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6.若函数$y=(m-1)x^{m^2}+3$是关于$x$的一次函数.
(1)求$m$的值,并写出解析式;
(2)判断点$(1,2)$是否在此函数图象上,说明理由.
(1)求$m$的值,并写出解析式;
(2)判断点$(1,2)$是否在此函数图象上,说明理由.
答案
6.解:(1)由$y=(m-1)x^{m^2}+3$是关于$x$的一次函数,得$\begin{cases} m^2=1, \\ m-1≠0, \end{cases}$解得$m=-1$,
∴函数关系式为$y=-2x+3$;
(2)将$x=1$代入函数关系式,得$y=1≠2$,故点$(1,2)$不在此函数图象上.
∴函数关系式为$y=-2x+3$;
(2)将$x=1$代入函数关系式,得$y=1≠2$,故点$(1,2)$不在此函数图象上.
解析
【分析】
(1) 求m的值需结合一次函数的定义思考：一次函数要求自变量x的最高次数为1，且x的系数不能为0，据此列出关于m的方程和不等式，联立求解即可得到m的取值，代入原式就能写出函数解析式。(2) 判断点是否在函数图象上，依据是函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，只需将点的横坐标代入解析式，算出对应的y值，和点的纵坐标对比，相等则点在图象上，反之则不在。
【解析】
(1) 因为$y=(m-1)x^{m^2}+3$是关于$x$的一次函数，根据一次函数的定义可得：
$\begin{cases} m^2=1, \\ m-1≠0, \end{cases}$
解$m^2=1$得$m=1$或$m=-1$，结合$m-1≠0$即$m≠1$，因此$m=-1$。
将$m=-1$代入原函数，得解析式为$y=(-1-1)x+3=-2x+3$。
(2) 点$(1,2)$不在此函数图象上，理由如下：
把$x=1$代入$y=-2x+3$，得$y=-2×1+3=1$，计算得到的$y=1$与点的纵坐标$2$不相等，因此点$(1,2)$不在此函数图象上。
【答案】
(1) $m=-1$，解析式为$y=-2x+3$；
(2) 点$(1,2)$不在此函数图象上。
【知识点】
一次函数的定义；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于一次函数的基础考查题，解题关键是牢记一次函数的定义，注意不要遗漏一次项系数不为0的限制条件；代入验证点是否在函数图象上的方法是通用方法，在各类函数问题中都会应用。
【难度系数】
0.8
(1) 求m的值需结合一次函数的定义思考：一次函数要求自变量x的最高次数为1，且x的系数不能为0，据此列出关于m的方程和不等式，联立求解即可得到m的取值，代入原式就能写出函数解析式。(2) 判断点是否在函数图象上，依据是函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，只需将点的横坐标代入解析式，算出对应的y值，和点的纵坐标对比，相等则点在图象上，反之则不在。
【解析】
(1) 因为$y=(m-1)x^{m^2}+3$是关于$x$的一次函数，根据一次函数的定义可得：
$\begin{cases} m^2=1, \\ m-1≠0, \end{cases}$
解$m^2=1$得$m=1$或$m=-1$，结合$m-1≠0$即$m≠1$，因此$m=-1$。
将$m=-1$代入原函数，得解析式为$y=(-1-1)x+3=-2x+3$。
(2) 点$(1,2)$不在此函数图象上，理由如下：
把$x=1$代入$y=-2x+3$，得$y=-2×1+3=1$，计算得到的$y=1$与点的纵坐标$2$不相等，因此点$(1,2)$不在此函数图象上。
【答案】
(1) $m=-1$，解析式为$y=-2x+3$；
(2) 点$(1,2)$不在此函数图象上。
【知识点】
一次函数的定义；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于一次函数的基础考查题，解题关键是牢记一次函数的定义，注意不要遗漏一次项系数不为0的限制条件；代入验证点是否在函数图象上的方法是通用方法，在各类函数问题中都会应用。
【难度系数】
0.8
7.某种正方形合金板材的成本$y$(单位:元)与其面积$S$(单位:$\mathrm{cm}^2$)成正比例关系.若设其边长为$x$ cm,则当$x=3$时,$y=18$.当$x=6$时,这种正方形合金板材的成本是 (
A.36元
B.72元
C.108元
D.144元
B
)A.36元
B.72元
C.108元
D.144元
答案
7.B
解析
【分析】
本题是正比例函数的实际应用题，解题思路如下：首先根据“成本y与面积S成正比例”的条件，设出正比例函数表达式；再结合正方形面积公式将表达式转化为y关于边长x的函数；然后将x=3、y=18代入表达式求出比例系数k，得到完整的函数解析式；最后将x=6代入解析式即可求出对应的成本。
【解析】
解：
∵ 成本y与面积S成正比例关系，
∴ 设$y = kS$（$k≠0$，k为常数），
∵ 正方形边长为x cm，
∴ 正方形面积$S = x^2$，
代入得$y = kx^2$，
将$x=3$，$y=18$代入上式，得：
$18 = k×3^2$，即$18=9k$，
解得$k=2$，
∴ 成本y与边长x的函数关系式为$y=2x^2$，
当$x=6$时，代入得：
$y=2×6^2=2×36=72$（元）
故选B。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的应用、待定系数法求解析式、正方形面积计算
【点评】
