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3. 如图，已知$△ ABC$，$∠ ABC$的平分线与$∠ ACB$的外角平分线交于点$P$，$PD⊥ AC$于点$D$，$PH⊥ AB$于点$H$。
(1)若$PH=8\ \mathrm{cm}$，求点$P$到直线$BC$的距离。
(2)求证：点$P$在$∠ HAC$的平分线上。
(1)若$PH=8\ \mathrm{cm}$，求点$P$到直线$BC$的距离。
(2)求证：点$P$在$∠ HAC$的平分线上。
答案
3. (1) 解：如图，作 $PQ⊥BE$ 于点Q。
$\because BP$ 平分$∠ ABC$，
$\therefore PQ=PH=8\ \mathrm{cm}$，即点 $P$ 到直线 $BC$ 的距离为 $8\ \mathrm{cm}$。
(2) 证明：$\because PC$ 平分$∠ ACE$，且 $PD⊥ AC$ 于点D，
$\therefore PD=PQ$。
又$\because PH=PQ$，
$\therefore PD=PH$。
$\therefore$ 点 $P$ 在$∠ HAC$ 的平分线上。
解析
【分析】
(1) 求点P到直线BC的距离，可利用角平分线的性质求解：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知BP是∠ABC的平分线，且PH⊥AB，因此过P作PQ⊥BC于Q，PQ即为点P到BC的距离，且PQ与PH长度相等，代入已知PH的长度即可得到结果。
(2) 要证明点P在∠HAC的平分线上，根据角平分线的判定定理：在角内部，到角两边距离相等的点在该角的平分线上，只需证明点P到AH的距离PH等于点P到AC的距离PD即可。结合CP是∠ACE的平分线，可得PD=PQ，再结合(1)中PH=PQ的结论，即可推出PD=PH，从而完成证明。
【解析】
(1) 解：如图，作 $PQ⊥BE$ 于点Q。
$\because BP$ 平分$∠ ABC$，$PH⊥AB$，$PQ⊥BC$，
$\therefore PQ=PH=8\ \mathrm{cm}$，即点 $P$ 到直线 $BC$ 的距离为 $8\ \mathrm{cm}$。
(2) 证明：$\because PC$ 平分$∠ ACE$，且 $PD⊥ AC$ 于点D，$PQ⊥BE$于点Q，
$\therefore PD=PQ$。
又$\because PH=PQ$，
$\therefore PD=PH$。
又$\because PH⊥AB$，$PD⊥AC$，
$\therefore$ 点 $P$ 在$∠ HAC$ 的平分线上。
【答案】
(1) 点P到直线BC的距离为$8\ \mathrm{cm}$；
(2) 证明见解析，如图。
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题是角平分线相关定理的基础应用题型，解题关键是合理作出辅助线，明确角平分线性质用于推导距离相等、判定定理用于证明点在角平分线上的使用区别，掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
(1) 求点P到直线BC的距离，可利用角平分线的性质求解：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知BP是∠ABC的平分线，且PH⊥AB，因此过P作PQ⊥BC于Q，PQ即为点P到BC的距离，且PQ与PH长度相等，代入已知PH的长度即可得到结果。
(2) 要证明点P在∠HAC的平分线上，根据角平分线的判定定理：在角内部，到角两边距离相等的点在该角的平分线上，只需证明点P到AH的距离PH等于点P到AC的距离PD即可。结合CP是∠ACE的平分线，可得PD=PQ，再结合(1)中PH=PQ的结论，即可推出PD=PH，从而完成证明。
【解析】
(1) 解：如图，作 $PQ⊥BE$ 于点Q。
$\because BP$ 平分$∠ ABC$，$PH⊥AB$，$PQ⊥BC$，
$\therefore PQ=PH=8\ \mathrm{cm}$，即点 $P$ 到直线 $BC$ 的距离为 $8\ \mathrm{cm}$。
(2) 证明：$\because PC$ 平分$∠ ACE$，且 $PD⊥ AC$ 于点D，$PQ⊥BE$于点Q，
$\therefore PD=PQ$。
又$\because PH=PQ$，
$\therefore PD=PH$。
又$\because PH⊥AB$，$PD⊥AC$，
$\therefore$ 点 $P$ 在$∠ HAC$ 的平分线上。
【答案】
(1) 点P到直线BC的距离为$8\ \mathrm{cm}$；
(2) 证明见解析，如图
。【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题是角平分线相关定理的基础应用题型，解题关键是合理作出辅助线，明确角平分线性质用于推导距离相等、判定定理用于证明点在角平分线上的使用区别，掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
4. 已知：如图，$AB=AC$，$BD=CD$，$DE⊥ AB$于点$E$，$DF⊥ AC$于点$F$。求证：$DE=DF$。
答案
4. 证明：如图，连接AD。
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\because \begin{cases} AB=AC, \\ BD=CD, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACD(\mathrm{SSS})$。
