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1.为进行某项数学综合与实践活动，小明到一家批发兼零售的商店购买所需工具.该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款.如果小明给学校八年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需付3 600元；如果多购买60个，则可以按批发价付款，同样需付3 600元.若按批发价购买60个工具与按零售价购买50个工具所付的钱数相同，这个学校八年级有多少名学生？
答案
1. 解:设这个学校八年级有x名学生.根据题意,得$\frac{3600}{x}×50=\frac{3600}{x+60}×60$,解得$x=300$.经检验,$x=300$是所列分式方程的解,且符合题意.答:这个学校八年级有300名学生.
解析
【分析】
这是一道分式方程的实际应用问题，解题核心是找准等量关系。首先明确题中给出的关键等量关系：按批发价购买60个工具的总费用 = 按零售价购买50个工具的总费用。接下来我们需要分别表示出单个工具的零售价和批发价：设八年级学生人数为x，按零售价给x名学生各买1个共花3600元，因此单个零售价为$\frac{3600}{x}$；多买60个可按批发价付款共3600元，此时购买数量为$x+60$，因此单个批发价为$\frac{3600}{x+60}$。代入等量关系列方程求解即可，注意分式方程解完后需要双重检验，既要验证是方程的解，也要验证是否符合实际意义。
【解析】
解：设这个学校八年级有x名学生。
根据题意列方程：
$\frac{3600}{x}×50=\frac{3600}{x+60}×60$
约去3600后可得：$\frac{50}{x}=\frac{60}{x+60}$
交叉相乘得：$50(x+60)=60x$
展开移项计算得：$10x=3000$，解得$x=300$。
检验：当$x=300$时，$x(x+60)=300×360≠0$，因此$x=300$是原分式方程的解，且符合题设的购买规则，符合实际意义。
答：这个学校八年级有300名学生。
【答案】
300名
【知识点】
分式方程应用；等量关系寻找；分式方程检验
【点评】
本题属于典型的消费类分式方程应用题，解题关键是理清总价、单价、数量三者的关系，抓住题中给出的费用等量关系列方程，需注意分式方程求解后必须进行双重检验，避免出现增根或不符合实际情境的解。
【难度系数】
0.7
这是一道分式方程的实际应用问题，解题核心是找准等量关系。首先明确题中给出的关键等量关系：按批发价购买60个工具的总费用 = 按零售价购买50个工具的总费用。接下来我们需要分别表示出单个工具的零售价和批发价：设八年级学生人数为x，按零售价给x名学生各买1个共花3600元，因此单个零售价为$\frac{3600}{x}$；多买60个可按批发价付款共3600元，此时购买数量为$x+60$，因此单个批发价为$\frac{3600}{x+60}$。代入等量关系列方程求解即可，注意分式方程解完后需要双重检验，既要验证是方程的解，也要验证是否符合实际意义。
【解析】
解：设这个学校八年级有x名学生。
根据题意列方程：
$\frac{3600}{x}×50=\frac{3600}{x+60}×60$
约去3600后可得：$\frac{50}{x}=\frac{60}{x+60}$
交叉相乘得：$50(x+60)=60x$
展开移项计算得：$10x=3000$，解得$x=300$。
检验：当$x=300$时，$x(x+60)=300×360≠0$，因此$x=300$是原分式方程的解，且符合题设的购买规则，符合实际意义。
答：这个学校八年级有300名学生。
【答案】
300名
【知识点】
分式方程应用；等量关系寻找；分式方程检验
【点评】
本题属于典型的消费类分式方程应用题，解题关键是理清总价、单价、数量三者的关系，抓住题中给出的费用等量关系列方程，需注意分式方程求解后必须进行双重检验，避免出现增根或不符合实际情境的解。
【难度系数】
0.7
2.某校开展了主题为“粽叶飘香，自包米粽，共度端午，互赠祝福”的活动，让学生亲身体验包粽子.学校决定用1 800元购进包粽子的两种馅，腊肉丁馅和绿豆花生馅.已知用来购买两种馅的费用一样，共包粽子1 100个，每个腊肉丁馅粽子比绿豆花生馅粽子的成本价高20%，求每个腊肉丁馅粽子的成本价.
答案
2. 解:$1800÷2=900$(元).设每个绿豆花生馅粽子的成本价是x元,则每个腊肉丁馅粽子的成本价是$(1+20\%)x$元.根据题意,得$\frac{900}{(1+20\%)x}+\frac{900}{x}=1100$,解得$x=1.5$.经检验,$x=1.5$是所列方程的解,且符合题意.$\therefore (1+20\%)x=1.8$.答:每个腊肉丁馅粽子的成本价是1.8元.
