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(1)如图，$OP$平分$∠ AOB$，$PC⊥ OA$，$D$是$OB$上的动点. 若$PC=5\ \mathrm{cm}$，则$PD$的长可以为（
A.$2\ \mathrm{cm}$
B.$3\ \mathrm{cm}$
C.$4\ \mathrm{cm}$
D.$6\ \mathrm{cm}$
D
）A.$2\ \mathrm{cm}$
B.$3\ \mathrm{cm}$
C.$4\ \mathrm{cm}$
D.$6\ \mathrm{cm}$
答案
1. (1) D
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，看到角平分线和点到角一边的垂线段，先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，结合已知OP平分∠AOB、PC⊥OA且PC=5cm，可求出点P到OB边的距离；第二步，根据垂线段最短的性质，点到直线上所有点的连线中，垂线段长度最短，因此PD的最小长度等于点P到OB的距离，由此确定PD的取值范围，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
过点P作PE⊥OB于点E。
∵ OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，
∴ 根据角平分线的性质可得：PE = PC = 5 cm。
∵ D是OB上的动点，根据“垂线段最短”可知，PD的长度最小为PE的长度，即PD ≥ 5 cm。
观察选项，只有6 cm ≥ 5 cm，符合要求。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；垂线段最短
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和垂线段最短的性质，先确定PD的取值范围，再结合选项判断即可。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步，看到角平分线和点到角一边的垂线段，先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，结合已知OP平分∠AOB、PC⊥OA且PC=5cm，可求出点P到OB边的距离；第二步，根据垂线段最短的性质，点到直线上所有点的连线中，垂线段长度最短，因此PD的最小长度等于点P到OB的距离，由此确定PD的取值范围，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
过点P作PE⊥OB于点E。
∵ OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，
∴ 根据角平分线的性质可得：PE = PC = 5 cm。
∵ D是OB上的动点，根据“垂线段最短”可知，PD的长度最小为PE的长度，即PD ≥ 5 cm。
观察选项，只有6 cm ≥ 5 cm，符合要求。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；垂线段最短
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和垂线段最短的性质，先确定PD的取值范围，再结合选项判断即可。
【难度系数】
0.8
(2)已知$△ ABC$. 两个完全一样的三角板按如图所示的方式摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，则点M一定在 
（
A.$∠ A$的平分线上
B.AC边的高线上
C.BC边的垂直平分线上
D.AB边的中线上
（A
）A.$∠ A$的平分线上
B.AC边的高线上
C.BC边的垂直平分线上
D.AB边的中线上
答案
1. (2) A
解析
【分析】
解题时先明确各选项对应的判定规则：判断点在角平分线上需满足该点到角两边距离相等；判断点在边的高线上需满足连线垂直于该边；判断点在边的垂直平分线上需满足到边两端点距离相等；判断点在边的中线上需满足连线过边的中点。再结合已知条件分析：两个完全相同的直角三角板的对应直角边分别在AB、AC上，顶点均为M，可得M到AB的距离和M到AC的距离相等，正好符合角平分线的判定条件，即可得出结论，其余选项均无对应条件支撑，可排除。
【解析】
解：由题意可知，两个三角板完全相同，因此它们的对应直角边长度相等。
点M到AB边的距离等于三角板该条对应直角边的长度，点M到AC边的距离也等于这条直角边的长度，即点M到∠A的两边AB、AC的距离相等。
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，因此点M一定在∠A的平分线上。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的判定，点到直线的距离
