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11. 把命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式：
如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等
.答案
11. 如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等
解析
【分析】
首先要明确命题由题设（已知条件）和结论（由条件推导得到的结果）两部分组成，改写为“如果……那么……”形式时，“如果”后接题设，“那么”后接结论。先拆分原命题“同角的余角相等”：题设是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”，将两部分内容梳理通顺后套入对应结构即可。
【解析】
1. 拆分原命题的题设和结论：
题设（已知条件）：两个角是同一个角的余角；
结论（推导结果）：这两个角相等。
2. 把题设放在“如果”之后，结论放在“那么”之后，调整语句保证通顺且不改变原意，即可得到改写后的命题。
【答案】
如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等
【知识点】
命题的构成，余角的性质
【点评】
本题考查命题的改写，解题核心是准确区分命题的题设和结论，改写时注意语句通顺，不能改变原命题的本来含义，属于基础类题型。
【难度系数】
0.9
首先要明确命题由题设（已知条件）和结论（由条件推导得到的结果）两部分组成，改写为“如果……那么……”形式时，“如果”后接题设，“那么”后接结论。先拆分原命题“同角的余角相等”：题设是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”，将两部分内容梳理通顺后套入对应结构即可。
【解析】
1. 拆分原命题的题设和结论：
题设（已知条件）：两个角是同一个角的余角；
结论（推导结果）：这两个角相等。
2. 把题设放在“如果”之后，结论放在“那么”之后，调整语句保证通顺且不改变原意，即可得到改写后的命题。
【答案】
如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等
【知识点】
命题的构成，余角的性质
【点评】
本题考查命题的改写，解题核心是准确区分命题的题设和结论，改写时注意语句通顺，不能改变原命题的本来含义，属于基础类题型。
【难度系数】
0.9
12. 命题“同位角相等”的条件是
两个角是同位角
.答案
12. 两个角是同位角
解析
【分析】
要确定命题的条件，首先要明确命题的结构：命题由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推导得到的事项。所有命题都可以改写为“如果……，那么……”的形式，其中“如果”后面的内容就是条件，“那么”后面的内容是结论。我们只要把题干中的命题改写为该形式，就能直接提取出条件。
【解析】
第一步：明确命题的改写规则：命题可改写为“如果+条件，那么+结论”的形式。
第二步：将“同位角相等”进行改写，得到：如果两个角是同位角，那么这两个角相等。
第三步：提取“如果”后的内容，即为该命题的条件。
【答案】
两个角是同位角
【知识点】
命题的结构；同位角的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是掌握命题的组成和改写方法，熟练掌握相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要确定命题的条件，首先要明确命题的结构：命题由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推导得到的事项。所有命题都可以改写为“如果……，那么……”的形式，其中“如果”后面的内容就是条件，“那么”后面的内容是结论。我们只要把题干中的命题改写为该形式，就能直接提取出条件。
【解析】
第一步：明确命题的改写规则：命题可改写为“如果+条件，那么+结论”的形式。
第二步：将“同位角相等”进行改写，得到：如果两个角是同位角，那么这两个角相等。
第三步：提取“如果”后的内容，即为该命题的条件。
【答案】
两个角是同位角
【知识点】
命题的结构；同位角的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是掌握命题的组成和改写方法，熟练掌握相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
13. 如图，已知$AB=AC$，$AD=AE$，$∠ BAC=∠ DAE$，$∠ 3=55°$，$∠ 2=30°$，则$∠ 1$的度数为
$25°$
。答案
13. $25°$
解析
【分析】
解题时先观察已知条件：给出两组边相等$AB=AC$、$AD=AE$，以及大角相等$∠BAC=∠DAE$，首先考虑证明三角形全等。先通过两个相等大角同时减去公共角$∠DAC$，得到两边的夹角$∠BAD=∠CAE$，满足SAS全等判定条件，证明$△BAD≌△CAE$，利用全等性质得到$∠ABD=∠2$；再结合三角形外角的性质，$∠3$是$△ABD$的外角，等于不相邻两个内角$∠1$与$∠ABD$的和，代入已知角度即可求出$∠1$的度数。
【解析】
解：$\because ∠BAC = ∠DAE$
$\therefore ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC$，即$∠BAD = ∠CAE$
在$△ BAD$和$△ CAE$中：
$\{\begin{array}{l}AB = AC（已知）\\∠BAD = ∠CAE（已证）\\AD = AE（已知）\end{array} $
$\therefore △ BAD ≌ △ CAE（SAS）$
$\therefore ∠ABD = ∠2 = 30°$
$\because ∠3$是$△ ABD$的外角，根据三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和
$\therefore ∠3 = ∠1 + ∠ABD$