本题属于基础的函数实际应用题，解题的关键是明确成本是与正方形面积成正比，而非与边长成正比，避免因审题失误直接按边长的正比例关系计算出错，掌握待定系数法求函数解析式的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题是正比例函数的实际应用题，解题思路如下：首先根据“成本y与面积S成正比例”的条件，设出正比例函数表达式；再结合正方形面积公式将表达式转化为y关于边长x的函数；然后将x=3、y=18代入表达式求出比例系数k，得到完整的函数解析式；最后将x=6代入解析式即可求出对应的成本。
【解析】
解：
∵ 成本y与面积S成正比例关系，
∴ 设$y = kS$（$k≠0$，k为常数），
∵ 正方形边长为x cm，
∴ 正方形面积$S = x^2$，
代入得$y = kx^2$，
将$x=3$，$y=18$代入上式，得：
$18 = k×3^2$，即$18=9k$，
解得$k=2$，
∴ 成本y与边长x的函数关系式为$y=2x^2$，
当$x=6$时，代入得：
$y=2×6^2=2×36=72$（元）
故选B。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的应用、待定系数法求解析式、正方形面积计算
【点评】
本题属于基础的函数实际应用题，解题的关键是明确成本是与正方形面积成正比，而非与边长成正比，避免因审题失误直接按边长的正比例关系计算出错，掌握待定系数法求函数解析式的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
8.如图,在$△ ABC$中,已知$BC=16$,高$AD=10$,动点$C'$由点$C$沿$CB$向点$B$移动(不与点$B$重合).设$CC'$的长为$x$,$△ ABC'$的面积为$S$,则$S$与$x$之间的函数关系式为 （
A.$S=80-5x$
B.$S=5x$
C.$S=10x$
D.$S=5x+80$
A
）A.$S=80-5x$
B.$S=5x$
C.$S=10x$
D.$S=5x+80$
答案
8.A
解析
【分析】
要推导S与x的函数关系式，核心是利用三角形面积公式求解。首先明确△ABC'的高不变，始终等于已知高AD=10；再结合线段和差关系表示出△ABC'的底边长BC'，最后代入面积公式化简即可得到关系式。
【解析】
1. 求△ABC'的底边长：
已知$BC=16$，$CC'=x$，点$C'$沿$CB$向B移动，因此$BC' = BC - CC' = 16 - x$。
2. 确定△ABC'的高：
AD是BC边上的高，$C'$在BC线段上，因此△ABC'的BC'边上的高仍为$AD=10$。
3. 代入三角形面积公式计算：
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得：
$S=\frac{1}{2}× BC'× AD=\frac{1}{2}×(16-x)×10$
化简得：$S=80-5x$。
【答案】
A
【知识点】
三角形面积计算，列函数关系式
【点评】
本题属于基础题，解题关键是抓住动点移动过程中三角形的高不变的特点，准确表示出变化后的底边长，代入公式即可推导得到函数关系式。
【难度系数】
0.8
要推导S与x的函数关系式，核心是利用三角形面积公式求解。首先明确△ABC'的高不变，始终等于已知高AD=10；再结合线段和差关系表示出△ABC'的底边长BC'，最后代入面积公式化简即可得到关系式。
【解析】
1. 求△ABC'的底边长：
已知$BC=16$，$CC'=x$，点$C'$沿$CB$向B移动，因此$BC' = BC - CC' = 16 - x$。
2. 确定△ABC'的高：
AD是BC边上的高，$C'$在BC线段上，因此△ABC'的BC'边上的高仍为$AD=10$。
3. 代入三角形面积公式计算：
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得：
$S=\frac{1}{2}× BC'× AD=\frac{1}{2}×(16-x)×10$
化简得：$S=80-5x$。
【答案】
A
【知识点】
三角形面积计算，列函数关系式
【点评】
本题属于基础题，解题关键是抓住动点移动过程中三角形的高不变的特点，准确表示出变化后的底边长，代入公式即可推导得到函数关系式。
【难度系数】
0.8
9.新定义:$[a,b,c]$为函数$y=ax^2+bx+c(a,b,c$为实数$)$的“关联数”.若“关联数”为$[m-2,m,1]$的函数为一次函数,则$m$的值为
2
.答案
9.2
解析
【分析】首先理解新定义：“关联数”[a,b,c]对应函数为y=ax²+bx+c，要让该函数为一次函数，需结合一次函数的定义思考：一次函数中自变量的最高次数为1，且一次项系数不能为0。因此需先令二次项系数为0，再验证一次项系数不为0，即可求出m的值。
【解析】根据“关联数”的定义，关联数为[m-2,m,1]对应的函数为：
$y=(m-2)x^2 + mx + 1$
∵该函数是一次函数
∴二次项系数必须为0，且一次项系数不为0，即：
$\begin{cases}m-2=0 \\m≠0\end{cases}$
解得$m=2$，代入验证$m=2≠0$，符合条件。
【答案】2
【知识点】一次函数的定义，新定义应用
【点评】本题是新定义类基础题，解题核心是准确解读新定义写出对应的函数解析式，再结合一次函数的限制条件求解，注意不要忽略一次项系数不为0的要求，避免出错。
【难度系数】0.8
【解析】根据“关联数”的定义，关联数为[m-2,m,1]对应的函数为：
$y=(m-2)x^2 + mx + 1$
∵该函数是一次函数
∴二次项系数必须为0，且一次项系数不为0，即：
$\begin{cases}m-2=0 \\m≠0\end{cases}$
解得$m=2$，代入验证$m=2≠0$，符合条件。
【答案】2
【知识点】一次函数的定义，新定义应用
【点评】本题是新定义类基础题，解题核心是准确解读新定义写出对应的函数解析式，再结合一次函数的限制条件求解，注意不要忽略一次项系数不为0的要求，避免出错。
【难度系数】0.8
10.已知$y-3$与$x$成正比例关系，且当$x=2$时，$y=7$.