【点评】
本题属于基础应用题，主要考查对角平分线判定定理的理解与应用，解题关键是从题干和图形中提取出点M到角两边距离相等的核心条件，结合定理即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
解题时先明确各选项对应的判定规则：判断点在角平分线上需满足该点到角两边距离相等；判断点在边的高线上需满足连线垂直于该边；判断点在边的垂直平分线上需满足到边两端点距离相等；判断点在边的中线上需满足连线过边的中点。再结合已知条件分析：两个完全相同的直角三角板的对应直角边分别在AB、AC上，顶点均为M，可得M到AB的距离和M到AC的距离相等，正好符合角平分线的判定条件，即可得出结论，其余选项均无对应条件支撑，可排除。
【解析】
解：由题意可知，两个三角板完全相同，因此它们的对应直角边长度相等。
点M到AB边的距离等于三角板该条对应直角边的长度，点M到AC边的距离也等于这条直角边的长度，即点M到∠A的两边AB、AC的距离相等。
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，因此点M一定在∠A的平分线上。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的判定，点到直线的距离
【点评】
本题属于基础应用题，主要考查对角平分线判定定理的理解与应用，解题关键是从题干和图形中提取出点M到角两边距离相等的核心条件，结合定理即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
(3)根据下列尺规作图的痕迹，用直尺能成功找出到三角形三边距离相等的点的是（
D
）答案
1. (3) D
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确核心结论：到三角形三边距离相等的点是三角形三条内角平分线的交点（三角形的内心），因此只需判断哪个选项的尺规作图痕迹是作出了三角形的两个内角平分线，两条角平分线的交点即为所求点。解题时先回忆角平分线、垂直平分线的尺规作图特征，再逐一甄别选项即可。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此三角形三个内角平分线的交点到三角形三边的距离均相等，该点是我们要找的点。
逐一分析选项：
选项A：作图痕迹为左侧底角的角平分线、底边的垂直平分线，交点不是两条内角平分线的交点，不符合要求；
选项B：作图痕迹为顶角70°角的角平分线、底边的垂直平分线，交点不符合要求；
选项C：作图痕迹为顶角70°角的角平分线、底边的垂直平分线，交点不符合要求；
选项D：作图痕迹为三角形左下角、右下角两个内角的角平分线，两条角平分线的交点就是三角形的内心，到三边距离相等，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；尺规作图识别；三角形内心特征
【点评】
本题结合尺规作图痕迹考查角平分线的性质，解题的关键是牢记到三角形三边距离相等的点是内角平分线的交点，同时能准确区分角平分线和线段垂直平分线的作图痕迹，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确核心结论：到三角形三边距离相等的点是三角形三条内角平分线的交点（三角形的内心），因此只需判断哪个选项的尺规作图痕迹是作出了三角形的两个内角平分线，两条角平分线的交点即为所求点。解题时先回忆角平分线、垂直平分线的尺规作图特征，再逐一甄别选项即可。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此三角形三个内角平分线的交点到三角形三边的距离均相等，该点是我们要找的点。
逐一分析选项：
选项A：作图痕迹为左侧底角的角平分线、底边的垂直平分线，交点不是两条内角平分线的交点，不符合要求；
选项B：作图痕迹为顶角70°角的角平分线、底边的垂直平分线，交点不符合要求；
选项C：作图痕迹为顶角70°角的角平分线、底边的垂直平分线，交点不符合要求；
选项D：作图痕迹为三角形左下角、右下角两个内角的角平分线，两条角平分线的交点就是三角形的内心，到三边距离相等，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；尺规作图识别；三角形内心特征
【点评】
本题结合尺规作图痕迹考查角平分线的性质，解题的关键是牢记到三角形三边距离相等的点是内角平分线的交点，同时能准确区分角平分线和线段垂直平分线的作图痕迹，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.7
(1)如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，CD=3.
