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4. 如图，要设计一个长为15 cm、宽为10 cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为4：5，若使所有彩条所占面积是原来矩形图案面积的三分之一，则应如何设计每个彩条的宽度？
答案
4. 解 设每个横彩条的宽度为4x cm，则每个竖彩条的宽度为5x cm.
依题意，得 $(15 - 2 × 5x)(10 - 2 × 4x) = 15×10×(1-\dfrac{1}{3}).$ 整理得 $8x^2 -22x +5=0.$
解得 $x_1=\dfrac{5}{2}$，$x_2=\dfrac{1}{4}.$ 当 $x=\dfrac{5}{2}$ 时，$10-2×4x=-10＜0$，不合题意，舍去；
当 $x=\dfrac{1}{4}$ 时，$10-2×4x=8＞0$，符合题意.
所以 $4x=1$，$5x=\dfrac{5}{4}.$
所以每个横彩条的宽度为1 cm，每个竖彩条的宽度为$\dfrac{5}{4}$ cm.
依题意，得 $(15 - 2 × 5x)(10 - 2 × 4x) = 15×10×(1-\dfrac{1}{3}).$ 整理得 $8x^2 -22x +5=0.$
解得 $x_1=\dfrac{5}{2}$，$x_2=\dfrac{1}{4}.$ 当 $x=\dfrac{5}{2}$ 时，$10-2×4x=-10＜0$，不合题意，舍去；
当 $x=\dfrac{1}{4}$ 时，$10-2×4x=8＞0$，符合题意.
所以 $4x=1$，$5x=\dfrac{5}{4}.$
所以每个横彩条的宽度为1 cm，每个竖彩条的宽度为$\dfrac{5}{4}$ cm.
解析
【分析】
首先根据横竖彩条宽度比4:5，设横彩条宽为4x cm，竖彩条宽为5x cm；已知彩条总面积占原矩形的$\frac{1}{3}$，可推出空白区域面积占原矩形的$\frac{2}{3}$。观察图形可知空白区域可拼接为一个新矩形，其长为原矩形长减去2个竖彩条的宽度，宽为原矩形宽减去2个横彩条的宽度，根据空白区域面积的等量关系即可列方程求解，最后检验所得的根是否符合实际意义（长度不能为负）。
【解析】
解：设每个横彩条的宽度为4x cm，则每个竖彩条的宽度为5x cm。
依题意，空白区域面积为原矩形面积的$1-\frac{1}{3}$，列方程得：
$(15 - 2 × 5x)(10 - 2 × 4x) = 15×10×(1-\dfrac{1}{3})$
整理得：$8x^2 -22x +5=0$
解方程得：$x_1=\dfrac{5}{2}$，$x_2=\dfrac{1}{4}$
检验：当$x=\dfrac{5}{2}$时，$10-2×4x=-10＜0$，不符合实际，舍去；
当$x=\dfrac{1}{4}$时，$10-2×4x=8＞0$，$15-2×5x=12.5＞0$，符合题意。
因此$4x=4×\frac{1}{4}=1$，$5x=5×\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$。
【答案】
每个横彩条的宽度为1 cm，每个竖彩条的宽度为$\dfrac{5}{4}$ cm。
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；实际问题根的检验
【点评】
本题属于典型的图形面积类方程应用问题，解题核心是将分散的空白区域转化为规则矩形，利用面积等量关系建立方程，同时注意求解后要结合实际情况舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.6
首先根据横竖彩条宽度比4:5，设横彩条宽为4x cm，竖彩条宽为5x cm；已知彩条总面积占原矩形的$\frac{1}{3}$，可推出空白区域面积占原矩形的$\frac{2}{3}$。观察图形可知空白区域可拼接为一个新矩形，其长为原矩形长减去2个竖彩条的宽度，宽为原矩形宽减去2个横彩条的宽度，根据空白区域面积的等量关系即可列方程求解，最后检验所得的根是否符合实际意义（长度不能为负）。
【解析】
解：设每个横彩条的宽度为4x cm，则每个竖彩条的宽度为5x cm。
依题意，空白区域面积为原矩形面积的$1-\frac{1}{3}$，列方程得：
$(15 - 2 × 5x)(10 - 2 × 4x) = 15×10×(1-\dfrac{1}{3})$
整理得：$8x^2 -22x +5=0$
解方程得：$x_1=\dfrac{5}{2}$，$x_2=\dfrac{1}{4}$
检验：当$x=\dfrac{5}{2}$时，$10-2×4x=-10＜0$，不符合实际，舍去；
