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4.磁悬浮列车是一种靠电磁力使列车悬浮并利用电磁力来推动的列车，磁悬浮列车的建设是我国交通发展史上的一次精彩跨越.A，B两站之间的距离为 30 km，其间运行的磁悬浮列车的平均速度是地铁的 6.25 倍，且从 A 地到 B 地乘坐磁悬浮列车所用的时间比乘坐地铁所用的时间少$\frac{7}{10}$h，求该磁悬浮列车的平均速度.
答案
4. 解:设地铁的平均速度为x km/h,则磁悬浮列车的平均速度为6.25x km/h.根据题意,得$\frac{30}{x}-\frac{30}{6.25x}=\frac{7}{10}$,解得$x=36$.经检验,$x=36$是所列分式方程的解,且符合题意.$\therefore 6.25x=225$.答:磁悬浮列车的平均速度为225 km/h.
解析
【分析】
本题属于行程类分式方程应用题，解题核心依据是“时间=路程÷速度”的行程公式。首先设较小的未知量地铁的平均速度为x km/h，即可表示出磁悬浮列车的平均速度为6.25x km/h；再根据“乘坐磁悬浮列车的时间比地铁少$\frac{7}{10}$h”的等量关系，用路程除以各自速度表示出两种交通方式的行驶时间，列出差值为$\frac{7}{10}$的分式方程；求解后先检验解是否为原方程的有效根、是否符合实际意义，最后代入计算磁悬浮列车的速度即可。
【解析】
解：设地铁的平均速度为$x$ km/h，则磁悬浮列车的平均速度为$6.25x$ km/h。
根据题意列方程：
$\frac{30}{x}-\frac{30}{6.25x}=\frac{7}{10}$
化简求解：
$\frac{30×6.25 - 30}{6.25x}=\frac{7}{10}$
$\frac{157.5}{6.25x}=\frac{7}{10}$
交叉相乘得：$43.75x=1575$
解得$x=36$
经检验，$x=36$时分母不为0，是原分式方程的解，且符合实际意义。
因此磁悬浮列车的平均速度为：$6.25x=6.25×36=225$（km/h）
答：该磁悬浮列车的平均速度为225 km/h。
【答案】
225 km/h
【知识点】
分式方程的实际应用，行程问题等量关系，分式方程的检验
【点评】
本题是典型的行程类分式方程基础应用题，解题关键是找准时间差的等量关系列方程，需注意解分式方程后要进行双重检验，既要验证解是否为原方程的根，也要验证是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
本题属于行程类分式方程应用题，解题核心依据是“时间=路程÷速度”的行程公式。首先设较小的未知量地铁的平均速度为x km/h，即可表示出磁悬浮列车的平均速度为6.25x km/h；再根据“乘坐磁悬浮列车的时间比地铁少$\frac{7}{10}$h”的等量关系，用路程除以各自速度表示出两种交通方式的行驶时间，列出差值为$\frac{7}{10}$的分式方程；求解后先检验解是否为原方程的有效根、是否符合实际意义，最后代入计算磁悬浮列车的速度即可。
【解析】
解：设地铁的平均速度为$x$ km/h，则磁悬浮列车的平均速度为$6.25x$ km/h。
根据题意列方程：
$\frac{30}{x}-\frac{30}{6.25x}=\frac{7}{10}$
化简求解：
$\frac{30×6.25 - 30}{6.25x}=\frac{7}{10}$
$\frac{157.5}{6.25x}=\frac{7}{10}$
交叉相乘得：$43.75x=1575$
解得$x=36$
经检验，$x=36$时分母不为0，是原分式方程的解，且符合实际意义。
因此磁悬浮列车的平均速度为：$6.25x=6.25×36=225$（km/h）
答：该磁悬浮列车的平均速度为225 km/h。
【答案】
225 km/h
【知识点】
分式方程的实际应用，行程问题等量关系，分式方程的检验
【点评】
本题是典型的行程类分式方程基础应用题，解题关键是找准时间差的等量关系列方程，需注意解分式方程后要进行双重检验，既要验证解是否为原方程的根，也要验证是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
5.为了美化环境，某地政府计划对辖区内$60\ \mathrm{km}^2$的土地进行绿化.为了尽快完成任务，实际平均每月进行绿化的面积是原计划的1.5倍，结果提前2个月完成任务，求原计划平均每月进行绿化的面积.
