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10. 某商店经销一种成本为20元/个的商品，当售价为30元/个时，每月可售出1 000个. 根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；每降价1元，则每月多售出100个. 要使月利润为9 600元，该商品的售价定为（
A.32元/个
B.28元/个
C.32元/个或36元/个
D.32元/个或28元/个
D
）A.32元/个
B.28元/个
C.32元/个或36元/个
D.32元/个或28元/个
答案
10. D
解析
【分析】
本题属于销售利润类应用题，解题核心是抓住“月总利润=单个商品利润×月销售量”的等量关系。首先设商品售价为x元/个，先表示出单个商品的利润为（x-20）元；再根据售价和30元的差价表示销售量：售价每和30元相差1元，销售量对应变化100个，统一化简后销售量为(4000-100x)个；最后根据总利润为9600元列一元二次方程求解即可，注意验证解是否符合实际情况。
【解析】
设该商品的售价为x元/个，依题意得：
单个商品的利润为：$(x-20)$元
月销售量为：$1000 - 100|x-30|$，化简后为$(4000 - 100x)$个
根据月总利润为9600元列方程：
$(x-20)(4000 - 100x) = 9600$
方程两边同时除以100，整理得：
$(x-20)(40 - x) = 96$
展开并移项整理为标准一元二次方程形式：
$x^2 - 60x + 896 = 0$
因式分解得：
$(x - 28)(x - 32) = 0$
解得：$x_1=28$，$x_2=32$
经检验，28元/个（降价情况）和32元/个（涨价情况）均符合市场销售实际，因此两个售价都成立。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用；销售利润计算
【点评】
本题是典型的销售利润类应用题，解题的关键是找准总利润的等量关系，准确用含未知数的式子表示出销售量，列方程求解后要注意检验解是否符合实际场景，避免漏解或增解。
【难度系数】
0.7
本题属于销售利润类应用题，解题核心是抓住“月总利润=单个商品利润×月销售量”的等量关系。首先设商品售价为x元/个，先表示出单个商品的利润为（x-20）元；再根据售价和30元的差价表示销售量：售价每和30元相差1元，销售量对应变化100个，统一化简后销售量为(4000-100x)个；最后根据总利润为9600元列一元二次方程求解即可，注意验证解是否符合实际情况。
【解析】
设该商品的售价为x元/个，依题意得：
单个商品的利润为：$(x-20)$元
月销售量为：$1000 - 100|x-30|$，化简后为$(4000 - 100x)$个
根据月总利润为9600元列方程：
$(x-20)(4000 - 100x) = 9600$
方程两边同时除以100，整理得：
$(x-20)(40 - x) = 96$
展开并移项整理为标准一元二次方程形式：
$x^2 - 60x + 896 = 0$
因式分解得：
$(x - 28)(x - 32) = 0$
解得：$x_1=28$，$x_2=32$
经检验，28元/个（降价情况）和32元/个（涨价情况）均符合市场销售实际，因此两个售价都成立。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用；销售利润计算
【点评】
本题是典型的销售利润类应用题，解题的关键是找准总利润的等量关系，准确用含未知数的式子表示出销售量，列方程求解后要注意检验解是否符合实际场景，避免漏解或增解。
【难度系数】
0.7
11. 已知一个两位数的十位数字比个位数字大2，两个数字的积比这个两位数小34，求这个两位数.