当$x=\dfrac{1}{4}$时，$10-2×4x=8＞0$，$15-2×5x=12.5＞0$，符合题意。
因此$4x=4×\frac{1}{4}=1$，$5x=5×\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$。
【答案】
每个横彩条的宽度为1 cm，每个竖彩条的宽度为$\dfrac{5}{4}$ cm。
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；实际问题根的检验
【点评】
本题属于典型的图形面积类方程应用问题，解题核心是将分散的空白区域转化为规则矩形，利用面积等量关系建立方程，同时注意求解后要结合实际情况舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.6
5. 在中秋节当天，某学习小组里的每两人之间都互发1条祝福信息，共发出132条信息，则这个学习小组里有 （
A.11人
B.12人
C.13人
D.14人
B
）A.11人
B.12人
C.13人
D.14人
答案
5. B
解析
【分析】
这是一道一元二次方程的实际应用题，解题思路如下：第一步，先设学习小组的人数为未知数$x$；第二步，分析发信息的数量关系：每个人需要给除自己之外的其他$(x-1)$人各发1条祝福信息，且互发信息是双向独立的（即甲给乙发和乙给甲发是两条不同的信息），因此总信息条数等于人数乘以每人发送的信息条数；第三步，根据总信息数为132条列方程求解，最后结合人数为正整数的实际意义舍去不符合的解即可。
【解析】
设这个学习小组共有$ x $人。
根据题意，每个人需向除自己外的$ (x-1) $人各发1条信息，因此总信息条数为$ x(x-1) $，可列方程：
$x(x-1) = 132$
整理得：
$x^2 - x - 132 = 0$
因式分解得：
$(x - 12)(x + 11) = 0$
解得$ x_1 = 12 $，$ x_2 = -11 $。
因为人数不能为负数，故舍去$ x_2 = -11 $，即小组共有12人。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 实际问题数量关系分析
【点评】
本题是常见的生活场景应用题，解题核心是准确区分“互发信息”和“握手/比赛”类问题的数量逻辑：互发信息时每两人对应2条信息，无需除以2，握手类问题每两人对应1次，需要除以2，求解后注意验证解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
这是一道一元二次方程的实际应用题，解题思路如下：第一步，先设学习小组的人数为未知数$x$；第二步，分析发信息的数量关系：每个人需要给除自己之外的其他$(x-1)$人各发1条祝福信息，且互发信息是双向独立的（即甲给乙发和乙给甲发是两条不同的信息），因此总信息条数等于人数乘以每人发送的信息条数；第三步，根据总信息数为132条列方程求解，最后结合人数为正整数的实际意义舍去不符合的解即可。
【解析】
设这个学习小组共有$ x $人。
根据题意，每个人需向除自己外的$ (x-1) $人各发1条信息，因此总信息条数为$ x(x-1) $，可列方程：
$x(x-1) = 132$
整理得：
$x^2 - x - 132 = 0$
因式分解得：
$(x - 12)(x + 11) = 0$
解得$ x_1 = 12 $，$ x_2 = -11 $。
因为人数不能为负数，故舍去$ x_2 = -11 $，即小组共有12人。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 实际问题数量关系分析
【点评】
本题是常见的生活场景应用题，解题核心是准确区分“互发信息”和“握手/比赛”类问题的数量逻辑：互发信息时每两人对应2条信息，无需除以2，握手类问题每两人对应1次，需要除以2，求解后注意验证解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
6. 某种植物的主干长出若干数目的支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为57，则每个支干长出小分支的数目为（
A.6
B.7
C.8
D.9
B
）A.6
B.7
C.8
D.9
答案
6. B
解析
【分析】这是典型的分支数量计算问题，解题时首先要明确各层级的数量：首先主干只有1个；设每个支干长出$x$个小分支，那么主干长出的支干总数就是$x$个；每个支干又长出$x$个小分支，因此小分支的总数量是$x· x=x^2$个。三类的总数为57，因此可列一元二次方程求解，最后要结合分支数为正整数的实际意义舍去不符合的根。