甲同学所列的方程为$\frac{60}{x} - \frac{60}{1.5x} = 2$；
乙同学所列的方程为$\frac{60}{y} = 1.5 × \frac{60}{y+2}$.
(1)甲同学所列方程中的$x$表示________，乙同学所列方程中的$y$表示________；
(2)请用甲同学的方法解答这个题目.
甲同学所列的方程为$\frac{60}{x} - \frac{60}{1.5x} = 2$；
乙同学所列的方程为$\frac{60}{y} = 1.5 × \frac{60}{y+2}$.
(1)甲同学所列方程中的$x$表示________，乙同学所列方程中的$y$表示________；
(2)请用甲同学的方法解答这个题目.
答案
5. (1) 原计划平均每月进行绿化的面积 实际完成这项工程需要的月数 (2) 解方程$\frac{60}{x}-\frac{60}{1.5x}=2$,得$x=10$.经检验,$x=10$是所列分式方程的解,且符合题意.答:原计划平均每月进行绿化的面积是$10\ \mathrm{km}^2$.
解析
【分析】
(1) 要判断方程中未知数的含义，需结合工程问题的等量关系分析：工作时间=工作总量÷工作效率。甲同学方程的等量关系是“原计划工作时间-实际工作时间=2个月”，$\frac{60}{x}$代表原计划总时长，$\frac{60}{1.5x}$代表实际总时长，因此x是原计划的工作效率，即原计划平均每月进行绿化的面积。乙同学方程的等量关系是“实际工作效率=1.5×原计划工作效率”，$\frac{60}{y}$代表实际工作效率，$\frac{60}{y+2}$代表原计划工作效率，因此y是实际工作总时长，即实际完成这项工程需要的月数。
(2) 用甲同学的方法解题时，遵循分式方程的求解步骤：先去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后，先检验解是否使原分式分母不为0，再判断是否符合实际题意，最终作答即可。
【解析】
(1) 结合上述分析可得，甲同学所列方程中的x表示原计划平均每月进行绿化的面积，乙同学所列方程中的y表示实际完成这项工程需要的月数。
(2) 解方程$\frac{60}{x} - \frac{60}{1.5x} = 2$：
① 去分母：方程两边同时乘以最简公分母$1.5x$（$x≠0$），得$60×1.5 - 60 = 2×1.5x$；
② 计算化简：左边计算得$90 - 60 = 30$，右边计算得$3x$，即$3x = 30$；
③ 求解整式方程：系数化为1，得$x = 10$；
④ 检验：当$x = 10$时，$1.5x = 15 ≠ 0$，因此$x = 10$是原分式方程的解，且每月绿化面积为正数，符合实际题意。
答：原计划平均每月进行绿化的面积是$10\ \mathrm{km}^2$。
【答案】
(1) 原计划平均每月进行绿化的面积；实际完成这项工程需要的月数
(2) 原计划平均每月进行绿化的面积是$10\ \mathrm{km}^2$
【知识点】
分式方程的实际应用；分式方程的解法
【点评】
本题以工程绿化为背景考查分式方程的应用，解题关键是找准等量关系，注意求解分式方程后必须双重检验，既要保证解符合方程要求，也要符合实际场景的逻辑。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断方程中未知数的含义，需结合工程问题的等量关系分析：工作时间=工作总量÷工作效率。甲同学方程的等量关系是“原计划工作时间-实际工作时间=2个月”，$\frac{60}{x}$代表原计划总时长，$\frac{60}{1.5x}$代表实际总时长，因此x是原计划的工作效率，即原计划平均每月进行绿化的面积。乙同学方程的等量关系是“实际工作效率=1.5×原计划工作效率”，$\frac{60}{y}$代表实际工作效率，$\frac{60}{y+2}$代表原计划工作效率，因此y是实际工作总时长，即实际完成这项工程需要的月数。
