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5. 已知△ABC为等边三角形.
(1)如图①，点D，E分别在边AB，AC上，AD=CE，连接CD，BE，那么CD和BE相等吗？请说明理由.
(2)如图②，如果点D，E分别在AB，CA的延长线上，AD=CE，连接CD，BE，EB的延长线交CD于点Q.
求证：∠CQE=60°.
(1)如图①，点D，E分别在边AB，AC上，AD=CE，连接CD，BE，那么CD和BE相等吗？请说明理由.
(2)如图②，如果点D，E分别在AB，CA的延长线上，AD=CE，连接CD，BE，EB的延长线交CD于点Q.
求证：∠CQE=60°.
答案
5. (1)解：CD=BE.
理由：
∵△ABC 是等边三角形，
∴AC=CB，∠A=∠BCE=60°.
在△ADC 和△CEB 中，
∵$\begin{cases} AC=CB, \\ ∠A=∠BCE, \\ AD=CE, \end{cases}$
∴△ADC≌△CEB(SAS).
∴CD=BE.
(2)证明：
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=BC=AC.
又
∵AD=CE，
∴AD−AB=CE−AC，即DB=EA.
∵∠ABC=∠BAC，
∴180°−∠ABC=180°−∠BAC，
即∠DBC=∠EAB.
在△DBC 和△EAB 中，
∵$\begin{cases} DB=EA, \\ ∠DBC=∠EAB, \\ BC=AB, \end{cases}$
∴△DBC≌△EAB(SAS)，
∴∠BDQ=∠BEA.
∵∠DBQ=∠EBA，
∴∠DQB=∠EAB=180°−∠BAC=120°.
∴∠CQE=180°−120°=60°.
理由：
∵△ABC 是等边三角形，
∴AC=CB，∠A=∠BCE=60°.
在△ADC 和△CEB 中，
∵$\begin{cases} AC=CB, \\ ∠A=∠BCE, \\ AD=CE, \end{cases}$
∴△ADC≌△CEB(SAS).
∴CD=BE.
(2)证明：
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=BC=AC.
又
∵AD=CE，
∴AD−AB=CE−AC，即DB=EA.
∵∠ABC=∠BAC，
∴180°−∠ABC=180°−∠BAC，
即∠DBC=∠EAB.
在△DBC 和△EAB 中，
∵$\begin{cases} DB=EA, \\ ∠DBC=∠EAB, \\ BC=AB, \end{cases}$
∴△DBC≌△EAB(SAS)，
∴∠BDQ=∠BEA.
∵∠DBQ=∠EBA，
∴∠DQB=∠EAB=180°−∠BAC=120°.
∴∠CQE=180°−120°=60°.
解析
【分析】
(1) 要判断CD和BE是否相等，可通过证明两条边所在的三角形全等来推导。首先结合等边三角形性质可得AC=BC，∠A=∠BCE=60°，再结合已知AD=CE，满足SAS全等判定条件，证明△ADC和△CEB全等即可得到两条边相等的结论。
(2) 要证明∠CQE=60°，先利用等边三角形边相等的性质，结合AD=CE推导得到DB=EA，再通过补角相等得到∠DBC=∠EAB，用SAS证明△DBC和△EAB全等，得到对应角相等后，结合角的和差关系即可求出∠CQE的度数。
【解析】
(1) CD=BE，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=CB，∠A=∠BCE=60°，
在△ADC和△CEB中，
$\begin{cases} AC=CB, \\ ∠A=∠BCE, \\ AD=CE, \end{cases}$
∴△ADC≌△CEB(SAS)，
∴CD=BE。
(2) 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=60°，
∵AD=CE，
∴AD−AB=CE−AC，即DB=EA，
∵∠DBC=180°−∠ABC，∠EAB=180°−∠BAC，
∴∠DBC=∠EAB，
在△DBC和△EAB中，
$\begin{cases} DB=EA, \\ ∠DBC=∠EAB, \\ BC=AB, \end{cases}$
∴△DBC≌△EAB(SAS)，
∴∠BDQ=∠BEA，
又
∵∠DBQ=∠EBA，
∴∠DQB=∠EAB=180°−60°=120°，
∴∠CQE=180°−∠DQB=180°−120°=60°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{CD=BE}$，理由见解析；
(2) 已证得$\boldsymbol{∠CQE=60°}$。
【知识点】
1. 等边三角形的性质
2. 全等三角形的SAS判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形结合的典型几何题，解题核心是利用等边三角形的边角性质，找到全等三角形判定所需的条件，再通过全等的性质推导待证结论，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断CD和BE是否相等，可通过证明两条边所在的三角形全等来推导。首先结合等边三角形性质可得AC=BC，∠A=∠BCE=60°，再结合已知AD=CE，满足SAS全等判定条件，证明△ADC和△CEB全等即可得到两条边相等的结论。
(2) 要证明∠CQE=60°，先利用等边三角形边相等的性质，结合AD=CE推导得到DB=EA，再通过补角相等得到∠DBC=∠EAB，用SAS证明△DBC和△EAB全等，得到对应角相等后，结合角的和差关系即可求出∠CQE的度数。
【解析】
