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5. 如图，已知$△ ABC$.
求作：点$P$，使$PA=PC$，且点$P$在$△ ABC$中$AB$边的高上.（保留作图痕迹，不要求写出作法）
求作：点$P$，使$PA=PC$，且点$P$在$△ ABC$中$AB$边的高上.（保留作图痕迹，不要求写出作法）
答案
5. 解：如图，作AC的垂直平分线和AB边上的高，它们的交点即为点P.
解析
【分析】
解题时先拆解题目的两个要求：①要求PA=PC，根据线段垂直平分线的判定，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此点P一定在AC的垂直平分线上；②要求点P在AB边的高上，说明点P同时在△ABC的AB边对应的高所在直线上。两个条件对应的两条直线的交点就是满足所有要求的点P，依次作出两条线找交点即可。
【解析】
1. 依据线段垂直平分线的判定方法，用尺规作出线段AC的垂直平分线；
2. 过点C作AB边的垂线，得到AB边上的高所在的直线；
3. 上述两条直线的交点即为所求作的点P，保留作图痕迹即可。
【答案】
如图，作AC的垂直平分线和AB边上的高，它们的交点即为点P.
【知识点】
线段垂直平分线的判定、三角形高的作图
【点评】
本题是基础尺规作图题，解题核心是将几何条件转化为对应的作图轨迹，通过两线交点确定目标点，能有效考查学生对基础作图原理的掌握情况。
【难度系数】
0.8
解题时先拆解题目的两个要求：①要求PA=PC，根据线段垂直平分线的判定，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此点P一定在AC的垂直平分线上；②要求点P在AB边的高上，说明点P同时在△ABC的AB边对应的高所在直线上。两个条件对应的两条直线的交点就是满足所有要求的点P，依次作出两条线找交点即可。
【解析】
1. 依据线段垂直平分线的判定方法，用尺规作出线段AC的垂直平分线；
2. 过点C作AB边的垂线，得到AB边上的高所在的直线；
3. 上述两条直线的交点即为所求作的点P，保留作图痕迹即可。
【答案】
如图，作AC的垂直平分线和AB边上的高，它们的交点即为点P.
【知识点】
线段垂直平分线的判定、三角形高的作图
【点评】
本题是基础尺规作图题，解题核心是将几何条件转化为对应的作图轨迹，通过两线交点确定目标点，能有效考查学生对基础作图原理的掌握情况。
【难度系数】
0.8
6. 如图，河边有两个村庄A，B. 现要在河边建一个自来水厂，向两村供水.（保留作图痕迹，不要求写出作法）
(1)若使自来水厂到两村的距离相等，则应选择在哪里建厂？
(2)若使自来水厂到两村所铺设的水管最短，则应选择在哪里建厂？
(1)若使自来水厂到两村的距离相等，则应选择在哪里建厂？
(2)若使自来水厂到两村所铺设的水管最短，则应选择在哪里建厂？
答案
6. 解：(1)如图，作线段AB的垂直平分线，与EF相交于点M. 点M处即为自来水厂所在的位置.
(2)如图，先作点A关于直线EF的对称点A'，再连接A'B，交EF于点N. 点N处即为自来水厂所在的位置.
解析
【分析】
(1) 要求自来水厂到A、B两村距离相等，即要在直线EF上找一点到点A、B的距离相等。根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，可知满足条件的点在线段AB的垂直平分线上，因此只需作出AB的垂直平分线，它与EF的交点即为所求建厂位置。
(2) 要求铺设的水管总长度最短，即要在EF上找一点使该点到A、B的距离之和最小。由于A、B在EF同侧，可利用轴对称的性质作点A关于EF的对称点A'，将同侧两点的最短路径问题转化为异侧两点的最短路径问题，再根据“两点之间线段最短”，连接A'B，它与EF的交点即为所求建厂位置。
【解析】
(1) 绘制线段AB，用尺规作出AB的垂直平分线，该垂直平分线与河岸EF的交点记为M，点M即为到两村距离相等的建厂位置，作图时保留尺规作图痕迹。
(2) 先过点A作EF的垂线并延长，在延长线上取点A'，使A'到EF的距离等于A到EF的距离，即A'是A关于EF的对称点；连接A'B，线段A'B与EF的交点记为N，点N即为水管总长度最短的建厂位置，作图时保留作图痕迹。
【答案】
(1)如图，作线段AB的垂直平分线，与EF相交于点M. 点M处即为自来水厂所在的位置.
(2)如图，先作点A关于直线EF的对称点A'，再连接A'B，交EF于点N. 点N处即为自来水厂所在的位置.
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 轴对称的性质
3. 两点之间线段最短
【点评】
本题是几何性质在实际生活中的典型应用题，分别考查了距离相等类和最短路径类两类常见作图问题，解题核心是将实际需求对应到相应的几何性质，掌握这类基础作图方法是解决复杂几何应用问题的基础。
【难度系数】
0.8
(1) 要求自来水厂到A、B两村距离相等，即要在直线EF上找一点到点A、B的距离相等。根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，可知满足条件的点在线段AB的垂直平分线上，因此只需作出AB的垂直平分线，它与EF的交点即为所求建厂位置。
(2) 要求铺设的水管总长度最短，即要在EF上找一点使该点到A、B的距离之和最小。由于A、B在EF同侧，可利用轴对称的性质作点A关于EF的对称点A'，将同侧两点的最短路径问题转化为异侧两点的最短路径问题，再根据“两点之间线段最短”，连接A'B，它与EF的交点即为所求建厂位置。
【解析】
(1) 绘制线段AB，用尺规作出AB的垂直平分线，该垂直平分线与河岸EF的交点记为M，点M即为到两村距离相等的建厂位置，作图时保留尺规作图痕迹。
(2) 先过点A作EF的垂线并延长，在延长线上取点A'，使A'到EF的距离等于A到EF的距离，即A'是A关于EF的对称点；连接A'B，线段A'B与EF的交点记为N，点N即为水管总长度最短的建厂位置，作图时保留作图痕迹。
【答案】
(1)如图，作线段AB的垂直平分线，与EF相交于点M. 点M处即为自来水厂所在的位置.
