19. 如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$EF$ 经过点 $O$ 并且分别和 $AB$，$CD$ 相交于点 $E$，$F$，点 $G$，$H$ 分别为 $OA$，$OC$ 的中点，连接 $EG$，$FG$，$EH$，$FH$.
求证:四边形 $EHFG$ 是平行四边形.

19. 如图所示.
∵点O为平行四边形ABCD对角线AC,BD的交点,
∴AB//CD,OA=OC,OB=OD.
∵点G,H分别为OA,OC的中点,
∴$OG=\frac{1}{2}OA$,$OH=\frac{1}{2}OC$.
∴OG=OH.
又AB//CD,
∴∠1=∠2.
在△OEB和△OFD中,
∵∠1=∠2,OB=OD,∠3=∠4,
∴△OEB≌△OFD.
∴OE=OF.
∵OG=OH,
∴四边形EHFG为平行四边形.

20. 如图,在$□ ABCD$中,$AC$是对角线,$∠ ABC=2∠ ACB$.
(1)请用尺规完成以下基本作图:作$∠ B$的平分线,分别交$AC$,$AD$于点$O,E$.(不写作法,保留作图痕迹,并标明字母)
(2)在(1)的条件下,连接$CE$,求证$AE=CE$.

20.(1)如图,BE即为所作.
(2)如图.
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE.
∵∠B=2∠ACB,
∴∠ACB=∠EBC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC.
∴∠AEB=∠CBE,∠EAC=∠ACB.
∴∠AEB=∠EAC,∠EBC=∠ACB.
∴OA=OE,OB=OC,∠ABE=∠AEB.
∴AB=AE.
在△AOB和△EOC中,
$\begin{cases}OA=OE,\\∠AOB=∠EOC,\\OB=OC,\end{cases}$
∴△AOB≌△EOC(SAS).
∴AB=EC.
∴AE=CE.

21.如图,已知四边形ABCD为平行四边形,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F.
(1)求证:BE=DF.
(2)若点M,N分别为边AD,BC上的点,且DM=BN,试判断四边形MENF的形状.(不必说明理由)

21.(1)
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB//CD.
∴∠ABD=∠CDB.
∵AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,
∴∠AEB=∠CFD=90°.
∴△ABE≌△CDF.
∴BE=DF.
(2)四边形MENF是平行四边形.