22. (10分)省博物馆为了筹备新的展览活动,计划向某商家采购越王勾践剑造型书签和编钟造型摆件两种文创产品. 已知采购2套越王勾践剑造型书签和3套编钟造型摆件总共花费210元;采购3套越王勾践剑造型书签和4套编钟造型摆件总共花费290元.
(1)请问每套越王勾践剑造型书签和每套编钟造型摆件的价格分别是多少元?
(2)若博物馆要求采购的编钟造型摆件比越王勾践剑造型书签少40套,且两种文创产品的总数不低于100套,采购的总费用不超过4 025元. 请问共有几种采购方案?
(3)为了支持博物馆活动,商家每套越王勾践剑造型书签的价格下调了$m$元,每套编钟造型摆件的价格不变,在(2)的条件下,按最低费用的采购方案购买需3 355元,则$m$的值是$\underline{\hspace{3em}}$.

【点拨】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用,解题关键是读懂题意,列出方程组和不等式组.
【解析】(1)设每套越王勾践剑造型书签的价格为 x 元,每套编钟造型摆件的价格为 y 元.
根据题意列方程组:
$\begin{cases} 2x + 3y = 210, \\ 3x + 4y = 290, \end{cases}$解得 $\begin{cases} x = 30, \\ y = 50. \end{cases}$
答:每套越王勾践剑造型书签的价格为 30 元,每套编钟造型摆件的价格为 50 元.
(2)设采购越王勾践剑造型书签 a 套,则编钟造型摆件为(a - 40)套.
根据题意列不等式组:
$\begin{cases} a + (a - 40) ≥ 100, \\ 30a + 50(a - 40) ≤ 4\ 025, \end{cases}$
解得 $70 ≤ a ≤ 75\frac{5}{16}$,
∵ a 为整数,
∴ a 可以为 70,71,72,73,74,75,
∴ 越王勾践剑造型书签购进 70,71,72,73,74,75 时,编钟造型摆件分别购进 30,31,32,33,34,35.
答:共有 6 种采购方案.
(3)最低费用的采购方案为采购越王勾践剑造型书签 70 套,编钟造型摆件 30 套. 则调整后总费用为:(30 - m) × 70 + 50 × 30 = 3 355,解得 m = 3.5. 故答案为 3.5.

23. (10分)已知$AB// CD$，点$M$在$AB$上，点$N$在$CD$上，点$G$在$AB$，$CD$之间.
(1)如图1，求证:$∠ BMG + ∠ GND = ∠ MGN$；
(2)如图2，点$E$在$AB$上方，连接$EM$，$EN$，延长$GM$至点$F$，若$MF$平分$∠ AME$，$NE$平分$∠ CNG$，且$2∠ E + ∠ G = 90°$，求$∠ AME$的度数；
(3)如图3，点$E$在$AB$上方，点$F$在$CD$下方，$EF$交$CD$于点$P$，$AG// EM$，$CG// FN$，$∠ MEF = 90°$，$MA$平分$∠ EMP$，$∠ G = 60°$，$∠ CNF = 28°$，点$Q$在线段$PM$上，当$△ MEQ$是等腰三角形时，$∠ PEQ$的度数为________.

【点拨】本题考查平行线的性质、角平分线的性质、三角形的外角的性质,解题关键是作出辅助线、熟练掌握以上知识点.
【解析】(1)如题图 1,过点 G 向左作 GE // AB.
∵ AB // CD,
∴ AB // GE // CD,
∴ ∠MGE = ∠BMG,
∠NGE = ∠DNG(两直线平行,内错角相等).
又
∵ ∠MGN = ∠MGE + ∠NGE,
∴ ∠MGN = ∠BMG + ∠DNG,
即 ∠BMG + ∠GND = ∠MGN.
(2)设 ∠AMF = x,∠CNE = y,
∴ ∠BMG = ∠AMF = x(对顶角相等).
又
∵ MF 平分 ∠AME,NE 平分 ∠CNG,
∴ ∠AME = 2∠AMF = 2x,∠CNG = 2∠CNE = 2y.
又
∵ ∠CNG + ∠DNG = 180°,
∴ ∠DNG = 180° - ∠CNG = 180° - 2y.
如图 1,过点 G 作 GH // AB 交 NE 于点 H.
由(1)可知,∠MGN = ∠BMG + ∠GND,
∴ ∠MGN = x + 180° - 2y
∵ AB // CD,
∴ ∠1 = ∠CNE = y.
又
∵ ∠1 = ∠E + ∠EMA,
∴ y = ∠E + 2x,
∴ ∠E = y - 2x.
又
∵ 2∠E + ∠MGN = 90°,
∴ 2(y - 2x) + x + 180° - 2y = 90°,
解得 x = 30°,
∴ ∠AME = 2x = 60°.
(3)如图 2,作 OG // AB.
∵ AB // CD,
∴ AB // OG // CD,
∴ ∠A = ∠AGO,
∠C = ∠CGO.
∵ AG // EM,CG // FN,
∴ ∠A = ∠EMA,∠C = ∠CNF = 28°,
∴ ∠CGO = ∠C = 28°,
∴ ∠A = ∠AGO = ∠AGC - ∠CGO = 60° - 28° = 32°,
∴ ∠EMA = ∠A = 32°.
∵ MA 平分 ∠EMP,∠EMA = 32°,
∴ ∠EMP = 2∠EMA = 2 × 32° = 64°.
又
∵ ∠MEF = 90°,
∴ ∠EPQ = 180° - ∠MEF - ∠EMP = 180° - 90° - 64° = 90° - 64° = 26°.
当 EQ = EM 时,∠EQM = ∠EMQ = 64°,
∴ ∠EPQ + ∠PEQ = ∠EQM = 64°,
∴ ∠PEQ = 64° - ∠EPQ = 64° - 26° = 38°.
当 EM = QM 时,∠MEQ = ∠MQE = $\frac{180° - 64°}{2}$ = 58°,
∴ ∠PEQ = 90° - ∠MEQ = 32°.
当 EQ = QM 时,∠QEM = ∠EMQ = 64°,
∴ ∠PEQ = 90° - ∠MEQ = 26°.
综上,∠PEQ 的度数为 38°或 32°或 26°. 故答案为 38°或 32°或 26°.