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【例1】已知关于$x$的方程$x^2 + mx + m - 2 = 0$.
(1)若该方程的一个根为1,求$m$的值及该方程的另一根;
(2)求证:不论$m$取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
【解题思路】(1)将$x=1$代入方程$x^2 + mx + m - 2 = 0$得到$m$的值,再把$m$的值代入方程,重新解一元二次方程求出另一根;
(2)写出根的判别式,配方后得到完全平方式,进行解答.
【解答过程】(1)解:已知1为原方程的一个根,则$1 + m + m - 2 = 0, \therefore m = \frac{1}{2}$,
代回方程得:$x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{3}{2} = 0, \therefore$另一根为$-\frac{3}{2}$;
(2)证明:在$x^2 + mx + m - 2 = 0$中,$a=1, b=m, c=m-2, \therefore b^2 -4ac = m^2 -4(m-2) = (m-2)^2 +4 ≥4＞0$.
$\therefore$不论$m$取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
【易错点睛】此类问题容易出错的地方是第(2)问中利用根的判别式对$b^2 -4ac$中的$a,b,c$与一元二次方程$x^2 + mx + m -2=0$中的系数搞混.
【方法规律】一元二次方程的问题除了会解方程,更要熟知一元二次方程$ax^2 +bx +c=0(a≠0)$的根的判别式$\Delta = b^2 -4ac$.当$\Delta＞0$时,方程有两个不相等的实数根;当$\Delta=0$时,方程有两个相等的实数根;当$\Delta＜0$时,方程没有实数根.
(1)若该方程的一个根为1,求$m$的值及该方程的另一根;
(2)求证:不论$m$取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
【解题思路】(1)将$x=1$代入方程$x^2 + mx + m - 2 = 0$得到$m$的值,再把$m$的值代入方程,重新解一元二次方程求出另一根;
(2)写出根的判别式,配方后得到完全平方式,进行解答.
【解答过程】(1)解:已知1为原方程的一个根,则$1 + m + m - 2 = 0, \therefore m = \frac{1}{2}$,
代回方程得:$x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{3}{2} = 0, \therefore$另一根为$-\frac{3}{2}$;
(2)证明:在$x^2 + mx + m - 2 = 0$中,$a=1, b=m, c=m-2, \therefore b^2 -4ac = m^2 -4(m-2) = (m-2)^2 +4 ≥4＞0$.
$\therefore$不论$m$取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.
【易错点睛】此类问题容易出错的地方是第(2)问中利用根的判别式对$b^2 -4ac$中的$a,b,c$与一元二次方程$x^2 + mx + m -2=0$中的系数搞混.
【方法规律】一元二次方程的问题除了会解方程,更要熟知一元二次方程$ax^2 +bx +c=0(a≠0)$的根的判别式$\Delta = b^2 -4ac$.当$\Delta＞0$时,方程有两个不相等的实数根;当$\Delta=0$时,方程有两个相等的实数根;当$\Delta＜0$时,方程没有实数根.
答案
解：(1) 将$x=1$代入方程$x^2 + mx + m - 2 = 0$，得：
$1 + m + m - 2 = 0$
解得$m=\frac{1}{2}$。
将$m=\frac{1}{2}$代入原方程，得：
$x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{3}{2} = 0$
整理得$2x^2 + x - 3 = 0$
设方程的另一根为$x_1$，由一元二次方程根与系数的关系得$1· x_1 = -\frac{3}{2}$，解得$x_1=-\frac{3}{2}$。
(2) 证明：在方程$x^2 + mx + m - 2 = 0$中，$a=1$，$b=m$，$c=m-2$，
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = m^2 - 4(m-2)$
$=m^2 -4m +8$
$=(m-2)^2 +4$
∵不论$m$取何实数，$(m-2)^2≥0$，
∴$\Delta=(m-2)^2 +4≥4＞0$，
∴不论$m$取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。
综上，$m$的值为$\frac{1}{2}$，方程的另一根为$-\frac{3}{2}$。
$1 + m + m - 2 = 0$
解得$m=\frac{1}{2}$。
将$m=\frac{1}{2}$代入原方程，得：
$x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{3}{2} = 0$
整理得$2x^2 + x - 3 = 0$
设方程的另一根为$x_1$，由一元二次方程根与系数的关系得$1· x_1 = -\frac{3}{2}$，解得$x_1=-\frac{3}{2}$。
(2) 证明：在方程$x^2 + mx + m - 2 = 0$中，$a=1$，$b=m$，$c=m-2$，
根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = m^2 - 4(m-2)$
$=m^2 -4m +8$
$=(m-2)^2 +4$
∵不论$m$取何实数，$(m-2)^2≥0$，
∴$\Delta=(m-2)^2 +4≥4＞0$，
∴不论$m$取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。
