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1.下列四个函数中，y是x的一次函数的是 （
A.$y=\frac{2}{x}$
B.$y=x^2+1$
C.$y=2x+1$
D.$y=\frac{1}{x}+35$
C
）A.$y=\frac{2}{x}$
B.$y=x^2+1$
C.$y=2x+1$
D.$y=\frac{1}{x}+35$
答案
1.C
解析
【分析】
解决这道题的核心是牢记一次函数的判定标准，首先明确一次函数需要满足3个条件：1.函数解析式是整式；2.自变量x的最高次数为1；3.一次项系数不为0。接下来我们按照这3个条件逐一排查4个选项，即可快速得到正确答案。
【解析】
首先明确一次函数的定义：一般地，形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$）的函数叫做一次函数，我们逐个分析选项：
A选项$y=\frac{2}{x}$：自变量$x$在分母上，属于反比例函数，不符合一次函数定义，排除；
B选项$y=x^2+1$：自变量$x$的最高次数为2，属于二次函数，不符合一次函数定义，排除；
C选项$y=2x+1$：符合$y=kx+b$的形式，其中$k=2≠0$，$b=1$，满足一次函数的全部要求；
D选项$y=\frac{1}{x}+35$：自变量$x$在分母上，解析式不是整式，不符合一次函数定义，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.一次函数的定义
2.反比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对一次函数定义的理解与识别，熟练掌握不同类型函数的形式特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解决这道题的核心是牢记一次函数的判定标准，首先明确一次函数需要满足3个条件：1.函数解析式是整式；2.自变量x的最高次数为1；3.一次项系数不为0。接下来我们按照这3个条件逐一排查4个选项，即可快速得到正确答案。
【解析】
首先明确一次函数的定义：一般地，形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$）的函数叫做一次函数，我们逐个分析选项：
A选项$y=\frac{2}{x}$：自变量$x$在分母上，属于反比例函数，不符合一次函数定义，排除；
B选项$y=x^2+1$：自变量$x$的最高次数为2，属于二次函数，不符合一次函数定义，排除；
C选项$y=2x+1$：符合$y=kx+b$的形式，其中$k=2≠0$，$b=1$，满足一次函数的全部要求；
D选项$y=\frac{1}{x}+35$：自变量$x$在分母上，解析式不是整式，不符合一次函数定义，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.一次函数的定义
2.反比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对一次函数定义的理解与识别，熟练掌握不同类型函数的形式特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2.下列关系中,是正比例关系的是 （
A.当路程s一定时,速度v与时间t
B.圆的面积S与半径r
C.正方体的体积V与棱长a
D.正方形的周长C与边长a
D
）A.当路程s一定时,速度v与时间t
B.圆的面积S与半径r
C.正方体的体积V与棱长a
D.正方形的周长C与边长a
答案
2.D
解析
【分析】
要判断两个量是否为正比例关系，首先需要明确正比例关系的核心定义：若两个相关联的量的比值（商）为固定常数，且可表示为$y=kx$（$k$为不为0的常数）的形式，则二者成正比例关系。解题时先分别写出每个选项中两个量的数量关系式，再对照定义逐一判断即可。
【解析】
首先明确正比例关系的定义：两种相关联的量，若它们的比值（商）为定值，且满足形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的关系，则这两种量成正比例关系。
逐一分析选项：
A. 路程$s$一定时，由路程公式$s=vt$可得$v=\frac{s}{t}$，此时$v$与$t$的乘积为定值$s$，二者成反比例关系，不符合要求；
B. 圆的面积公式为$S=πr²$，$S$与$r$的比值为$πr$，$r$是变量，因此比值不是定值，不属于正比例关系；