(2)如图，先作点A关于直线EF的对称点A'，再连接A'B，交EF于点N. 点N处即为自来水厂所在的位置.
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 轴对称的性质
3. 两点之间线段最短
【点评】
本题是几何性质在实际生活中的典型应用题，分别考查了距离相等类和最短路径类两类常见作图问题，解题核心是将实际需求对应到相应的几何性质，掌握这类基础作图方法是解决复杂几何应用问题的基础。
【难度系数】
0.8
7. 下面是小东设计的用尺规作△ABC中BC边上的高的过程.
如图，已知△ABC.
求作：△ABC中BC边上的高AD.
作法：①以点B为圆心、BA的长为半径画弧，以点C为圆心、CA的长为半径画弧，两弧在BC的下方交于点E；
②连接AE交BC于点D，则线段AD是△ABC的边BC上的高.
根据小东设计的尺规作图过程，回答下列问题.
(1)补全图形.（保留作图痕迹，不要求写出作法）
(2)证明线段AD是△ABC中BC边上的高.
如图，已知△ABC.
求作：△ABC中BC边上的高AD.
作法：①以点B为圆心、BA的长为半径画弧，以点C为圆心、CA的长为半径画弧，两弧在BC的下方交于点E；
②连接AE交BC于点D，则线段AD是△ABC的边BC上的高.
根据小东设计的尺规作图过程，回答下列问题.
(1)补全图形.（保留作图痕迹，不要求写出作法）
(2)证明线段AD是△ABC中BC边上的高.
答案
7. (1)解：补全图形，如图所示.
(2)证明：如图，连接BE，CE.
∵BE=AB，CE=AC，
∴点B，C在线段AE的垂直平分线上.
∴BC垂直平分线段AE.
∴线段AD是△ABC中BC边上的高.
解析
【分析】
(1) 补全图形时，按照题目给出的作法步骤操作即可：先分别以B、C为圆心，BA、CA的长度为半径，在BC的下方画弧得到交点E，再连接AE与BC交于点D，注意保留作图的弧线痕迹。
(2) 要证明AD是BC边上的高，核心是证明AD⊥BC。首先从作图过程可以得到BE=AB、CE=AC，结合线段垂直平分线的判定定理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可知点B、C都在AE的垂直平分线上，再由两点确定一条直线，可推出BC是AE的垂直平分线，因此AD⊥BC，即AD为BC边上的高。
【解析】
(1) 按照作法补全图形：①以点B为圆心、BA的长为半径画弧，以点C为圆心、CA的长为半径画弧，两弧在BC下方交于点E；②连接AE交BC于点D，保留所有作图痕迹。
(2) 证明：连接BE、CE。
由作图的步骤可得：BE=AB，CE=AC，
根据线段垂直平分线的判定定理，可知点B、点C都在线段AE的垂直平分线上。
因为两点确定一条直线，所以BC垂直平分线段AE，因此AD⊥BC，即线段AD是△ABC中BC边上的高。
【答案】
(1) 补全图形，如图所示。
(2) 证明：如图，连接BE，CE。
∵BE=AB，CE=AC，
∴点B，C在线段AE的垂直平分线上。
∴BC垂直平分线段AE。
∴线段AD是△ABC中BC边上的高。
【知识点】
线段垂直平分线的判定、尺规作图、三角形高的定义
【点评】
本题将尺规作图和几何证明相结合，既考查了学生的动手作图能力，又考查了对线段垂直平分线判定定理的理解与应用，解题的关键是能从作图步骤中提取出相等的线段，结合相关定理完成推导，属于基础类题目。
【难度系数】
0.7
(1) 补全图形时，按照题目给出的作法步骤操作即可：先分别以B、C为圆心，BA、CA的长度为半径，在BC的下方画弧得到交点E，再连接AE与BC交于点D，注意保留作图的弧线痕迹。
(2) 要证明AD是BC边上的高，核心是证明AD⊥BC。首先从作图过程可以得到BE=AB、CE=AC，结合线段垂直平分线的判定定理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可知点B、C都在AE的垂直平分线上，再由两点确定一条直线，可推出BC是AE的垂直平分线，因此AD⊥BC，即AD为BC边上的高。
【解析】
(1) 按照作法补全图形：①以点B为圆心、BA的长为半径画弧，以点C为圆心、CA的长为半径画弧，两弧在BC下方交于点E；②连接AE交BC于点D，保留所有作图痕迹。
(2) 证明：连接BE、CE。
由作图的步骤可得：BE=AB，CE=AC，
根据线段垂直平分线的判定定理，可知点B、点C都在线段AE的垂直平分线上。
因为两点确定一条直线，所以BC垂直平分线段AE，因此AD⊥BC，即线段AD是△ABC中BC边上的高。
【答案】
(1) 补全图形，如图所示。
(2) 证明：如图，连接BE，CE。
∵BE=AB，CE=AC，
∴点B，C在线段AE的垂直平分线上。
∴BC垂直平分线段AE。
∴线段AD是△ABC中BC边上的高。
【知识点】
线段垂直平分线的判定、尺规作图、三角形高的定义
【点评】
本题将尺规作图和几何证明相结合，既考查了学生的动手作图能力，又考查了对线段垂直平分线判定定理的理解与应用，解题的关键是能从作图步骤中提取出相等的线段，结合相关定理完成推导，属于基础类题目。
【难度系数】
0.7