综上，$m$的值为$\frac{1}{2}$，方程的另一根为$-\frac{3}{2}$。
解析
【分析】
(1) 已知方程的一个根，根据“方程的根代入方程可使等式成立”，将x=1代入原方程就能得到关于m的一元一次方程，解出m的值后，可通过两种方法求另一根：一是把m代入原方程直接解一元二次方程，二是利用根与系数的关系，两根之积等于常数项与二次项系数的比，快速算出另一根；
(2) 要证明不论m取何值，方程都有两个不相等的实数根，只需证明根的判别式Δ恒大于0即可，先写出Δ关于m的表达式，再通过配方变形，结合平方的非负性判断Δ的取值范围就能完成证明。
【解析】
(1) 解：将$x=1$代入方程$x^2 + mx + m - 2 = 0$，得：
$1 + m + m - 2 = 0$
合并同类项得$2m -1 = 0$，解得$m=\frac{1}{2}$。
将$m=\frac{1}{2}$代入原方程，得：
$x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{3}{2} = 0$，整理得$2x^2 + x - 3 = 0$
设方程的另一根为$x_1$，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积为$\frac{c}{a}=-\frac{3}{2}$，即$1· x_1 = -\frac{3}{2}$，解得$x_1=-\frac{3}{2}$。
(2) 证明：在一元二次方程$x^2 + mx + m - 2 = 0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=m$，常数项$c=m-2$，
则根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = m^2 - 4(m-2)$
化简得：$\Delta = m^2 -4m +8$
配方得：$\Delta = (m-2)^2 +4$
∵不论m取何实数，$(m-2)^2≥0$，
∴$\Delta=(m-2)^2 +4≥4＞0$，
∴不论$m$取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。
【答案】
(1) $m$的值为$\frac{1}{2}$，方程的另一根为$-\frac{3}{2}$；
(2) 不论$m$取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程的常规基础题型，第一问解题核心是理解方程根的定义，利用根与系数的关系可简化求另一根的计算过程；第二问解题关键是正确写出根的判别式，通过配方结合平方的非负性判断判别式的取值范围，需注意识别一元二次方程各项系数时不要出错。
【难度系数】
0.8
(1) 已知方程的一个根，根据“方程的根代入方程可使等式成立”，将x=1代入原方程就能得到关于m的一元一次方程，解出m的值后，可通过两种方法求另一根：一是把m代入原方程直接解一元二次方程，二是利用根与系数的关系，两根之积等于常数项与二次项系数的比，快速算出另一根；
(2) 要证明不论m取何值，方程都有两个不相等的实数根，只需证明根的判别式Δ恒大于0即可，先写出Δ关于m的表达式，再通过配方变形，结合平方的非负性判断Δ的取值范围就能完成证明。
【解析】
(1) 解：将$x=1$代入方程$x^2 + mx + m - 2 = 0$，得：
$1 + m + m - 2 = 0$
合并同类项得$2m -1 = 0$，解得$m=\frac{1}{2}$。
将$m=\frac{1}{2}$代入原方程，得：
$x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{3}{2} = 0$，整理得$2x^2 + x - 3 = 0$
设方程的另一根为$x_1$，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积为$\frac{c}{a}=-\frac{3}{2}$，即$1· x_1 = -\frac{3}{2}$，解得$x_1=-\frac{3}{2}$。
(2) 证明：在一元二次方程$x^2 + mx + m - 2 = 0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=m$，常数项$c=m-2$，
则根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = m^2 - 4(m-2)$
化简得：$\Delta = m^2 -4m +8$
配方得：$\Delta = (m-2)^2 +4$
∵不论m取何实数，$(m-2)^2≥0$，
∴$\Delta=(m-2)^2 +4≥4＞0$，
∴不论$m$取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。
【答案】
(1) $m$的值为$\frac{1}{2}$，方程的另一根为$-\frac{3}{2}$；
(2) 不论$m$取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程的常规基础题型，第一问解题核心是理解方程根的定义，利用根与系数的关系可简化求另一根的计算过程；第二问解题关键是正确写出根的判别式，通过配方结合平方的非负性判断判别式的取值范围，需注意识别一元二次方程各项系数时不要出错。
【难度系数】
0.8
【例2】 近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低.为了促进社会公平，国家决定大幅增加退休人员退休金.企业退休职工李师傅2023年的月退休金为1500元，2025年达到2160元.设李师傅的月退休金从2023年到2025年年平均增长率为$ x $，可列方程为（）
A. $ 2016(1-x)^2=1500 $
B. $ 1500(1+x)^2=2160 $
C. $ 1500(1-x)^2=2160 $
D. $ 1500+1500(1+x)+1500(1+x)^2=2160 $
【解题思路】 根据题意列出2024年的月退休金，再列出2025的月退休金，然后根据2025年的月退休金达到2160元为相等关系系列方程求解.