①点D到AB的距离为
②若AB=10，则△ABD的面积为
③若AB=6，AC=4，则△ABD与△ACD的面积之比为
①点D到AB的距离为
3
.②若AB=10，则△ABD的面积为
15
.③若AB=6，AC=4，则△ABD与△ACD的面积之比为
3:2
.答案
2. (1) ①3 ②15 ③3:2
解析
【分析】
解题核心是运用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。①问中，AD是∠BAC的平分线，D在AD上，DC垂直AC，因此D到AB的距离与DC长度相等，可直接得出结果；②问求△ABD的面积，以AB为底，高就是①中求得的D到AB的距离，代入三角形面积公式计算即可；③问中，△ACD的高为CD、底为AC，△ABD的高等于CD、底为AB，两个三角形面积的比值即为AB与AC的比值，代入数值计算即可。
【解析】
①过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠BAC，∠C=90°即DC⊥AC，
根据角平分线的性质可得DE=CD=3，即点D到AB的距离为3。
②△ABD的面积=$\frac{1}{2}×AB×DE=\frac{1}{2}×10×3=15$。
③$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×AB×DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×AC×CD$，
∵DE=CD，
∴$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=AB:AC=6:4=3:2$。
【答案】
①3 ②15 ③3:2
【知识点】
1.角平分线的性质
2.三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题目，解题关键是熟练掌握角平分线的性质，结合三角形面积公式即可快速求解，要注意该性质在涉及角平分线和距离类问题中的灵活运用。
【难度系数】
0.8
解题核心是运用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。①问中，AD是∠BAC的平分线，D在AD上，DC垂直AC，因此D到AB的距离与DC长度相等，可直接得出结果；②问求△ABD的面积，以AB为底，高就是①中求得的D到AB的距离，代入三角形面积公式计算即可；③问中，△ACD的高为CD、底为AC，△ABD的高等于CD、底为AB，两个三角形面积的比值即为AB与AC的比值，代入数值计算即可。
【解析】
①过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠BAC，∠C=90°即DC⊥AC，
根据角平分线的性质可得DE=CD=3，即点D到AB的距离为3。
②△ABD的面积=$\frac{1}{2}×AB×DE=\frac{1}{2}×10×3=15$。
③$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×AB×DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×AC×CD$，
∵DE=CD，
∴$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=AB:AC=6:4=3:2$。
【答案】
①3 ②15 ③3:2
【知识点】
1.角平分线的性质
2.三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题目，解题关键是熟练掌握角平分线的性质，结合三角形面积公式即可快速求解，要注意该性质在涉及角平分线和距离类问题中的灵活运用。
【难度系数】
0.8
(2)如图，$△ ABC$的三条角平分线相交于点$O$，连接$OA$，$OB$，$OC$，将$△ ABC$分成三个三角形.
第2(2)题
①若$AB＝10$，$BC＝15$，$CA＝20$，则$S_{△ ABO}:S_{△ BCO}:S_{△ CAO}＝$.
②若$OD⊥ BC$，$△ ABC$的周长为$18$，$OD＝3$，则$△ ABC$的面积为.
③设$△ ABO$，$△ BCO$，$△ CAO$的面积分别为$S_1$，$S_2$，$S_3$，则$S_1＋S_2$$S_3$.（填“＞”“＜”或“＝”）
(3)如图，在$△ ABC$中，$∠ C＝90°$，$O$为$△ ABC$三条角平分线的交点，$OD⊥ BC$，$OE⊥ AC$，$OF⊥ AB$，$D$，$E$，$F$分别是垂足，且$AB＝10\ \mathrm{cm}$，$BC＝8\ \mathrm{cm}$，$CA＝6\ \mathrm{cm}$，则$OF＝\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.
第2(3)题
(4)①到三角形三条边距离相等的点是.
②如图，直线$a$，$b$，$c$表示三条相互交叉的公路，交点处为三个小区.现拟建一个超市，要求它到三个小区的距离相等，则超市应建在处.
第2(4)题
(5)如图，在$△ ABC$中，$∠ B＝40°$，$∠ C＝50°$.通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线$DF$是线段$AB$的，射线$AE$是$∠ DAC$的，$∠ DAE$的度数为.
第2(5)题
第2(2)题
①若$AB＝10$，$BC＝15$，$CA＝20$，则$S_{△ ABO}:S_{△ BCO}:S_{△ CAO}＝$.
②若$OD⊥ BC$，$△ ABC$的周长为$18$，$OD＝3$，则$△ ABC$的面积为.
