2）请你再列举两个“和谐数组”，并加以推理说明。

2. (1)是 不是 解析:
∵ $\sqrt{4×9} = \sqrt{36} = 6, \sqrt{4×36} = \sqrt{4} × \sqrt{36} = 2×6 = 12, \sqrt{9×36} = \sqrt{9} × \sqrt{36} = 3×6 = 18,∴ \{4,9,36\}$是“和谐数组”;
∵ $\sqrt{2×4}=\sqrt{8}, \sqrt{4×8} = \sqrt{32}, \sqrt{2×8} = \sqrt{16} = 4,∴ \{2,4,8\}$不是“和谐数组”.
(2)①每个数都是完全平方数(形式为 $a^2 ,b^2 ,c^2 ,a,b,c$ 是正整数).例子: $\{25,36,49\}$.
推理说明:计算两两乘积的算术平方根: $\sqrt{25×36} = \sqrt{25} × \sqrt{36} = 5×6 = 30; \sqrt{25×49} = \sqrt{25} × \sqrt{49} = 5×7 = 35; \sqrt{36×49} = \sqrt{36} × \sqrt{49} = 6×7 = 42;$ 结果都是整数,符合“和谐数组”定义.
②三个数都不是完全平方数,但它们两两乘积的算术平方根是整数(形式为 $a^2 k ,b^2 k ,c^2 k ,a,b,c,k$ 是正整数).例子: $\{2,8,18\}$.
推理说明:可变形为 $1^2 ×2 ,2^2 ×2 ,3^2 ×2 ,$ 即 $a = 1 ,b = 2 ,c = 3 ,k = 2 ,$ 三个数表示为 $a^2 k = 1^2 ×2 = 2 ,b^2 k = 2^2 ×2 = 8 ,c^2 k = 3^2 ×2 = 18 ,$
计算两两乘积的算术平方根: $\sqrt{2×8} = \sqrt{16} = 4 ,$ 而根据形式计算 $\sqrt{a^2 k×b^2 k} = \sqrt{a^2 b^2 k^2} = abk ,$ 这里 $abk = 1×2×2 = 4; \sqrt{2×18} = \sqrt{36} = 6 ,ack$ 形式计算为 $1×3×2 = 6; \sqrt{8×18} = \sqrt{144} = 12 ,bck$ 形式计算为 $2×3×2 = 12 ,$ 结果都是整数,符合“和谐数组”定义.

3. |新定义 定义:若无理数$\sqrt{T}$的被开方数$T$($T$为正整数)满足$n^2＜T＜(n+1)^2$(其中$n$为正整数),则称无理数$\sqrt{T}$的“共同体区间”为$(n,n+1)$.例如:$\because 1^2＜3＜2^2,\therefore \sqrt{3}$的“共同体区间”为$(1,2)$.请回答下列问题:
(1)$\sqrt{26}$的“共同体区间”为________;
(2)若无理数$\sqrt{a}$的“共同体区间”为$(2,3)$,求$\sqrt{a+6}$的“共同体区间”;
(3)若整数$x,y$满足关系式:$\sqrt{x-3}+|99+(y-4)^2|=100$,求$\sqrt{x(y+1)}$的“共同体区间”.

3. (1)$(5,6)$ 解析:
∵ $5^2 ＜26＜6^2 ,∴ \sqrt{26}$的“共同体区间”是$(5,6)$.
(2)
∵ 无理数$\sqrt{a}$的“共同体区间”为$(2,3),∴ 2^2 ＜a＜3^2 ,$ 即 $4＜a＜9 ,∴ 10＜a+6＜15 ,∴ 3^2 ＜a+6＜4^2 ,∴ \sqrt{a+6}$的“共同体区间”为$(3,4)$.
(3)
∵ $\sqrt{x-3} + | 99 + (y-4)^2 | = 100 ,∴ \begin{cases} \sqrt{x-3}=1 ,\\ (y-4)^2=0 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} \sqrt{x-3}=0 ,\\ (y-4)^2=1 ,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=4 ,\\ y=4 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} x=3 ,\\ y=5 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} x=3 ,\\ y=3 ,\end{cases}$ 分以下三种情况:
当 $x=4 ,y=4$ 时, $x(y+1)=20 ,∵ 4^2 ＜20＜5^2 ,∴ \sqrt{x(y+1)}$ 的“共同体区间”为$(4,5)$;当 $x=3 ,y=5$ 时, $x(y+1)=18 ,∵ 4^2 ＜18＜5^2 ,∴ \sqrt{x(y+1)}$ 的“共同体区间”为$(4,5)$;当 $x=3 ,y=3$ 时, $x(y+1)=12 ,∵ 3^2 ＜12＜4^2 ,∴ \sqrt{x(y+1)}$ 的“共同体区间”为$(3,4)$.综上所述, $\sqrt{x(y+1)}$ 的“共同体区间”为$(4,5)$或$(3,4)$.