解析
【分析】
解题时先从已知条件切入，首先总购馅费用为1800元，且两种馅的花费相同，可先算出每种馅的总费用均为900元。本题要求腊肉丁馅粽子的成本价，可先设绿豆花生馅粽子的成本价为x元，根据“腊肉丁馅粽子成本比绿豆花生馅高20%”的条件，就能表示出腊肉丁馅粽子的成本价。再结合“数量=总价÷单价”的关系分别表示出两种粽子的数量，以“两种粽子总数量为1100个”为等量关系列出分式方程，求解后必须检验解是否为原方程的解且符合实际意义，最后换算得到腊肉丁馅粽子的成本价即可。
【解析】
首先计算每种馅的总费用：$1800÷2=900$（元）
设每个绿豆花生馅粽子的成本价是$x$元，则每个腊肉丁馅粽子的成本价是$(1+20\%)x$元。
根据两种粽子总数量为1100个，列方程得：
$\frac{900}{(1+20\%)x}+\frac{900}{x}=1100$
解方程：
化简得$\frac{750}{x}+\frac{900}{x}=1100$，即$\frac{1650}{x}=1100$，解得$x=1.5$。
检验：当$x=1.5$时，分母$(1+20\%)x=1.8≠0$，$x=1.5≠0$，所以$x=1.5$是原分式方程的解，且符合实际题意。
则每个腊肉丁馅粽子的成本价为：$(1+20\%)×1.5=1.8$（元）
【答案】
每个腊肉丁馅粽子的成本价是1.8元。
【知识点】
分式方程的应用，分式方程的检验，单价数量总价关系
【点评】
本题是分式方程实际应用的典型题型，解题核心是找准等量关系，同时要注意分式方程求解后必须检验解是否满足分母不为0，且符合实际问题的要求。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件切入，首先总购馅费用为1800元，且两种馅的花费相同，可先算出每种馅的总费用均为900元。本题要求腊肉丁馅粽子的成本价，可先设绿豆花生馅粽子的成本价为x元，根据“腊肉丁馅粽子成本比绿豆花生馅高20%”的条件，就能表示出腊肉丁馅粽子的成本价。再结合“数量=总价÷单价”的关系分别表示出两种粽子的数量，以“两种粽子总数量为1100个”为等量关系列出分式方程，求解后必须检验解是否为原方程的解且符合实际意义，最后换算得到腊肉丁馅粽子的成本价即可。
【解析】
首先计算每种馅的总费用：$1800÷2=900$（元）
设每个绿豆花生馅粽子的成本价是$x$元，则每个腊肉丁馅粽子的成本价是$(1+20\%)x$元。
根据两种粽子总数量为1100个，列方程得：
$\frac{900}{(1+20\%)x}+\frac{900}{x}=1100$
解方程：
化简得$\frac{750}{x}+\frac{900}{x}=1100$，即$\frac{1650}{x}=1100$，解得$x=1.5$。
检验：当$x=1.5$时，分母$(1+20\%)x=1.8≠0$，$x=1.5≠0$，所以$x=1.5$是原分式方程的解，且符合实际题意。
则每个腊肉丁馅粽子的成本价为：$(1+20\%)×1.5=1.8$（元）
【答案】
每个腊肉丁馅粽子的成本价是1.8元。
【知识点】
分式方程的应用，分式方程的检验，单价数量总价关系
【点评】
本题是分式方程实际应用的典型题型，解题核心是找准等量关系，同时要注意分式方程求解后必须检验解是否满足分母不为0，且符合实际问题的要求。
【难度系数】
0.7
3. 某经营者购进了 A 型和 B 型两种玩具，已知用 520 元购进 A 型玩具的数量比用 175 元购进 B 型玩具的数量多 30 个，且 A 型玩具的单价是 B 型玩具单价的 1.6 倍.
(1)求两种型号玩具的单价.
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：
甲：$\frac{520}{1.6x} = \frac{175}{x} + 30$，解得 $x=5$.
经检验，$x=5$ 是原方程的解.
乙：$\frac{520}{x} = 1.6 × \frac{175}{x-30}$，解得 $x=65$.
经检验，$x=65$ 是原方程的解.
甲所列方程中的 $x$ 表示
乙所列方程中的 $x$ 表示
(2)该经营者准备用 1 350 元以原单价再次购进这两种型号的玩具共 200 个，则最多可购进多少个 A 型玩具？
(1)求两种型号玩具的单价.
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：
甲：$\frac{520}{1.6x} = \frac{175}{x} + 30$，解得 $x=5$.
经检验，$x=5$ 是原方程的解.
乙：$\frac{520}{x} = 1.6 × \frac{175}{x-30}$，解得 $x=65$.
经检验，$x=65$ 是原方程的解.