C. 正方体的体积公式为$V=a³$，$V$与$a$的比值为$a²$，$a$是变量，比值不是定值，不属于正比例关系；
D. 正方形的周长公式为$C=4a$，$C$与$a$的比值为4（定值），符合正比例关系的定义。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 正比例关系的判定
2. 常见几何量计算公式
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对正比例关系本质的理解，解题的关键是抓住“两个变量的比值为定值”这一判断核心，注意区分正比例、反比例及其他函数关系，熟练掌握常见几何公式即可快速解题。
【难度系数】
0.85
要判断两个量是否为正比例关系，首先需要明确正比例关系的核心定义：若两个相关联的量的比值（商）为固定常数，且可表示为$y=kx$（$k$为不为0的常数）的形式，则二者成正比例关系。解题时先分别写出每个选项中两个量的数量关系式，再对照定义逐一判断即可。
【解析】
首先明确正比例关系的定义：两种相关联的量，若它们的比值（商）为定值，且满足形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的关系，则这两种量成正比例关系。
逐一分析选项：
A. 路程$s$一定时，由路程公式$s=vt$可得$v=\frac{s}{t}$，此时$v$与$t$的乘积为定值$s$，二者成反比例关系，不符合要求；
B. 圆的面积公式为$S=πr²$，$S$与$r$的比值为$πr$，$r$是变量，因此比值不是定值，不属于正比例关系；
C. 正方体的体积公式为$V=a³$，$V$与$a$的比值为$a²$，$a$是变量，比值不是定值，不属于正比例关系；
D. 正方形的周长公式为$C=4a$，$C$与$a$的比值为4（定值），符合正比例关系的定义。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 正比例关系的判定
2. 常见几何量计算公式
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对正比例关系本质的理解，解题的关键是抓住“两个变量的比值为定值”这一判断核心，注意区分正比例、反比例及其他函数关系，熟练掌握常见几何公式即可快速解题。
【难度系数】
0.85
3.对于函数$y=(m-1)x+m+1$($m$为常数).
(1)当$m$
(2)当$m$
【变式1】若$y=x+2-b$是关于$x$的正比例函数,则$b$的值是
【变式2】若$y=(k-2)x+5$是关于$x$的一次函数,则$k$的取值范围是
(1)当$m$
≠1
时,它是$y$关于$x$的一次函数;(2)当$m$
=-1
时,它是$y$关于$x$的正比例函数.【变式1】若$y=x+2-b$是关于$x$的正比例函数,则$b$的值是
2
.【变式2】若$y=(k-2)x+5$是关于$x$的一次函数,则$k$的取值范围是
k≠2
.答案
3.(1)≠1 (2)=-1 【变式1】2 【变式2】k≠2
解析
【分析】
解决本题需要先明确一次函数和正比例函数的定义：1. 一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$），核心要求是自变量$x$的系数不为0；2. 正比例函数是特殊的一次函数，一般形式为$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$），除了满足系数不为0外，还要求常数项为0。解题时对应每个小问，根据定义列不等式或方程求解即可。
【解析】
(1) 若函数$y=(m-1)x+m+1$是$y$关于$x$的一次函数，根据一次函数定义，$x$的系数不能为0，即：
$m-1≠0$，解得$m≠1$。
(2) 若函数是$y$关于$x$的正比例函数，需同时满足两个条件：①$x$的系数不为0，②常数项为0，即：
$\begin{cases}m-1≠0 \\ m+1=0\end{cases}$
解$m+1=0$得$m=-1$，代入验证$m-1=-2≠0$，符合要求，故$m=-1$。
【变式1】$y=x+2-b$是关于$x$的正比例函数，根据正比例函数定义，常数项为0，即：
$2-b=0$，解得$b=2$。
【变式2】$y=(k-2)x+5$是关于$x$的一次函数，根据一次函数定义，$x$的系数不能为0，即：
$k-2≠0$，解得$k≠2$。
【答案】
3.(1)≠1 (2)=-1 【变式1】2 【变式2】k≠2