(1) CD=BE，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=CB，∠A=∠BCE=60°，
在△ADC和△CEB中，
$\begin{cases} AC=CB, \\ ∠A=∠BCE, \\ AD=CE, \end{cases}$
∴△ADC≌△CEB(SAS)，
∴CD=BE。
(2) 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=60°，
∵AD=CE，
∴AD−AB=CE−AC，即DB=EA，
∵∠DBC=180°−∠ABC，∠EAB=180°−∠BAC，
∴∠DBC=∠EAB，
在△DBC和△EAB中，
$\begin{cases} DB=EA, \\ ∠DBC=∠EAB, \\ BC=AB, \end{cases}$
∴△DBC≌△EAB(SAS)，
∴∠BDQ=∠BEA，
又
∵∠DBQ=∠EBA，
∴∠DQB=∠EAB=180°−60°=120°，
∴∠CQE=180°−∠DQB=180°−120°=60°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{CD=BE}$，理由见解析；
(2) 已证得$\boldsymbol{∠CQE=60°}$。
【知识点】
1. 等边三角形的性质
2. 全等三角形的SAS判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形结合的典型几何题，解题核心是利用等边三角形的边角性质，找到全等三角形判定所需的条件，再通过全等的性质推导待证结论，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
6. 如图，将两根钢条$AA'$和$BB'$的中点$O$连在一起，使钢条可以绕点$O$自由转动，就可做成测量工件内槽宽度的工具(卡钳). 只要量出$A'B'$的长，就可得出工件内槽的宽$AB$. 这是依据什么原理呢？
答案
6. 解：
∵O 是AA'，BB'的中点，
∴AO=A'O，BO=B'O.
在△OAB 和△OA'B'中，
∵$\begin{cases} AO=A'O, \\ ∠AOB=∠A'OB', \\ BO=B'O, \end{cases}$
∴△OAB≌△OA'B'(SAS).
∴AB=A'B'.
∵O 是AA'，BB'的中点，
∴AO=A'O，BO=B'O.
在△OAB 和△OA'B'中，
∵$\begin{cases} AO=A'O, \\ ∠AOB=∠A'OB', \\ BO=B'O, \end{cases}$
∴△OAB≌△OA'B'(SAS).
∴AB=A'B'.
解析
【分析】
要说明量出$A'B'$的长就能得到工件内槽宽$AB$，本质是证明$AB=A'B'$，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先根据中点的性质可得两组对应边相等，再结合对顶角相等，即可利用SAS判定两个三角形全等，最后根据全等三角形的性质得到对应边相等，即可解释该工具的原理。
【解析】
∵O是$AA'$，$BB'$的中点，
∴$AO=A'O$，$BO=B'O$。
在$△ OAB$和$△ OA'B'$中，
$\begin{cases} AO=A'O, \\ ∠AOB=∠A'OB', \\ BO=B'O, \end{cases}$
∴$△ OAB≌△ OA'B'(\mathrm{SAS})$。
∴$AB=A'B'$，因此量出$A'B'$的长就可得出工件内槽的宽$AB$。
【答案】
依据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS判定），全等三角形的对应边相等。
【知识点】
1. SAS判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 对顶角相等
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的典型应用，将生活中的测量问题转化为几何全等问题，考查了学生将数学理论知识应用于实际场景的能力，有助于巩固全等判定和性质的基础内容。
【难度系数】
0.9
要说明量出$A'B'$的长就能得到工件内槽宽$AB$，本质是证明$AB=A'B'$，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先根据中点的性质可得两组对应边相等，再结合对顶角相等，即可利用SAS判定两个三角形全等，最后根据全等三角形的性质得到对应边相等，即可解释该工具的原理。
【解析】
∵O是$AA'$，$BB'$的中点，
∴$AO=A'O$，$BO=B'O$。
在$△ OAB$和$△ OA'B'$中，
$\begin{cases} AO=A'O, \\ ∠AOB=∠A'OB', \\ BO=B'O, \end{cases}$
∴$△ OAB≌△ OA'B'(\mathrm{SAS})$。
∴$AB=A'B'$，因此量出$A'B'$的长就可得出工件内槽的宽$AB$。
【答案】
依据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS判定），全等三角形的对应边相等。
【知识点】
1. SAS判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 对顶角相等
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的典型应用，将生活中的测量问题转化为几何全等问题，考查了学生将数学理论知识应用于实际场景的能力，有助于巩固全等判定和性质的基础内容。
【难度系数】
0.9