【解析】解：设每个支干长出的小分支数目为$ x $。
根据题意，主干数量+支干数量+小分支数量=57，列方程得：
$ 1 + x + x^2 = 57 $
整理为一元二次方程标准形式：
$ x^2 + x - 56 = 0 $
因式分解得：
$ (x + 8)(x - 7) = 0 $
解得：$ x_1 = 7 $，$ x_2 = -8 $
因为分支数目不能为负数，故舍去$ x_2 = -8 $，即每个支干长出7个小分支。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用；因式分解法解一元二次方程
【点评】本题属于基础的方程应用题，解题核心是理清三层结构的数量关系，列方程求解后注意要结合实际情境检验根的合理性，避免出现多解错误。
【难度系数】0.7
【解析】解：设每个支干长出的小分支数目为$ x $。
根据题意，主干数量+支干数量+小分支数量=57，列方程得：
$ 1 + x + x^2 = 57 $
整理为一元二次方程标准形式：
$ x^2 + x - 56 = 0 $
因式分解得：
$ (x + 8)(x - 7) = 0 $
解得：$ x_1 = 7 $，$ x_2 = -8 $
因为分支数目不能为负数，故舍去$ x_2 = -8 $，即每个支干长出7个小分支。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用；因式分解法解一元二次方程
【点评】本题属于基础的方程应用题，解题核心是理清三层结构的数量关系，列方程求解后注意要结合实际情境检验根的合理性，避免出现多解错误。
【难度系数】0.7
7. 喜迎国庆佳节，某商品搞促销活动，两次降价后，售价由81元降至64元，若两次降价的百分率相同且均为$ x $，可列方程为（
A.$ 64(1+x^2)=81 $
B.$ 64(1-x)^2=81 $
C.$ 81(1-x)^2=64 $
D.$ 64(1+x)=81 $
C
）A.$ 64(1+x^2)=81 $
B.$ 64(1-x)^2=81 $
C.$ 81(1-x)^2=64 $
D.$ 64(1+x)=81 $
答案
7. C
解析
【分析】
这是一道百分率降价的实际应用问题，解题时首先要明确价格变化的基数：第一次降价的基数是原价81元，第二次降价的基数是第一次降价后的价格。我们可以先推导第一次降价后的售价，再推导第二次降价后的售价，最后结合两次降价后的终价为64元列出等式，再匹配选项即可。
【解析】
设每次降价的百分率为x：
1. 第一次降价后的售价：在原价81元的基础上降价x，售价为 $ 81(1-x) $；
2. 第二次降价后的售价：在第一次降价后的售价基础上再降价x，售价为 $ 81(1-x) × (1-x) = 81(1-x)^2 $；
3. 已知两次降价后售价为64元，因此可列方程：$ 81(1-x)^2 = 64 $，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用；降价率问题
【点评】
本题是百分率变化类的基础题型，解题的核心是明确每次价格调整的基数，是在上一次调整后的价格基础上计算，注意不要混淆原价和现价的位置。
【难度系数】
0.8
这是一道百分率降价的实际应用问题，解题时首先要明确价格变化的基数：第一次降价的基数是原价81元，第二次降价的基数是第一次降价后的价格。我们可以先推导第一次降价后的售价，再推导第二次降价后的售价，最后结合两次降价后的终价为64元列出等式，再匹配选项即可。
【解析】
设每次降价的百分率为x：
1. 第一次降价后的售价：在原价81元的基础上降价x，售价为 $ 81(1-x) $；
2. 第二次降价后的售价：在第一次降价后的售价基础上再降价x，售价为 $ 81(1-x) × (1-x) = 81(1-x)^2 $；
3. 已知两次降价后售价为64元，因此可列方程：$ 81(1-x)^2 = 64 $，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的应用；降价率问题
【点评】
本题是百分率变化类的基础题型，解题的核心是明确每次价格调整的基数，是在上一次调整后的价格基础上计算，注意不要混淆原价和现价的位置。
【难度系数】
0.8
8. 某种药品原价 200 元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖 98 元/瓶。现假定两次降价的百分率相同，则该种药品平均每次降价的百分率为
30%
。答案
8. 30%
解析
【分析】