甲所列方程中的 $x$ 表示
B型玩具的单价
，乙所列方程中的 $x$ 表示
购进A型玩具的数量
；(2)该经营者准备用 1 350 元以原单价再次购进这两种型号的玩具共 200 个，则最多可购进多少个 A 型玩具？
答案
3. (1) B型玩具的单价 购进A型玩具的数量 (2) 由(1),得A型玩具的单价为8元,B型玩具的单价为5元.设可购进a个A型玩具.根据题意,得$8a+5(200-a)≤1350$,解得$a≤116\frac{2}{3}$.$\therefore$整数a的最大值是116.答:最多可购进116个A型玩具.
解析
【分析】
(1) 判断方程中未知数的意义需结合等量关系“总价÷单价=数量”分析：甲的方程左右两边均表示购进玩具的数量，1.6x对应A型玩具的单价，因此x为B型玩具的单价；乙的方程左右两边均表示玩具的单价，x对应购进A型玩具的数量，x-30对应购进B型玩具的数量，符合“A型数量比B型多30个”的条件。
(2) 第二问为最值问题，先由第一问结论得到A、B型玩具的单价，再设购进A型玩具的数量为未知数，用总数量表示B型玩具的数量，结合总费用不超过1350元列一元一次不等式，求解后根据玩具数量为正整数取最大值即可。
【解析】
(1) 甲的方程中，$\frac{520}{1.6x}$是购进A型玩具的数量，$\frac{175}{x}$是购进B型玩具的数量，根据“总价÷单价=数量”可得，x表示B型玩具的单价；
乙的方程中，$\frac{520}{x}$是A型玩具的单价，$\frac{175}{x-30}$是B型玩具的单价，符合“A型单价是B型的1.6倍”的关系，因此x表示购进A型玩具的数量。
(2) 由(1)可知B型玩具单价为5元，A型玩具单价为$1.6×5=8$元。
设可购进a个A型玩具，则购进B型玩具$(200-a)$个，根据总费用不超过1350元列不等式：
$8a+5(200-a)≤1350$
去括号得：$8a+1000-5a≤1350$
合并同类项得：$3a≤350$
解得：$a≤116\frac{2}{3}$
由于玩具数量为正整数，因此整数a的最大值为116。
【答案】
(1) B型玩具的单价；购进A型玩具的数量
(2) 最多可购进116个A型玩具
【知识点】
分式方程实际应用；一元一次不等式应用；不等式整数解求解
【点评】
本题结合了分式方程与一元一次不等式的实际应用，第一问考查对不同设元思路下等量关系的理解，能帮助学生理清列方程的逻辑；第二问的易错点是忽略实际问题中未知数需取整数，解题时要注意对解的结果进行符合现实意义的取舍。
【难度系数】
0.7
(1) 判断方程中未知数的意义需结合等量关系“总价÷单价=数量”分析：甲的方程左右两边均表示购进玩具的数量，1.6x对应A型玩具的单价，因此x为B型玩具的单价；乙的方程左右两边均表示玩具的单价，x对应购进A型玩具的数量，x-30对应购进B型玩具的数量，符合“A型数量比B型多30个”的条件。
(2) 第二问为最值问题，先由第一问结论得到A、B型玩具的单价，再设购进A型玩具的数量为未知数，用总数量表示B型玩具的数量，结合总费用不超过1350元列一元一次不等式，求解后根据玩具数量为正整数取最大值即可。
【解析】
(1) 甲的方程中，$\frac{520}{1.6x}$是购进A型玩具的数量，$\frac{175}{x}$是购进B型玩具的数量，根据“总价÷单价=数量”可得，x表示B型玩具的单价；
乙的方程中，$\frac{520}{x}$是A型玩具的单价，$\frac{175}{x-30}$是B型玩具的单价，符合“A型单价是B型的1.6倍”的关系，因此x表示购进A型玩具的数量。
(2) 由(1)可知B型玩具单价为5元，A型玩具单价为$1.6×5=8$元。
设可购进a个A型玩具，则购进B型玩具$(200-a)$个，根据总费用不超过1350元列不等式：
$8a+5(200-a)≤1350$
去括号得：$8a+1000-5a≤1350$
合并同类项得：$3a≤350$
解得：$a≤116\frac{2}{3}$
由于玩具数量为正整数，因此整数a的最大值为116。
【答案】
(1) B型玩具的单价；购进A型玩具的数量
(2) 最多可购进116个A型玩具
【知识点】
分式方程实际应用；一元一次不等式应用；不等式整数解求解
【点评】
本题结合了分式方程与一元一次不等式的实际应用，第一问考查对不同设元思路下等量关系的理解，能帮助学生理清列方程的逻辑；第二问的易错点是忽略实际问题中未知数需取整数，解题时要注意对解的结果进行符合现实意义的取舍。
【难度系数】
0.7