【知识点】
一次函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查一次函数和正比例函数的定义差异，解题时要特别注意不要遗漏“自变量系数不为0”这个前提条件，避免出现仅令常数项为0就求解正比例函数参数的错误。
【难度系数】
0.85
解决本题需要先明确一次函数和正比例函数的定义：1. 一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$），核心要求是自变量$x$的系数不为0；2. 正比例函数是特殊的一次函数，一般形式为$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$），除了满足系数不为0外，还要求常数项为0。解题时对应每个小问，根据定义列不等式或方程求解即可。
【解析】
(1) 若函数$y=(m-1)x+m+1$是$y$关于$x$的一次函数，根据一次函数定义，$x$的系数不能为0，即：
$m-1≠0$，解得$m≠1$。
(2) 若函数是$y$关于$x$的正比例函数，需同时满足两个条件：①$x$的系数不为0，②常数项为0，即：
$\begin{cases}m-1≠0 \\ m+1=0\end{cases}$
解$m+1=0$得$m=-1$，代入验证$m-1=-2≠0$，符合要求，故$m=-1$。
【变式1】$y=x+2-b$是关于$x$的正比例函数，根据正比例函数定义，常数项为0，即：
$2-b=0$，解得$b=2$。
【变式2】$y=(k-2)x+5$是关于$x$的一次函数，根据一次函数定义，$x$的系数不能为0，即：
$k-2≠0$，解得$k≠2$。
【答案】
3.(1)≠1 (2)=-1 【变式1】2 【变式2】k≠2
【知识点】
一次函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查一次函数和正比例函数的定义差异，解题时要特别注意不要遗漏“自变量系数不为0”这个前提条件，避免出现仅令常数项为0就求解正比例函数参数的错误。
【难度系数】
0.85
4.如图,这是生活中常用的塑料软尺,软尺一面的刻度表示市寸,另一面的刻度表示厘米.小颖观察软尺发现,两个刻度x(单位:市寸)与y(单位:厘米)之间的关系如下表:
根据上面数据写出y与x的函数解析式为
根据上面数据写出y与x的函数解析式为
$y=\frac{10}{3}x$
(0≤x≤30).答案
4.$y=\frac{10}{3}x$
解析
【分析】
首先观察表格中的x和y的对应数据，计算每组y与x的比值，发现比值为定值，因此判断y是x的正比例函数，可设函数解析式为$y=kx$（$k≠0$），再选取一组对应数值代入解析式求出k的值，最后验证其余数据是否符合所得解析式即可。
【解析】
观察表格数据可得：
$\frac{5}{1.5}=\frac{10}{3}$，$\frac{10}{3}=\frac{10}{3}$，$\frac{15}{4.5}=\frac{10}{3}$，$\frac{20}{6}=\frac{10}{3}$，即y与x的比值为固定值$\frac{10}{3}$，因此y是x的正比例函数。
设y与x的函数解析式为$y=kx$（$k≠0$），将$x=1.5$，$y=5$代入解析式得：
$5=1.5k$
解得$k=\frac{5}{1.5}=\frac{10}{3}$
将其余几组x的值代入$y=\frac{10}{3}x$验证，均符合对应y值，结合题目给出的自变量取值范围，可得函数解析式为$y=\frac{10}{3}x$（$0≤x≤30$）。
【答案】
$y=\frac{10}{3}x$
【知识点】
正比例函数的定义，待定系数法求函数解析式
【点评】
本题结合生活中的软尺刻度问题考查正比例函数的应用，解题关键是通过表格数据判断出两个变量成正比例关系，再用待定系数法求解解析式，贴近生活实际，注重对基础知识点的应用考查。
【难度系数】
0.8
首先观察表格中的x和y的对应数据，计算每组y与x的比值，发现比值为定值，因此判断y是x的正比例函数，可设函数解析式为$y=kx$（$k≠0$），再选取一组对应数值代入解析式求出k的值，最后验证其余数据是否符合所得解析式即可。
【解析】
观察表格数据可得：
$\frac{5}{1.5}=\frac{10}{3}$，$\frac{10}{3}=\frac{10}{3}$，$\frac{15}{4.5}=\frac{10}{3}$，$\frac{20}{6}=\frac{10}{3}$，即y与x的比值为固定值$\frac{10}{3}$，因此y是x的正比例函数。