(2) 用甲同学的方法解题时，遵循分式方程的求解步骤：先去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后，先检验解是否使原分式分母不为0，再判断是否符合实际题意，最终作答即可。
【解析】
(1) 结合上述分析可得，甲同学所列方程中的x表示原计划平均每月进行绿化的面积，乙同学所列方程中的y表示实际完成这项工程需要的月数。
(2) 解方程$\frac{60}{x} - \frac{60}{1.5x} = 2$：
① 去分母：方程两边同时乘以最简公分母$1.5x$（$x≠0$），得$60×1.5 - 60 = 2×1.5x$；
② 计算化简：左边计算得$90 - 60 = 30$，右边计算得$3x$，即$3x = 30$；
③ 求解整式方程：系数化为1，得$x = 10$；
④ 检验：当$x = 10$时，$1.5x = 15 ≠ 0$，因此$x = 10$是原分式方程的解，且每月绿化面积为正数，符合实际题意。
答：原计划平均每月进行绿化的面积是$10\ \mathrm{km}^2$。
【答案】
(1) 原计划平均每月进行绿化的面积；实际完成这项工程需要的月数
(2) 原计划平均每月进行绿化的面积是$10\ \mathrm{km}^2$
【知识点】
分式方程的实际应用；分式方程的解法
【点评】
本题以工程绿化为背景考查分式方程的应用，解题关键是找准等量关系，注意求解分式方程后必须双重检验，既要保证解符合方程要求，也要符合实际场景的逻辑。
【难度系数】
0.7
6.某旅游团队5月1日租住某景区A,B两种客房各一天,下面是有关信息:用6 000元租住A种客房的数量与用4 400元租住B种客房的数量相等.已知每间A种客房的价格比每间B种客房的价格多80元.
(1)求A,B两种客房每间的价格;
(2)若租住A,B两种客房共30间,A种客房的数量不低于B种客房数量的$\frac{1}{2}$,且所花总费用不高于7 600元,有哪几种租住方案?
(1)求A,B两种客房每间的价格;
(2)若租住A,B两种客房共30间,A种客房的数量不低于B种客房数量的$\frac{1}{2}$,且所花总费用不高于7 600元,有哪几种租住方案?
答案
6. 解:(1)设A种客房每间的价格是x元,则B种客房每间的价格是$(x-80)$元.根据题意,得$\frac{6000}{x}=\frac{4400}{x-80}$,解得$x=300$.经检验,$x=300$是所列分式方程的解,且符合题意.$\therefore x-80=300-80=220$(元).答:A种客房每间的价格是300元,B种客房每间的价格是220元.(2)设租住A种客房m间,则租住B种客房$(30-m)$间.根据题意,得$\begin{cases} m≥ \frac{1}{2}(30-m), \\ 300m+220(30-m)≤ 7600, \end{cases}$解得$10≤ m≤ 12.5$.$\because m$是正整数,$\therefore m=10$或11或12.$\therefore$共有3种租住方案.方案一:租住A种客房10间,B种客房20间;方案二:租住A种客房11间,B种客房19间;方案三:租住A种客房12间,B种客房18间.