③设$△ ABO$，$△ BCO$，$△ CAO$的面积分别为$S_1$，$S_2$，$S_3$，则$S_1＋S_2$$S_3$.（填“＞”“＜”或“＝”）
(3)如图，在$△ ABC$中，$∠ C＝90°$，$O$为$△ ABC$三条角平分线的交点，$OD⊥ BC$，$OE⊥ AC$，$OF⊥ AB$，$D$，$E$，$F$分别是垂足，且$AB＝10\ \mathrm{cm}$，$BC＝8\ \mathrm{cm}$，$CA＝6\ \mathrm{cm}$，则$OF＝\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.
第2(3)题
(4)①到三角形三条边距离相等的点是.
②如图，直线$a$，$b$，$c$表示三条相互交叉的公路，交点处为三个小区.现拟建一个超市，要求它到三个小区的距离相等，则超市应建在处.
第2(4)题
(5)如图，在$△ ABC$中，$∠ B＝40°$，$∠ C＝50°$.通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线$DF$是线段$AB$的，射线$AE$是$∠ DAC$的，$∠ DAE$的度数为.
第2(5)题
答案
2. (2) ①2:3:4 ②27 ③＞
2. (3) 2
2. (4) ①三条角平分线的交点
②三角形三边的垂直平分线的交点
2. (5) 垂直平分线，平分线，25°
2. (3) 2
2. (4) ①三条角平分线的交点
②三角形三边的垂直平分线的交点
2. (5) 垂直平分线，平分线，25°
解析
【分析】
解题时围绕角平分线、线段垂直平分线的核心性质展开：
1. 处理(2)类问题时，利用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，可知角平分线交点O到△ABC三边的距离相等，三个小三角形高相等，面积比等于对应底边长的比；求大三角形面积可拆分三个小三角形面积求和，结合周长和高快速计算；再结合三角形两边之和大于第三边即可比较面积大小。
2. 处理(3)问题时，利用角平分线交点到三边距离相等的性质，设距离为r，通过“大三角形面积=三个小三角形面积和”列方程求解即可。
3. 处理(4)问题时，区分两类性质：到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，到三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点。
4. 处理(5)问题时，先根据尺规作图特征判断DF、AE的性质，再结合三角形内角和、等腰三角形性质计算角度即可。
【解析】
(2)① 设点O到AB、BC、CA的距离均为h，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}×AB×h$，$S_{△ BCO}=\frac{1}{2}×BC×h$，$S_{△ CAO}=\frac{1}{2}×CA×h$
因此面积比$S_{△ ABO}:S_{△ BCO}:S_{△ CAO}=AB:BC:CA=10:15:20=2:3:4$
② 点O到三边的距离都等于$OD=3$，因此：
$S_{△ ABC}=S_{△ ABO}+S_{△ BCO}+S_{△ CAO}=\frac{1}{2}×AB×3 + \frac{1}{2}×BC×3 +\frac{1}{2}×CA×3=\frac{1}{2}×(AB+BC+CA)×3$
已知△ABC周长为18，代入得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×18×3=27$
③ 由三角形三边关系得$AB+BC＞AC$，因此：
$S_1+S_2=\frac{1}{2}×h×(AB+BC) ＞ \frac{1}{2}×h×AC = S_3$，故填＞
(3) 根据角平分线性质，$OE=OD=OF=r$，△ABC是直角三角形，面积为$\frac{1}{2}×6×8=24$
同时$S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×10r +\frac{1}{2}×8r +\frac{1}{2}×6r=12r$
因此$12r=24$，解得$r=2$，即$OF=2\mathrm{cm}$
(4)① 根据角平分线的性质，到三角形三条边距离相等的点是三条角平分线的交点；
② 到三个顶点（三个小区）距离相等的点是三角形三边的垂直平分线的交点，因此超市应建在该位置。
(5) 由尺规作图痕迹可知：直线DF是线段AB的垂直平分线，射线AE是∠DAC的平分线；
在△ABC中，$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-40°-50°=90°$
因为DF是AB的垂直平分线，所以$DA=DB$，$∠ DAB=∠ B=40°$