(1)求$y$关于$x$的函数解析式；
(2)当$x=4$时，求$y$的值.
(1)求$y$关于$x$的函数解析式；
(2)当$x=4$时，求$y$的值.
答案
10.解:(1)
∵$y-3$与$x$成正比例关系,
∴可设$y-3=kx$.又当$x=2$时,$y=7$,
∴$7-3=2k$,解得$k=2$,
∴$y-3=2x$,即$y=2x+3$,
∴$y$关于$x$的函数解析式为$y=2x+3$;
(2)当$x=4$时,$y=2x+3=11$.
∵$y-3$与$x$成正比例关系,
∴可设$y-3=kx$.又当$x=2$时,$y=7$,
∴$7-3=2k$,解得$k=2$,
∴$y-3=2x$,即$y=2x+3$,
∴$y$关于$x$的函数解析式为$y=2x+3$;
(2)当$x=4$时,$y=2x+3=11$.
解析
【分析】
(1) 解决第一问首先依据正比例关系的定义：若两个量成正比例，可表示为$a=kb$（$k$为不为0的常数）的形式。已知$y-3$与$x$成正比例，因此先设$y-3=kx$，再将给出的$x=2$、$y=7$代入式子求出$k$的值，整理后就能得到$y$关于$x$的函数解析式。
(2) 第二问为函数值求解问题，只需将$x=4$代入第一问求出的解析式中，直接计算即可得到对应的$y$值。
【解析】
(1)
∵$y-3$与$x$成正比例关系，
∴设$y-3=kx$（$k$为常数，$k≠0$），
把$x=2$，$y=7$代入上式，得：
$7-3=2k$，
解得$k=2$，
将$k=2$代入$y-3=kx$，得$y-3=2x$，整理得$y=2x+3$，
∴$y$关于$x$的函数解析式为$y=2x+3$。
(2) 将$x=4$代入$y=2x+3$，得：
$y=2×4+3=11$。
【答案】
(1) $y=2x+3$；(2) $11$
【知识点】
正比例关系，待定系数法，代入求值
【点评】
本题是一次函数板块的基础题型，重点考察对正比例关系概念的理解和待定系数法的应用，解题逻辑清晰，掌握基础知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.9
(1) 解决第一问首先依据正比例关系的定义：若两个量成正比例，可表示为$a=kb$（$k$为不为0的常数）的形式。已知$y-3$与$x$成正比例，因此先设$y-3=kx$，再将给出的$x=2$、$y=7$代入式子求出$k$的值，整理后就能得到$y$关于$x$的函数解析式。
(2) 第二问为函数值求解问题，只需将$x=4$代入第一问求出的解析式中，直接计算即可得到对应的$y$值。
【解析】
(1)
∵$y-3$与$x$成正比例关系，
∴设$y-3=kx$（$k$为常数，$k≠0$），
把$x=2$，$y=7$代入上式，得：
$7-3=2k$，
解得$k=2$，
将$k=2$代入$y-3=kx$，得$y-3=2x$，整理得$y=2x+3$，
∴$y$关于$x$的函数解析式为$y=2x+3$。
(2) 将$x=4$代入$y=2x+3$，得：
$y=2×4+3=11$。
【答案】
(1) $y=2x+3$；(2) $11$
【知识点】
正比例关系，待定系数法，代入求值
【点评】
本题是一次函数板块的基础题型，重点考察对正比例关系概念的理解和待定系数法的应用，解题逻辑清晰，掌握基础知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.9