解析
【分析】
（1）第一问的解题核心是抓住“6000元租住A种客房的数量与4400元租住B种客房的数量相等”这一等量关系，先设A种客房单价为x元，根据A比B贵80元表示出B的单价，再结合“数量=总价÷单价”分别表示两种客房的租住数量，列分式方程求解即可，注意分式方程必须检验根是否符合题意。
（2）第二问先设租住A种客房m间，用含m的式子表示B种客房的数量，再根据“A种客房数量不低于B种的$\frac{1}{2}$”“总费用不高于7600元”两个限制条件列一元一次不等式组，求出m的取值范围，结合m为正整数确定m的取值，对应得到租住方案。
【解析】
(1) 设A种客房每间的价格是x元，则B种客房每间的价格是$(x-80)$元。
根据题意列方程：
$\frac{6000}{x}=\frac{4400}{x-80}$
交叉相乘得$6000(x-80)=4400x$，
展开整理得$1600x=480000$，
解得$x=300$。
经检验，$x=300$是所列分式方程的解，且符合题意。
则B种客房每间价格为：$300-80=220$（元）。
(2) 设租住A种客房m间，则租住B种客房$(30-m)$间。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases} m≥ \frac{1}{2}(30-m) \\ 300m+220(30-m)≤ 7600 \end{cases}$
解第一个不等式得：$m≥10$，
解第二个不等式得：$m≤12.5$，
所以不等式组的解集为$10≤ m≤ 12.5$。
∵m是正整数，
∴m的取值为10、11、12，对应3种租住方案：
方案一：租住A种客房10间，B种客房20间；
方案二：租住A种客房11间，B种客房19间；
方案三：租住A种客房12间，B种客房18间。
【答案】
(1) A种客房每间价格为300元，B种客房每间价格为220元；
(2) 共3种租住方案：①租A客房10间，B客房20间；②租A客房11间，B客房19间；③租A客房12间，B客房18间。
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，方案设计
【点评】
本题是贴近生活的实际应用问题，综合考查分式方程和一元一次不等式组的用法，解题关键是准确提取题目中的等量关系和不等关系，需要注意分式方程要检验根的合理性，实际问题中未知数的取值要符合现实要求。
【难度系数】
0.65
（1）第一问的解题核心是抓住“6000元租住A种客房的数量与4400元租住B种客房的数量相等”这一等量关系，先设A种客房单价为x元，根据A比B贵80元表示出B的单价，再结合“数量=总价÷单价”分别表示两种客房的租住数量，列分式方程求解即可，注意分式方程必须检验根是否符合题意。
（2）第二问先设租住A种客房m间，用含m的式子表示B种客房的数量，再根据“A种客房数量不低于B种的$\frac{1}{2}$”“总费用不高于7600元”两个限制条件列一元一次不等式组，求出m的取值范围，结合m为正整数确定m的取值，对应得到租住方案。
【解析】
(1) 设A种客房每间的价格是x元，则B种客房每间的价格是$(x-80)$元。
根据题意列方程：
$\frac{6000}{x}=\frac{4400}{x-80}$
交叉相乘得$6000(x-80)=4400x$，
展开整理得$1600x=480000$，
解得$x=300$。
经检验，$x=300$是所列分式方程的解，且符合题意。
则B种客房每间价格为：$300-80=220$（元）。
(2) 设租住A种客房m间，则租住B种客房$(30-m)$间。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases} m≥ \frac{1}{2}(30-m) \\ 300m+220(30-m)≤ 7600 \end{cases}$
解第一个不等式得：$m≥10$，
解第二个不等式得：$m≤12.5$，
所以不等式组的解集为$10≤ m≤ 12.5$。
∵m是正整数，
∴m的取值为10、11、12，对应3种租住方案：
方案一：租住A种客房10间，B种客房20间；
方案二：租住A种客房11间，B种客房19间；
方案三：租住A种客房12间，B种客房18间。
【答案】
(1) A种客房每间价格为300元，B种客房每间价格为220元；
(2) 共3种租住方案：①租A客房10间，B客房20间；②租A客房11间，B客房19间；③租A客房12间，B客房18间。
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，方案设计
【点评】
本题是贴近生活的实际应用问题，综合考查分式方程和一元一次不等式组的用法，解题关键是准确提取题目中的等量关系和不等关系，需要注意分式方程要检验根的合理性，实际问题中未知数的取值要符合现实要求。
【难度系数】
0.65