因此$∠ DAC=∠ BAC-∠ DAB=90°-40°=50°$
又因为AE平分∠DAC，所以$∠ DAE=\frac{1}{2}×∠ DAC=\frac{1}{2}×50°=25°$
【答案】
(2)①$2:3:4$ ②$27$ ③$＞$
(3)$2$
(4)①三条角平分线的交点 ②三角形三边的垂直平分线的交点
(5)垂直平分线，平分线，$25°$
【知识点】
角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线章节的典型基础题，覆盖了角平分线、垂直平分线的性质与判定，结合三角形面积、三边关系、内角和等知识点考查，侧重对基础概念的理解和应用，掌握核心性质即可快速求解。
【难度系数】
0.75
解题时围绕角平分线、线段垂直平分线的核心性质展开：
1. 处理(2)类问题时，利用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，可知角平分线交点O到△ABC三边的距离相等，三个小三角形高相等，面积比等于对应底边长的比；求大三角形面积可拆分三个小三角形面积求和，结合周长和高快速计算；再结合三角形两边之和大于第三边即可比较面积大小。
2. 处理(3)问题时，利用角平分线交点到三边距离相等的性质，设距离为r，通过“大三角形面积=三个小三角形面积和”列方程求解即可。
3. 处理(4)问题时，区分两类性质：到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，到三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点。
4. 处理(5)问题时，先根据尺规作图特征判断DF、AE的性质，再结合三角形内角和、等腰三角形性质计算角度即可。
【解析】
(2)① 设点O到AB、BC、CA的距离均为h，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}×AB×h$，$S_{△ BCO}=\frac{1}{2}×BC×h$，$S_{△ CAO}=\frac{1}{2}×CA×h$
因此面积比$S_{△ ABO}:S_{△ BCO}:S_{△ CAO}=AB:BC:CA=10:15:20=2:3:4$
② 点O到三边的距离都等于$OD=3$，因此：
$S_{△ ABC}=S_{△ ABO}+S_{△ BCO}+S_{△ CAO}=\frac{1}{2}×AB×3 + \frac{1}{2}×BC×3 +\frac{1}{2}×CA×3=\frac{1}{2}×(AB+BC+CA)×3$
已知△ABC周长为18，代入得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×18×3=27$
③ 由三角形三边关系得$AB+BC＞AC$，因此：
$S_1+S_2=\frac{1}{2}×h×(AB+BC) ＞ \frac{1}{2}×h×AC = S_3$，故填＞
(3) 根据角平分线性质，$OE=OD=OF=r$，△ABC是直角三角形，面积为$\frac{1}{2}×6×8=24$
同时$S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ AOC}=\frac{1}{2}×10r +\frac{1}{2}×8r +\frac{1}{2}×6r=12r$
因此$12r=24$，解得$r=2$，即$OF=2\mathrm{cm}$
(4)① 根据角平分线的性质，到三角形三条边距离相等的点是三条角平分线的交点；
② 到三个顶点（三个小区）距离相等的点是三角形三边的垂直平分线的交点，因此超市应建在该位置。
(5) 由尺规作图痕迹可知：直线DF是线段AB的垂直平分线，射线AE是∠DAC的平分线；
在△ABC中，$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-40°-50°=90°$
因为DF是AB的垂直平分线，所以$DA=DB$，$∠ DAB=∠ B=40°$
因此$∠ DAC=∠ BAC-∠ DAB=90°-40°=50°$
又因为AE平分∠DAC，所以$∠ DAE=\frac{1}{2}×∠ DAC=\frac{1}{2}×50°=25°$
【答案】
(2)①$2:3:4$ ②$27$ ③$＞$
(3)$2$
(4)①三条角平分线的交点 ②三角形三边的垂直平分线的交点
(5)垂直平分线，平分线，$25°$
【知识点】
角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线章节的典型基础题，覆盖了角平分线、垂直平分线的性质与判定，结合三角形面积、三边关系、内角和等知识点考查，侧重对基础概念的理解和应用，掌握核心性质即可快速求解。
【难度系数】
0.75