设y与x的函数解析式为$y=kx$（$k≠0$），将$x=1.5$，$y=5$代入解析式得：
$5=1.5k$
解得$k=\frac{5}{1.5}=\frac{10}{3}$
将其余几组x的值代入$y=\frac{10}{3}x$验证，均符合对应y值，结合题目给出的自变量取值范围，可得函数解析式为$y=\frac{10}{3}x$（$0≤x≤30$）。
【答案】
$y=\frac{10}{3}x$
【知识点】
正比例函数的定义，待定系数法求函数解析式
【点评】
本题结合生活中的软尺刻度问题考查正比例函数的应用，解题关键是通过表格数据判断出两个变量成正比例关系，再用待定系数法求解解析式，贴近生活实际，注重对基础知识点的应用考查。
【难度系数】
0.8
5.用函数解析式表示下列问题中 y 与 x 的关系：
(1)一棵树现在的高度为 50 cm，每个月长高 2 cm，x 个月后这棵树的高度为 y cm；
(2)某小区每个月的物业费是按房屋面积来计算的，价格为 2.5 元/平方米，则该小区业主每个月应缴纳的物业费 y(单位:元)与房屋面积 x(单位:平方米)的关系；
(3)把一个长为 5 m，宽为 2 m 的矩形的长减少 x m(0≤x＜5)，宽不变，所得矩形的面积 y(单位:m²)与 x(单位:m)的关系。
(1)一棵树现在的高度为 50 cm，每个月长高 2 cm，x 个月后这棵树的高度为 y cm；
(2)某小区每个月的物业费是按房屋面积来计算的，价格为 2.5 元/平方米，则该小区业主每个月应缴纳的物业费 y(单位:元)与房屋面积 x(单位:平方米)的关系；
(3)把一个长为 5 m，宽为 2 m 的矩形的长减少 x m(0≤x＜5)，宽不变，所得矩形的面积 y(单位:m²)与 x(单位:m)的关系。
答案
5.解:(1)$y=50+2x$;(2)$y=2.5x$;(3)$y=-2x+10$.
解析
【分析】
本题考查实际问题中函数解析式的列写，解题核心是找准各问题中的等量关系，再将对应变量代入等量关系中整理即可得到y与x的函数关系式：
(1) 树的总高度=初始高度+x个月生长的总高度，代入对应数值即可列式；
(2) 每月总物业费=每平方米物业费单价×房屋面积，代入对应数值即可列式；
(3) 矩形面积=改变后的长×宽，先表示出减少x m后的长，再代入面积公式整理即可。
【解析】
(1) 已知树初始高度为50 cm，每月长高2 cm，x个月一共长高2x cm，根据总高度=初始高度+生长高度，可得：
$y = 50 + 2x$
(2) 已知物业费单价为2.5元/平方米，房屋面积为x平方米，根据总物业费=单价×面积，可得：
$y = 2.5x$
(3) 矩形原来的长为5 m，减少x m后长为$(5-x)\mathrm{ m}$，宽为2 m，根据矩形面积=长×宽，可得：
$y = 2(5-x)$，整理得$y = -2x + 10$
【答案】
(1)$y=50+2x$;(2)$y=2.5x$;(3)$y=-2x+10$
【知识点】
列函数解析式，一次函数实际应用，矩形面积计算
【点评】
本题是函数实际应用的基础题型，解题的关键是准确梳理不同场景下的等量关系，代入变量后注意按要求整理成最简形式即可。
【难度系数】
0.9
本题考查实际问题中函数解析式的列写，解题核心是找准各问题中的等量关系，再将对应变量代入等量关系中整理即可得到y与x的函数关系式：
(1) 树的总高度=初始高度+x个月生长的总高度，代入对应数值即可列式；
(2) 每月总物业费=每平方米物业费单价×房屋面积，代入对应数值即可列式；
(3) 矩形面积=改变后的长×宽，先表示出减少x m后的长，再代入面积公式整理即可。
【解析】
(1) 已知树初始高度为50 cm，每月长高2 cm，x个月一共长高2x cm，根据总高度=初始高度+生长高度，可得：
$y = 50 + 2x$
(2) 已知物业费单价为2.5元/平方米，房屋面积为x平方米，根据总物业费=单价×面积，可得：
$y = 2.5x$
(3) 矩形原来的长为5 m，减少x m后长为$(5-x)\mathrm{ m}$，宽为2 m，根据矩形面积=长×宽，可得：
$y = 2(5-x)$，整理得$y = -2x + 10$
【答案】
(1)$y=50+2x$;(2)$y=2.5x$;(3)$y=-2x+10$
【知识点】
列函数解析式，一次函数实际应用，矩形面积计算
【点评】
本题是函数实际应用的基础题型，解题的关键是准确梳理不同场景下的等量关系，代入变量后注意按要求整理成最简形式即可。
【难度系数】
0.9
