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1. 如图所示,正方形$ABGF$和正方形$CDBE$的面积分别是100和36,则以$AD$为直径的半圆的面积是（
A.$4π$
B.$8π$
C.$12π$
D.$16π$
B
）A.$4π$
B.$8π$
C.$12π$
D.$16π$
答案
1. B 解析:
∵ 在 Rt△ABD 中,∠ADB=90°,AB²=100,BD²=36,
∴ AD²=100-36=64,
∴ AD=8,
∴ 以 AD 为直径的半圆的面积是$\frac{1}{2}π×(\frac{1}{2}AD)^2=\frac{1}{8}π AD^2=8π$.故选 B.
技法点拨 如图,①②③是用直角三角形的三条边构造的几种图形,$S_1+S_2=S_3$均成立.
2. (2026·枣庄校级月考)历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形,其中两个全等的直角三角形的直角边 $AE,EB$ 在同一条直线上.证明中用到的面积相等关系是 （
A.$S_{△ EDA}=S_{△ CEB}$
B.$S_{△ EDA}+S_{△ CEB}=S_{△ CDE}$
C.$S_{\mathrm{四边形}CDAE}=S_{\mathrm{四边形}CDEB}$
D.$S_{△ EDA}+S_{△ CDE}+S_{△ CEB}=S_{\mathrm{四边形}ABCD}$
D
）A.$S_{△ EDA}=S_{△ CEB}$
B.$S_{△ EDA}+S_{△ CEB}=S_{△ CDE}$
C.$S_{\mathrm{四边形}CDAE}=S_{\mathrm{四边形}CDEB}$
D.$S_{△ EDA}+S_{△ CDE}+S_{△ CEB}=S_{\mathrm{四边形}ABCD}$
答案
2. D 解析:由$S_{△ EDA}+S_{△ CDE}+S_{△ CEB}=S_{四边形ABCD}$,可知$\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}(a+b)^2$,$\therefore c^2+2ab=a^2+2ab+b^2$,整理得$a^2+b^2=c^2$,$\therefore$ 证明中用到的面积相等关系是$S_{△ EDA}+S_{△ CDE}+S_{△ CEB}=S_{四边形ABCD}$.故选 D.
3.（2024·南通中考改编）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为 $m,n$($m＞n$).若小正方形面积为 5,$(m+n)^2=21$,则大正方形面积为
13
.答案
3. 13 解析:由题意可知,中间小正方形的边长为$m-n$,$\therefore (m-n)^2=5$,即$m^2+n^2-2mn=5$ ①.$\because (m+n)^2=21$,$\therefore m^2+n^2+2mn=21$ ②,①+②得$m^2+n^2=13$,$\therefore$ 大正方形的面积为$m^2+n^2=13$.
4. (2025·宁德期末)我国清初数学家梅文鼎所著的《勾股举隅》一书中,勾股定理的证明是将4个边长分别为a,b,c 的全等直角三角形拼成如图所示的五边形 ACDEF. 若 $a=1,b=2$,则空白部分的面积是
3
.答案
4. 3 解析:
∵ 四个直角三角形全等,$\therefore AB=BE=EF=AF$,$c^2=a^2+b^2$.$\because ∠ AFG+∠ EFH=90°$,$\therefore$ 四边形 ABEF 为正方形,$\therefore$ 空白部分的面积为$c^2-ab=a^2+b^2-ab=1^2+2^2-1×2=3$.
∵ 四个直角三角形全等,$\therefore AB=BE=EF=AF$,$c^2=a^2+b^2$.$\because ∠ AFG+∠ EFH=90°$,$\therefore$ 四边形 ABEF 为正方形,$\therefore$ 空白部分的面积为$c^2-ab=a^2+b^2-ab=1^2+2^2-1×2=3$.
5. 小明用4个图①中的长方形组成图②,其中四边形$ABCD,EFGH,MNPQ$都是正方形,证明:
$a^{2}+b^{2}=c^{2}.$
$a^{2}+b^{2}=c^{2}.$
答案
5.
∵ 四边形 ABCD,EFGH,MNPQ 都是正方形,$\therefore S_{正方形ABCD}=(a+b)^2$,$S_{正方形EFGH}=c^2$,$S_{△ BEF}=\frac{1}{2}ab$.$\because S_{正方形ABCD}=S_{正方形EFGH}+4S_{△ BEF}$,$\therefore (a+b)^2=c^2+4×\frac{1}{2}× ab$,$\therefore a^2+2ab+b^2=c^2+2ab$,$\therefore a^2+b^2=c^2$.
∵ 四边形 ABCD,EFGH,MNPQ 都是正方形,$\therefore S_{正方形ABCD}=(a+b)^2$,$S_{正方形EFGH}=c^2$,$S_{△ BEF}=\frac{1}{2}ab$.$\because S_{正方形ABCD}=S_{正方形EFGH}+4S_{△ BEF}$,$\therefore (a+b)^2=c^2+4×\frac{1}{2}× ab$,$\therefore a^2+2ab+b^2=c^2+2ab$,$\therefore a^2+b^2=c^2$.
6.（2026·西宁期中）如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若$AC=6$，$BC=5$，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（
A.52
B.48
C.72
D.76
D
）A.52
B.48
C.72
D.76
答案
6. D 解析:如图,由题意可知$CA=AD=6$,$\therefore CD=2AC=12$.$\because ∠ BCD=90°$,$BC=5$,$\therefore BD=\sqrt{CD^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$,$\therefore$ 风车的外围周长是$4×(BD+AD)=4×(13+6)=76$.故选 D.
7. 如图,在直线$l$上依次摆放着七个正方形,已知斜放置的三个正方形的面积分别为 1.0,1.21,1.44,正放置的四个正方形的面积分别为$S_1,S_2,S_3,S_4$,则$S_1+S_4=$
1.23
.答案
7. 1.23 解析:由勾股定理的几何意义可知,$S_1+S_2=1$,$S_2+S_3=1.21$,$S_3+S_4=1.44$,$\therefore S_1+S_4=1.23$.
