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12. 现有红、黄、蓝三根同样长的彩带。小红从这三根彩带中各截取一部分，将截取的部分连接成一根 1.6 m 长的彩带（接头处忽略不计）。这时她发现红彩带截去的是它原来的$\frac{1}{3}$，黄彩带截取的部分和蓝彩带剩下的部分同样长。原来每根彩带长（$\underline{\hspace{2em}}$）m。
答案
12. 1.2
解析
【分析】本题可通过设未知数，结合题目中“黄彩带截取部分与蓝彩带剩下部分相等”的条件，转化出黄、蓝彩带截取部分的和，再根据三根截取部分总长度建立方程求解。
【解析】设原来每根彩带长为$ x $米。
1. 红彩带截取的长度为原长的$\frac{1}{3}$，即$\frac{1}{3}x$米；
2. 设黄彩带截取长度为$ a $米，蓝彩带截取长度为$ b $米，由“黄彩带截取的部分和蓝彩带剩下的部分同样长”可得：$ a = x - b $，整理得$ a + b = x $；
3. 三根截取部分总长度为1.6米，因此列方程：$\frac{1}{3}x + (a + b) = 1.6$，将$ a + b = x $代入方程得：$\frac{1}{3}x + x = 1.6$；
4. 化简方程：$\frac{4}{3}x = 1.6$，解得$ x = 1.6 × \frac{3}{4} = 1.2 $。
【答案】1.2
【知识点】分数应用题，方程的应用
【点评】本题核心是利用条件转化黄、蓝彩带截取部分的和，简化计算，需掌握方程思想在分数应用题中的运用，属于中等难度的应用题。
【难度系数】0.5
【解析】设原来每根彩带长为$ x $米。
1. 红彩带截取的长度为原长的$\frac{1}{3}$，即$\frac{1}{3}x$米；
2. 设黄彩带截取长度为$ a $米，蓝彩带截取长度为$ b $米，由“黄彩带截取的部分和蓝彩带剩下的部分同样长”可得：$ a = x - b $，整理得$ a + b = x $；
3. 三根截取部分总长度为1.6米，因此列方程：$\frac{1}{3}x + (a + b) = 1.6$，将$ a + b = x $代入方程得：$\frac{1}{3}x + x = 1.6$；
4. 化简方程：$\frac{4}{3}x = 1.6$，解得$ x = 1.6 × \frac{3}{4} = 1.2 $。
【答案】1.2
【知识点】分数应用题，方程的应用
【点评】本题核心是利用条件转化黄、蓝彩带截取部分的和，简化计算，需掌握方程思想在分数应用题中的运用，属于中等难度的应用题。
【难度系数】0.5
13. 如图，桌面上平放着一个边长为2 dm的等边三角形ABC（图①）。现将这个三角形按图所示方向紧贴着桌面进行滚动，滚动到如图所示位置停止。在整个滚动过程中，顶点（
C
）经过的路线轨迹最短，是（8.37
）dm。答案
13. C 8.37
解析
【分析】
要确定滚动过程中哪个顶点的轨迹最短，需明确等边三角形滚动时顶点的运动轨迹为圆弧，利用弧长公式计算各顶点的轨迹长度。等边三角形边长为2dm，滚动时每次绕接触桌面的顶点旋转，旋转角度为120°，弧长公式为$ l = \frac{nπ r}{180} $（n为旋转角度，r为半径）。分析三个顶点的旋转次数，计算总轨迹长度后比较，得出最短轨迹的顶点及长度。
【解析】
等边三角形边长为2dm，滚动时每次旋转的圆心角为120°，半径为边长2dm。
顶点C在整个滚动过程中，共经过2次旋转，每次旋转的弧长为$ \frac{120π × 2}{180} = \frac{4π}{3} $ dm，总轨迹长度为$ 2 × \frac{4π}{3} = \frac{8π}{3} \approx 8.37 $ dm；
顶点A、B的旋转次数更多，总轨迹长度更长，因此顶点C的轨迹最短，长度约为8.37dm。
【答案】
C 8.37
【知识点】
弧长计算、图形旋转
【点评】
本题结合等边三角形滚动考查弧长公式的应用，关键是判断顶点的旋转次数和旋转角度，计算轨迹长度后比较，需注意滚动过程中旋转中心的变化，避免误判轨迹长度。
【难度系数】
0.4
要确定滚动过程中哪个顶点的轨迹最短，需明确等边三角形滚动时顶点的运动轨迹为圆弧，利用弧长公式计算各顶点的轨迹长度。等边三角形边长为2dm，滚动时每次绕接触桌面的顶点旋转，旋转角度为120°，弧长公式为$ l = \frac{nπ r}{180} $（n为旋转角度，r为半径）。分析三个顶点的旋转次数，计算总轨迹长度后比较，得出最短轨迹的顶点及长度。
【解析】
等边三角形边长为2dm，滚动时每次旋转的圆心角为120°，半径为边长2dm。
顶点C在整个滚动过程中，共经过2次旋转，每次旋转的弧长为$ \frac{120π × 2}{180} = \frac{4π}{3} $ dm，总轨迹长度为$ 2 × \frac{4π}{3} = \frac{8π}{3} \approx 8.37 $ dm；
顶点A、B的旋转次数更多，总轨迹长度更长，因此顶点C的轨迹最短，长度约为8.37dm。
【答案】
C 8.37
【知识点】
弧长计算、图形旋转
