24. (12分)对于平面直角坐标系$xOy$中的点$P(a,b)$,若点$P'(a+kb,ka+b)$(其中$k$为常数,且$k≠0$),则称点$P'$为点$P$的“$k$属派生点”.
例如:$P(1,4)$的“2属派生点”为$P'(1+2×4,2×1+4)$,即$P'(9,6)$.
(1)点$P(2,3)$的“3属派生点”$P'$的坐标为________;
(2)若点$P$的“5属派生点”$P'$的坐标为$(3,-9)$,求点$P$的坐标;
(3)若点$P$在$x$轴的正半轴上,设点$P$的坐标为$(t,0)$($t＞0,t$为整数),点$P$的“$k$属派生点”$P'(a+kb,ka+b)$,满足$\begin{cases} ka+b＞2, \\ a+kb＜5, \end{cases}$同时点$P'$到$x$轴的距离是线段$OP$长度的2倍($O$为坐标原点),求$k$的值及满足条件的点$P$的坐标.

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【点拨】本题考查对新定义“k 属派生点”的理解与应用,涉及坐标变换、解方程组、不等式组以及几何条件的综合运用,解题关键是理解新定义、运用数形结合思想并灵活运用上述知识点.
【解析】(1)根据定义,点 P(2,3)的“3 属派生点”坐标为:
x' = 2 + 3 × 3 = 11,
y' = 3 × 2 + 3 = 9,
因此,P' 的坐标为(11,9).
故答案为(11,9).
(2)设点 P 的坐标为(a,b),根据“5 属派生点”定义得:$\begin{cases} a + 5b = 3, \\ 5a + b = -9, \end{cases}$解方程组得:$\begin{cases} a = -2, \\ b = 1, \end{cases}$
故点 P 的坐标为(-2,1).
(3)设点 P(t,0)其“k 属派生点”为 P'(t,kt)需满足不等式组:
$\begin{cases} kt ＞ 2, \\ t ＜ 5, \end{cases}$
∵ t ＞ 0,
∴ k ＞ 0.
∵ 点 P' 到 x 轴的距离为 kt,线段 OP 的长度为 t,
∴ kt = 2t,
∴ k = 2.
当 k = 2 时,不等式组变为 $\begin{cases} t ＞ 1, \\ t ＜ 5, \end{cases}$又
∵ t 为整数,
∴ t = 2,3,4,对应点 P 的坐标为(2,0),(3,0),(4,0).
综上,k = 2,点 P 的坐标为(2,0)或(3,0)或(4,0).