这是一道平均降价率的应用题，解题思路如下：1. 设平均每次降价的百分率为x，明确降价率的计算规则：每次降价后价格=降价前价格×(1-降价率)；2. 第一次降价后价格为200(1-x)元，第二次是在第一次降价后的价格基础上再降价，因此两次降价后价格为$200(1-x)^2$元；3. 结合题目给出的现价98元列出一元二次方程求解，最后根据降价率的实际意义（0＜x＜1）舍去不符合题意的根，即可得到结果。
【解析】
解：设该种药品平均每次降价的百分率为$ x $，根据题意列方程：
$200(1-x)^2 = 98$
两边同时除以200，得：
$(1-x)^2 = 0.49$
开平方，得：
$1-x = \pm 0.7$
当$1-x=0.7$时，解得$x=0.3=30\%$；
当$1-x=-0.7$时，解得$x=1.7$，不符合降价率小于1的实际意义，故舍去。
【答案】
30%
【知识点】
一元二次方程的应用，平均变化率问题
【点评】
本题属于平均变化率类基础应用题，解题核心是理清两次降价前后的价格关系，正确列出方程，同时要注意结合实际情况对求得的根进行取舍，避免出现不符合常识的结果。
【难度系数】
0.8
这是一道平均降价率的应用题，解题思路如下：1. 设平均每次降价的百分率为x，明确降价率的计算规则：每次降价后价格=降价前价格×(1-降价率)；2. 第一次降价后价格为200(1-x)元，第二次是在第一次降价后的价格基础上再降价，因此两次降价后价格为$200(1-x)^2$元；3. 结合题目给出的现价98元列出一元二次方程求解，最后根据降价率的实际意义（0＜x＜1）舍去不符合题意的根，即可得到结果。
【解析】
解：设该种药品平均每次降价的百分率为$ x $，根据题意列方程：
$200(1-x)^2 = 98$
两边同时除以200，得：
$(1-x)^2 = 0.49$
开平方，得：
$1-x = \pm 0.7$
当$1-x=0.7$时，解得$x=0.3=30\%$；
当$1-x=-0.7$时，解得$x=1.7$，不符合降价率小于1的实际意义，故舍去。
【答案】
30%
【知识点】
一元二次方程的应用，平均变化率问题
【点评】
本题属于平均变化率类基础应用题，解题核心是理清两次降价前后的价格关系，正确列出方程，同时要注意结合实际情况对求得的根进行取舍，避免出现不符合常识的结果。
【难度系数】
0.8
9. “出门戴头盔，放心平安归”. 某商店统计了某品牌头盔的销售量，九月份售出300个，十一月份售出507个，且从九月份到十一月份销量的月增长率相同. 求该品牌头盔销售量的月增长率.
答案
9. 解 设该品牌头盔销售量的月增长率为 $x$. 根据题意得 $300(1+x)^2=507.$ 解得 $x_1=0.3=30\%$，$x_2=-2.3$（不符合题意，舍去）.
所以该品牌头盔销售量的月增长率为 $30\%$.
所以该品牌头盔销售量的月增长率为 $30\%$.
解析
【分析】
这是典型的增长率类应用题，解题思路如下：1. 回忆增长率问题的基本数量关系：若初始量为a，月增长率为x，经过n个月后的量为$a(1+x)^n$；2. 本题中初始量是九月份销量300个，从九月到十一月共经过2个月，最终销量为507个，据此可列出关于x的一元二次方程；3. 解方程后，增长率不能为负数，需舍去不符合实际意义的根，即可得到正确结果。
【解析】
设该品牌头盔销售量的月增长率为$x$.
根据题意得：
$300(1+x)^2=507$
方程两边同时除以300，得：
$(1+x)^2=1.69$
开平方，得：
$1+x=\pm1.3$
解得：$x_1=0.3=30\%$，$x_2=-2.3$
因为增长率为正数，所以$x_2=-2.3$不符合题意，舍去。
【答案】
$30\%$
【知识点】
一元二次方程的应用；增长率问题
【点评】
本题是实际场景与一元二次方程结合的基础题，解题核心是找准等量关系列方程，同时要注意求解出的根要结合实际场景检验，舍去不符合常理的根。
【难度系数】
0.8
这是典型的增长率类应用题，解题思路如下：1. 回忆增长率问题的基本数量关系：若初始量为a，月增长率为x，经过n个月后的量为$a(1+x)^n$；2. 本题中初始量是九月份销量300个，从九月到十一月共经过2个月，最终销量为507个，据此可列出关于x的一元二次方程；3. 解方程后，增长率不能为负数，需舍去不符合实际意义的根，即可得到正确结果。
【解析】
设该品牌头盔销售量的月增长率为$x$.
根据题意得：
$300(1+x)^2=507$
方程两边同时除以300，得：
$(1+x)^2=1.69$
开平方，得：
$1+x=\pm1.3$
解得：$x_1=0.3=30\%$，$x_2=-2.3$
因为增长率为正数，所以$x_2=-2.3$不符合题意，舍去。
【答案】
$30\%$
【知识点】
一元二次方程的应用；增长率问题
【点评】
本题是实际场景与一元二次方程结合的基础题，解题核心是找准等量关系列方程，同时要注意求解出的根要结合实际场景检验，舍去不符合常理的根。
【难度系数】
0.8