答案
11. 42 或 97
解析
【分析】
遇到两位数的数字问题，首先回忆两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字。本题已知十位数字和个位数字的大小关系，以及数字积与两位数的等量关系，我们可以先设个位数字为未知数，用含未知数的式子表示十位数字和整个两位数，再根据“两个数字的积比这个两位数小34”列方程，求解后检验解是否符合数字的实际取值范围（个位、十位均为0~9的整数，十位不为0），最后得到对应的两位数即可。
【解析】
解：设这个两位数的个位数字为$x$，则十位数字为$x+2$（$x$为整数，且$0≤ x≤7$，因十位数字最大为9，故$x+2≤9$）。
这个两位数可表示为：$10(x+2)+x=11x+20$
两个数字的积为：$x(x+2)$
根据题意列方程：
$\begin{aligned}x(x+2)&=(11x+20)-34\\x^2+2x&=11x-14\\x^2-9x+14&=0\\(x-2)(x-7)&=0\end{aligned}$
解得$x_1=2$，$x_2=7$，均符合取值要求。
当$x=2$时，十位数字为$2+2=4$，两位数为42；
当$x=7$时，十位数字为$7+2=9$，两位数为97。
【答案】
42 或 97
【知识点】
一元二次方程的应用、两位数的表示、一元二次方程的解法
【点评】
本题是典型的数字类方程应用问题，解题关键是掌握两位数的表示方法，找准题干中的等量关系列方程，求解后要注意验证解是否符合数字的实际意义，避免出现不符合题意的错误结果。
【难度系数】
0.7
遇到两位数的数字问题，首先回忆两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字。本题已知十位数字和个位数字的大小关系，以及数字积与两位数的等量关系，我们可以先设个位数字为未知数，用含未知数的式子表示十位数字和整个两位数，再根据“两个数字的积比这个两位数小34”列方程，求解后检验解是否符合数字的实际取值范围（个位、十位均为0~9的整数，十位不为0），最后得到对应的两位数即可。
【解析】
解：设这个两位数的个位数字为$x$，则十位数字为$x+2$（$x$为整数，且$0≤ x≤7$，因十位数字最大为9，故$x+2≤9$）。
这个两位数可表示为：$10(x+2)+x=11x+20$
两个数字的积为：$x(x+2)$
根据题意列方程：
$\begin{aligned}x(x+2)&=(11x+20)-34\\x^2+2x&=11x-14\\x^2-9x+14&=0\\(x-2)(x-7)&=0\end{aligned}$
解得$x_1=2$，$x_2=7$，均符合取值要求。
当$x=2$时，十位数字为$2+2=4$，两位数为42；
当$x=7$时，十位数字为$7+2=9$，两位数为97。
【答案】
42 或 97
【知识点】
一元二次方程的应用、两位数的表示、一元二次方程的解法
【点评】
本题是典型的数字类方程应用问题，解题关键是掌握两位数的表示方法，找准题干中的等量关系列方程，求解后要注意验证解是否符合数字的实际意义，避免出现不符合题意的错误结果。
【难度系数】
0.7
12. 如图，在矩形ABCD中，$AB=10\ \mathrm{cm}$，$BC=12\ \mathrm{cm}$，动点P从点A开始沿边AB向终点B以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度运动，同时，动点Q从点B开始沿边BC向终点C以$4\ \mathrm{cm/s}$的速度运动，当点Q运动到点C时，两点停止运动。设运动时间为$t\ \mathrm{s}$。
（1）用含$t$的代数式表示：$BQ=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$，$PB=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$；
（2）当$t$为何值时，$PQ$的长度等于$4\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$？
（1）用含$t$的代数式表示：$BQ=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$，$PB=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$；
（2）当$t$为何值时，$PQ$的长度等于$4\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$？
答案
12. （1）4t （10−2t）
（2）因为四边形ABCD是矩形，所以$∠B=90°$. 所以 $BQ^2 + PB^2 = PQ^2$，即 $(4t)^2 + (10-2t)^2 = (4\sqrt{10})^2$.
整理得 $t^2 -2t -3=0$，即 $(t+1)(t-3)=0$，
解得 $t_1=-1$（舍去），$t_2=3$.
所以当 $t=3$ 时，$PQ=4\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$.
（2）因为四边形ABCD是矩形，所以$∠B=90°$. 所以 $BQ^2 + PB^2 = PQ^2$，即 $(4t)^2 + (10-2t)^2 = (4\sqrt{10})^2$.
整理得 $t^2 -2t -3=0$，即 $(t+1)(t-3)=0$，
解得 $t_1=-1$（舍去），$t_2=3$.