【点评】
本题结合等边三角形滚动考查弧长公式的应用，关键是判断顶点的旋转次数和旋转角度，计算轨迹长度后比较，需注意滚动过程中旋转中心的变化，避免误判轨迹长度。
【难度系数】
0.4
四、动手实践，操作应用。（共10分）
1. 按要求在方格纸上完成下列各题。
（1）把图中的长方形绕点A顺时针旋转$90°$，画出旋转后的图形。旋转后，点B的位置用数对表示是（ ， ）。（3分）
（2）按1∶2画出三角形缩小后的图形。缩小后的三角形的面积是原来的$\frac{(\quad)}{(\quad)}$。（3分）
（3）画一个面积是$2\ \mathrm{cm}^2$的正方形。（图中每个小正方形的边长为1 cm）（2分）
1. 按要求在方格纸上完成下列各题。
（1）把图中的长方形绕点A顺时针旋转$90°$，画出旋转后的图形。旋转后，点B的位置用数对表示是（ ， ）。（3分）
（2）按1∶2画出三角形缩小后的图形。缩小后的三角形的面积是原来的$\frac{(\quad)}{(\quad)}$。（3分）
（3）画一个面积是$2\ \mathrm{cm}^2$的正方形。（图中每个小正方形的边长为1 cm）（2分）
答案
1.（1）画图略 （7,6） （2）画图略 $\dfrac{1}{4}$ （3）略
解析
【分析】
本题包含三个操作类题目，解题思路如下：
1. 长方形绕点A顺时针旋转90°：先确定点A、B的原始数对，再根据顺时针旋转90°的坐标变换规则，计算旋转后点B的数对，最后画出旋转后的长方形。
2. 三角形按1∶2缩小：先确定原三角形的直角边长度，按比例缩小得到新直角边，通过计算缩小前后的面积得出面积比例，再画出缩小后的三角形。
3. 画面积2cm²的正方形：根据正方形面积公式确定边长，对应方格中格点对角线长度，据此画出正方形。
【解析】
（1）点A的数对为（5，3），点B的数对为（2，5）。绕点A顺时针旋转90°时，点B的坐标变换规则：旋转后横坐标=点A横坐标 +（点B纵坐标 - 点A纵坐标），旋转后纵坐标=点A纵坐标 -（点B横坐标 - 点A横坐标）。代入计算：横坐标=5 + (5-3)=7，纵坐标=3 - (2-5)=6，故旋转后点B的数对为（7，6），按规则画出旋转后的长方形即可。
（2）原直角三角形的两条直角边为3格、4格，原面积为$\frac{1}{2}×3×4=6$（格²）。按1∶2缩小后，直角边变为$3×\frac{1}{2}=1.5$格、$4×\frac{1}{2}=2$格，缩小后的面积为$\frac{1}{2}×1.5×2=1.5$（格²），则缩小后的面积是原来的$\frac{1.5}{6}=\frac{1}{4}$，按比例画出缩小后的三角形即可。
（3）正方形面积为2cm²，由$S=a²$得边长$a=\sqrt{2}$cm，对应方格中相邻格点的对角线长度，据此画出该正方形即可。
【答案】
（1）画图略，（7，6）；（2）画图略，$\frac{1}{4}$；（3）画图略
【知识点】
图形的旋转、图形的缩放、正方形面积
【点评】
本题考查图形变换（旋转、缩放）及正方形面积计算，需掌握数对应用、旋转坐标规律、图形缩放比例，属于基础动手操作题，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题包含三个操作类题目，解题思路如下：
1. 长方形绕点A顺时针旋转90°：先确定点A、B的原始数对，再根据顺时针旋转90°的坐标变换规则，计算旋转后点B的数对，最后画出旋转后的长方形。
2. 三角形按1∶2缩小：先确定原三角形的直角边长度，按比例缩小得到新直角边，通过计算缩小前后的面积得出面积比例，再画出缩小后的三角形。
3. 画面积2cm²的正方形：根据正方形面积公式确定边长，对应方格中格点对角线长度，据此画出正方形。
【解析】
（1）点A的数对为（5，3），点B的数对为（2，5）。绕点A顺时针旋转90°时，点B的坐标变换规则：旋转后横坐标=点A横坐标 +（点B纵坐标 - 点A纵坐标），旋转后纵坐标=点A纵坐标 -（点B横坐标 - 点A横坐标）。代入计算：横坐标=5 + (5-3)=7，纵坐标=3 - (2-5)=6，故旋转后点B的数对为（7，6），按规则画出旋转后的长方形即可。
（2）原直角三角形的两条直角边为3格、4格，原面积为$\frac{1}{2}×3×4=6$（格²）。按1∶2缩小后，直角边变为$3×\frac{1}{2}=1.5$格、$4×\frac{1}{2}=2$格，缩小后的面积为$\frac{1}{2}×1.5×2=1.5$（格²），则缩小后的面积是原来的$\frac{1.5}{6}=\frac{1}{4}$，按比例画出缩小后的三角形即可。
（3）正方形面积为2cm²，由$S=a²$得边长$a=\sqrt{2}$cm，对应方格中相邻格点的对角线长度，据此画出该正方形即可。
【答案】
（1）画图略，（7，6）；（2）画图略，$\frac{1}{4}$；（3）画图略
【知识点】
图形的旋转、图形的缩放、正方形面积
【点评】
本题考查图形变换（旋转、缩放）及正方形面积计算，需掌握数对应用、旋转坐标规律、图形缩放比例，属于基础动手操作题，难度适中。
【难度系数】
0.6