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$。
$\therefore AD$ 是$∠ BAC$ 的平分线。
又$\because DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
$\therefore DE=DF$。
解析
【分析】
要证明两条垂线段DE=DF，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此只需证明点D在∠BAC的角平分线上即可。观察已知条件，有AB=AC、BD=CD，还有公共边AD，可先连接AD，通过SSS判定证明△ABD和△ACD全等，进而得到∠BAD=∠CAD，推出AD是角平分线，最终证得DE=DF。
【解析】
证明：首先连接AD构造全等三角形，利用SSS判定证明△ABD≌△ACD，得到对应角相等确定AD为角平分线，最后结合角平分线的性质得证结论，具体步骤如下：
如图，连接AD。
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\because \begin{cases} AB=AC, \\ BD=CD, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD(\mathrm{SSS})$。
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$，即AD是$∠ BAC$的平分线。
又$\because DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，根据角平分线的性质，可得$DE=DF$。
【答案】
证明：如图，连接AD。
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\because \begin{cases} AB=AC, \\ BD=CD, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACD(\mathrm{SSS})$。
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$。
$\therefore AD$ 是$∠ BAC$ 的平分线。
又$\because DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
$\therefore DE=DF$。
【知识点】
SSS证全等，全等三角形性质，角平分线的性质
【点评】
本题是几何基础证明题，解题关键是掌握逆推的证明思路，通过构造辅助线将证线段相等的问题转化为证角相等的问题，能帮助学生熟悉全等三角形和角平分线性质的综合应用，掌握常见辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.8
要证明两条垂线段DE=DF，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此只需证明点D在∠BAC的角平分线上即可。观察已知条件，有AB=AC、BD=CD，还有公共边AD，可先连接AD，通过SSS判定证明△ABD和△ACD全等，进而得到∠BAD=∠CAD，推出AD是角平分线，最终证得DE=DF。
【解析】
证明：首先连接AD构造全等三角形，利用SSS判定证明△ABD≌△ACD，得到对应角相等确定AD为角平分线，最后结合角平分线的性质得证结论，具体步骤如下：
如图，连接AD。
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\because \begin{cases} AB=AC, \\ BD=CD, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD(\mathrm{SSS})$。
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$，即AD是$∠ BAC$的平分线。
又$\because DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，根据角平分线的性质，可得$DE=DF$。
【答案】
证明：如图，连接AD。
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\because \begin{cases} AB=AC, \\ BD=CD, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACD(\mathrm{SSS})$。
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$。
$\therefore AD$ 是$∠ BAC$ 的平分线。
又$\because DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
$\therefore DE=DF$。
【知识点】
SSS证全等，全等三角形性质，角平分线的性质
【点评】
本题是几何基础证明题，解题关键是掌握逆推的证明思路，通过构造辅助线将证线段相等的问题转化为证角相等的问题，能帮助学生熟悉全等三角形和角平分线性质的综合应用，掌握常见辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.8