所以当 $t=3$ 时，$PQ=4\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
（1）解决动点类线段表示问题，核心依据是“路程=速度×运动时间”：点Q从点B出发，运动速度为4cm/s，因此BQ的长度直接用速度乘时间即可得到；点P从点A出发，运动速度为2cm/s，可先求出AP的长度，再用AB的总长度减去AP的长度得到PB的长度，同时注意运动时间t的取值范围为0≤t≤3（点Q到达点C时停止运动）。
（2）已知矩形的内角为直角，因此△PBQ是直角三角形，已知三边的表达式，可直接用勾股定理建立关于t的一元二次方程，解方程后舍去时间为负的不符合实际意义的解，即可得到所求的t值。
【解析】
（1）
∵点Q的运动速度为4cm/s，运动时间为t s，
∴$BQ=4× t=4t\ \mathrm{cm}$；
∵点P的运动速度为2cm/s，运动时间为t s，
∴$AP=2× t=2t\ \mathrm{cm}$，
又
∵$AB=10\ \mathrm{cm}$，
∴$PB=AB-AP=10-2t\ \mathrm{cm}$。
（2）
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠ B=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ PBQ$中，由勾股定理得：$PB^2+BQ^2=PQ^2$，
将$PB=10-2t$，$BQ=4t$，$PQ=4\sqrt{10}$代入等式得：
$(4t)^2 + (10-2t)^2 = (4\sqrt{10})^2$
展开整理得：$16t^2+100-40t+4t^2=160$，
化简得：$t^2-2t-3=0$，
因式分解得：$(t-3)(t+1)=0$，
解得$t_1=3$，$t_2=-1$。
∵运动时间$t≥0$，
∴$t=-1$不符合实际意义，舍去。
【答案】
（1）$\boldsymbol{4t}$；$\boldsymbol{10-2t}$
（2）当$\boldsymbol{t=3}$时，$PQ$的长度等于$4\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
动点线段表示、勾股定理、一元二次方程求解
【点评】
本题属于动态几何的基础题型，重点考查将动态运动转化为静态代数式的能力，以及结合几何性质列方程求解的思路，解题时要注意验证方程的解是否符合实际运动的限制条件。
【难度系数】
0.7
（1）解决动点类线段表示问题，核心依据是“路程=速度×运动时间”：点Q从点B出发，运动速度为4cm/s，因此BQ的长度直接用速度乘时间即可得到；点P从点A出发，运动速度为2cm/s，可先求出AP的长度，再用AB的总长度减去AP的长度得到PB的长度，同时注意运动时间t的取值范围为0≤t≤3（点Q到达点C时停止运动）。
（2）已知矩形的内角为直角，因此△PBQ是直角三角形，已知三边的表达式，可直接用勾股定理建立关于t的一元二次方程，解方程后舍去时间为负的不符合实际意义的解，即可得到所求的t值。
【解析】
（1）
∵点Q的运动速度为4cm/s，运动时间为t s，
∴$BQ=4× t=4t\ \mathrm{cm}$；
∵点P的运动速度为2cm/s，运动时间为t s，
∴$AP=2× t=2t\ \mathrm{cm}$，
又
∵$AB=10\ \mathrm{cm}$，
∴$PB=AB-AP=10-2t\ \mathrm{cm}$。
（2）
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠ B=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ PBQ$中，由勾股定理得：$PB^2+BQ^2=PQ^2$，
将$PB=10-2t$，$BQ=4t$，$PQ=4\sqrt{10}$代入等式得：
$(4t)^2 + (10-2t)^2 = (4\sqrt{10})^2$
展开整理得：$16t^2+100-40t+4t^2=160$，
化简得：$t^2-2t-3=0$，
因式分解得：$(t-3)(t+1)=0$，
解得$t_1=3$，$t_2=-1$。
∵运动时间$t≥0$，
∴$t=-1$不符合实际意义，舍去。
【答案】
（1）$\boldsymbol{4t}$；$\boldsymbol{10-2t}$
（2）当$\boldsymbol{t=3}$时，$PQ$的长度等于$4\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
动点线段表示、勾股定理、一元二次方程求解
【点评】
本题属于动态几何的基础题型，重点考查将动态运动转化为静态代数式的能力，以及结合几何性质列方程求解的思路，解题时要注意验证方程的解是否符合实际运动的限制条件。
【难度系数】
0.7