【解答过程】 解:根据题意可知,2024年的月退休金为$ 1500(1+x) $，2025年的月退休金为$ 1500(1+x)(1+x) $，所以方程为$ 1500(1+x)^2=2160 $，故选B.
【易错点睛】 此类问题容易出错的地方是(1)没有认真审题，“增长”还是“减少”时出现列代数式的错误；(2)误认为2160元是这三年的和而得到答案D.
【方法规律】 增长(降低)率是列方程解实际问题最常见的题型之一，对于平均增长率问题，正确理解有关“增长”问题的一些词语的含义是解答这类问题的
A. $ 2016(1-x)^2=1500 $
B. $ 1500(1+x)^2=2160 $
C. $ 1500(1-x)^2=2160 $
D. $ 1500+1500(1+x)+1500(1+x)^2=2160 $
【解题思路】 根据题意列出2024年的月退休金，再列出2025的月退休金，然后根据2025年的月退休金达到2160元为相等关系系列方程求解.
【解答过程】 解:根据题意可知,2024年的月退休金为$ 1500(1+x) $，2025年的月退休金为$ 1500(1+x)(1+x) $，所以方程为$ 1500(1+x)^2=2160 $，故选B.
【易错点睛】 此类问题容易出错的地方是(1)没有认真审题，“增长”还是“减少”时出现列代数式的错误；(2)误认为2160元是这三年的和而得到答案D.
【方法规律】 增长(降低)率是列方程解实际问题最常见的题型之一，对于平均增长率问题，正确理解有关“增长”问题的一些词语的含义是解答这类问题的
答案
解：
根据题意，2024年的月退休金为$1500(1+x)$元，
2025年的月退休金为$1500(1+x)·(1+x)=1500(1+x)^2$元，
结合2025年月退休金为2160元，可列方程：
$1500(1+x)^2=2160$，
故选B。
根据题意，2024年的月退休金为$1500(1+x)$元，
2025年的月退休金为$1500(1+x)·(1+x)=1500(1+x)^2$元，
结合2025年月退休金为2160元，可列方程：
$1500(1+x)^2=2160$，
故选B。
解析
【分析】
这是一道平均增长率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：①明确已知量：初始值（2023年月退休金）为1500元，年平均增长率为x，终值（2025年月退休金）为2160元，2023年到2025年共增长2次；②牢记平均增长率的数量关系：增长n次后的量=初始量×(1+增长率)ⁿ，因为是退休金增长，所以用(1+x)，增长次数为2，因此2025年的退休金就是初始值乘(1+x)的平方；③结合终值为2160元的等量关系列方程即可，同时注意不要和降低率的公式混淆，也不要误将终值当成三年退休金的总和。
【解析】
根据题意，2024年的月退休金为$1500(1+x)$元，
2025年的月退休金为$1500(1+x)·(1+x)=1500(1+x)^2$元，
结合2025年月退休金为2160元，可列方程：
$1500(1+x)^2=2160$，
故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用；平均增长率问题
【点评】
本题是平均增长率问题的典型基础题，解题核心是找准初始量、终值和增长次数，注意区分增长和降低对应的公式，还要注意题目给出的终值是单年数值还是累计数值，避免误选累计求和的错误选项。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：①明确已知量：初始值（2023年月退休金）为1500元，年平均增长率为x，终值（2025年月退休金）为2160元，2023年到2025年共增长2次；②牢记平均增长率的数量关系：增长n次后的量=初始量×(1+增长率)ⁿ，因为是退休金增长，所以用(1+x)，增长次数为2，因此2025年的退休金就是初始值乘(1+x)的平方；③结合终值为2160元的等量关系列方程即可，同时注意不要和降低率的公式混淆，也不要误将终值当成三年退休金的总和。
【解析】
根据题意，2024年的月退休金为$1500(1+x)$元，
2025年的月退休金为$1500(1+x)·(1+x)=1500(1+x)^2$元，
结合2025年月退休金为2160元，可列方程：
$1500(1+x)^2=2160$，
故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用；平均增长率问题
【点评】
本题是平均增长率问题的典型基础题，解题核心是找准初始量、终值和增长次数，注意区分增长和降低对应的公式，还要注意题目给出的终值是单年数值还是累计数值，避免误选累计求和的错误选项。
【难度系数】
0.8
