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5. 已知：如图，$CD ⊥ AB$于点D，$BE ⊥ AC$于点E，且$BD=CE$，BE交CD于点O。求证：AO平分$∠ BAC$。
第5题
第5题答案
证明：$\because CD⊥ AB$，$BE⊥ AC$，
$\therefore ∠ BDO=∠ CEO=90°$。
在$△ BDO$和$△ CEO$中，
$\because \begin{cases} ∠ BDO=∠ CEO, \\ ∠ DOB=∠ EOC, \\ BD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ BDO≌△ CEO(\mathrm{AAS})$。
$\therefore OD=OE$。
$\therefore AO$ 平分$∠ BAC$。
$\therefore ∠ BDO=∠ CEO=90°$。
在$△ BDO$和$△ CEO$中，
$\because \begin{cases} ∠ BDO=∠ CEO, \\ ∠ DOB=∠ EOC, \\ BD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ BDO≌△ CEO(\mathrm{AAS})$。
$\therefore OD=OE$。
$\therefore AO$ 平分$∠ BAC$。
解析
【分析】
要证明AO平分∠BAC，根据角平分线的判定定理，在角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此只需证明点O到AB、AC的距离OD=OE即可。观察图形，OD、OE分别在△BDO和△CEO中，已知CD⊥AB、BE⊥AC可得∠BDO=∠CEO=90°，结合已知BD=CE，以及隐含的对顶角∠DOB=∠EOC，可通过AAS证明两个三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到OD=OE，即可完成证明。
【解析】
证明：$\because CD⊥ AB$，$BE⊥ AC$，
$\therefore ∠ BDO=∠ CEO=90°$。
在$△ BDO$和$△ CEO$中，
$\because \begin{cases} ∠ BDO=∠ CEO, \\ ∠ DOB=∠ EOC, \\ BD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ BDO≌△ CEO(\mathrm{AAS})$。
$\therefore OD=OE$。
$\therefore AO$ 平分$∠ BAC$。
【答案】
证明：$\because CD⊥ AB$，$BE⊥ AC$，
$\therefore ∠ BDO=∠ CEO=90°$。
在$△ BDO$和$△ CEO$中，
$\because \begin{cases} ∠ BDO=∠ CEO, \\ ∠ DOB=∠ EOC, \\ BD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ BDO≌△ CEO(\mathrm{AAS})$。
$\therefore OD=OE$。
$\therefore AO$ 平分$∠ BAC$。
【知识点】
全等三角形的AAS判定；全等三角形的性质；角平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是明确证明角平分线的常用思路，结合已知条件挖掘隐含的直角相等、对顶角相等等条件，通过证明三角形全等得到需要的边相等，即可推出结论，能够很好地锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.75
要证明AO平分∠BAC，根据角平分线的判定定理，在角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此只需证明点O到AB、AC的距离OD=OE即可。观察图形，OD、OE分别在△BDO和△CEO中，已知CD⊥AB、BE⊥AC可得∠BDO=∠CEO=90°，结合已知BD=CE，以及隐含的对顶角∠DOB=∠EOC，可通过AAS证明两个三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到OD=OE，即可完成证明。
【解析】
证明：$\because CD⊥ AB$，$BE⊥ AC$，
$\therefore ∠ BDO=∠ CEO=90°$。
在$△ BDO$和$△ CEO$中，
$\because \begin{cases} ∠ BDO=∠ CEO, \\ ∠ DOB=∠ EOC, \\ BD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ BDO≌△ CEO(\mathrm{AAS})$。
$\therefore OD=OE$。
$\therefore AO$ 平分$∠ BAC$。
【答案】
证明：$\because CD⊥ AB$，$BE⊥ AC$，
$\therefore ∠ BDO=∠ CEO=90°$。
在$△ BDO$和$△ CEO$中，
$\because \begin{cases} ∠ BDO=∠ CEO, \\ ∠ DOB=∠ EOC, \\ BD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ BDO≌△ CEO(\mathrm{AAS})$。
$\therefore OD=OE$。
$\therefore AO$ 平分$∠ BAC$。
【知识点】
全等三角形的AAS判定；全等三角形的性质；角平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是明确证明角平分线的常用思路，结合已知条件挖掘隐含的直角相等、对顶角相等等条件，通过证明三角形全等得到需要的边相等，即可推出结论，能够很好地锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.75
6. 已知：如图，点 B，C 分别在∠A 的两边上，D 是∠A 内部一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 AB=AC，DE=DF。
求证：BD=CD。
求证：BD=CD。
答案
证明：如图，连接AD。
$\because DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，$DE=DF$，
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$。
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\because \begin{cases} AB=AC, \\ ∠ BAD=∠ CAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACD(\mathrm{SAS})$。
$\therefore BD=CD$。
解析
【分析】
要证明BD=CD，可通过证明BD、CD所在的△ABD和△ACD全等实现。已知条件已给出AB=AC，且AD是两个三角形的公共边，因此只需证明∠BAD=∠CAD即可。已知DE⊥AB、DF⊥AC且DE=DF，根据角平分线的判定定理，可知点D在∠A的角平分线上，即AD平分∠BAC，由此得到夹角相等，即可用SAS判定三角形全等，进而得到对应边BD=CD。
【解析】
证明：如图，连接AD。
$\because DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，$DE=DF$，
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$。
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\because \begin{cases} AB=AC, \\ ∠ BAD=∠ CAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACD(\mathrm{SAS})$。
$\therefore BD=CD$。
【答案】
证明：如图，连接AD。
$\because DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，$DE=DF$，
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$。
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\because \begin{cases} AB=AC, \\ ∠ BAD=∠ CAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACD(\mathrm{SAS})$。
$\therefore BD=CD$。
【知识点】
角平分线的判定；全等三角形SAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的核心是通过添加辅助线AD构造全等三角形，结合角平分线的判定得到相等的角，再利用全等三角形的性质得到对应边相等，是几何证明的常规考法。
【难度系数】
0.7
要证明BD=CD，可通过证明BD、CD所在的△ABD和△ACD全等实现。已知条件已给出AB=AC，且AD是两个三角形的公共边，因此只需证明∠BAD=∠CAD即可。已知DE⊥AB、DF⊥AC且DE=DF，根据角平分线的判定定理，可知点D在∠A的角平分线上，即AD平分∠BAC，由此得到夹角相等，即可用SAS判定三角形全等，进而得到对应边BD=CD。
【解析】
证明：如图，连接AD。
$\because DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，$DE=DF$，
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$。
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\because \begin{cases} AB=AC, \\ ∠ BAD=∠ CAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACD(\mathrm{SAS})$。
$\therefore BD=CD$。
【答案】
证明：如图，连接AD。
$\because DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，$DE=DF$，
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$。
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\because \begin{cases} AB=AC, \\ ∠ BAD=∠ CAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACD(\mathrm{SAS})$。
$\therefore BD=CD$。
【知识点】
角平分线的判定；全等三角形SAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的核心是通过添加辅助线AD构造全等三角形，结合角平分线的判定得到相等的角，再利用全等三角形的性质得到对应边相等，是几何证明的常规考法。
【难度系数】
0.7