$\therefore ∠1 = ∠3 - ∠ABD = 55° - 30° = 25°$
【答案】
$25°$
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形对应角相等，三角形外角性质
【点评】
本题是全等三角形与三角形角度计算的综合题，解题的关键是通过角的和差关系得到全等需要的等角，再结合外角性质计算未知角，属于全等三角形应用的基础题型，考察学生的逻辑推理和角度计算能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知条件：给出两组边相等$AB=AC$、$AD=AE$，以及大角相等$∠BAC=∠DAE$，首先考虑证明三角形全等。先通过两个相等大角同时减去公共角$∠DAC$，得到两边的夹角$∠BAD=∠CAE$，满足SAS全等判定条件，证明$△BAD≌△CAE$，利用全等性质得到$∠ABD=∠2$；再结合三角形外角的性质，$∠3$是$△ABD$的外角，等于不相邻两个内角$∠1$与$∠ABD$的和，代入已知角度即可求出$∠1$的度数。
【解析】
解：$\because ∠BAC = ∠DAE$
$\therefore ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC$，即$∠BAD = ∠CAE$
在$△ BAD$和$△ CAE$中：
$\{\begin{array}{l}AB = AC（已知）\\∠BAD = ∠CAE（已证）\\AD = AE（已知）\end{array} $
$\therefore △ BAD ≌ △ CAE（SAS）$
$\therefore ∠ABD = ∠2 = 30°$
$\because ∠3$是$△ ABD$的外角，根据三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和
$\therefore ∠3 = ∠1 + ∠ABD$
$\therefore ∠1 = ∠3 - ∠ABD = 55° - 30° = 25°$
【答案】
$25°$
【知识点】
SAS判定三角形全等，全等三角形对应角相等，三角形外角性质
【点评】
本题是全等三角形与三角形角度计算的综合题，解题的关键是通过角的和差关系得到全等需要的等角，再结合外角性质计算未知角，属于全等三角形应用的基础题型，考察学生的逻辑推理和角度计算能力。
【难度系数】
0.7
14. 如图，已知$△ ABC$和$△ ADE$，$AB=AD$，$∠ C=∠ E$.要使$△ ABC ≌ △ ADE$，还需要添加的一个条件是
$∠BAC=∠DAE$(答案不唯一)
.答案
14. $∠BAC=∠DAE$(答案不唯一)
解析
【分析】
首先梳理题目已给条件：已知△ABC和△ADE中，AB=AD（一组对应边相等），∠C=∠E（一组对应角相等）。要判定两三角形全等，结合全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS），目前已有一组边、一组角对应相等，只需补充一组对应角相等（满足AAS判定），或者补充BC=DE（也满足AAS判定）即可，本题选补充∠BAC=∠DAE为例讲解。
【解析】
已知在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠C=∠E，添加条件∠BAC=∠DAE，证明过程如下：
在△ABC和△ADE中：
$\{\begin{array}{l}∠C=∠E\\∠BAC=∠DAE\\AB=AD\end{array} $
∴△ABC≌△ADE（AAS）
除∠BAC=∠DAE外，添加∠B=∠ADE、BC=DE等条件也可证明两三角形全等，故答案不唯一。
【答案】
∠BAC=∠DAE（答案不唯一）
【知识点】
全等三角形的判定、AAS判定定理
【点评】
本题属于全等三角形判定的开放类基础题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，结合已知条件匹配对应的判定规则，添加合适的条件即可，注意不要添加不符合判定规则的条件（如SSA类条件）。
【难度系数】
0.8
首先梳理题目已给条件：已知△ABC和△ADE中，AB=AD（一组对应边相等），∠C=∠E（一组对应角相等）。要判定两三角形全等，结合全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS），目前已有一组边、一组角对应相等，只需补充一组对应角相等（满足AAS判定），或者补充BC=DE（也满足AAS判定）即可，本题选补充∠BAC=∠DAE为例讲解。
【解析】
已知在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠C=∠E，添加条件∠BAC=∠DAE，证明过程如下：
在△ABC和△ADE中：
$\{\begin{array}{l}∠C=∠E\\∠BAC=∠DAE\\AB=AD\end{array} $
∴△ABC≌△ADE（AAS）
除∠BAC=∠DAE外，添加∠B=∠ADE、BC=DE等条件也可证明两三角形全等，故答案不唯一。
【答案】
∠BAC=∠DAE（答案不唯一）
【知识点】
全等三角形的判定、AAS判定定理
【点评】
本题属于全等三角形判定的开放类基础题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，结合已知条件匹配对应的判定规则，添加合适的条件即可，注意不要添加不符合判定规则的条件（如SSA类条件）。
【难度系数】
0.8
15. 如图，已知∠CAB，D为射线AC上一点. 根据尺规作图痕迹，判断直线AB与DE的位置关系为
$AB// DE$
. 答案
15. $AB// DE$
解析
【分析】
解题时首先识别尺规作图的类型：图中痕迹是作一个角等于已知角，即构造出∠EDC=∠CAB；再观察这两个角的位置，它们是直线AB、DE被直线AC所截形成的同位角，最后根据平行线的判定定理即可判断两条直线的位置关系。
【解析】
由尺规作图的痕迹可知，所作的∠EDC与∠CAB相等，
∠EDC和∠CAB是直线AB、DE被直线AC所截得到的同位角，
根据“同位角相等，两直线平行”，可得$AB// DE$。
【答案】
$AB// DE$
【知识点】
尺规作一个角等于已知角；平行线的判定
【点评】
本题将尺规作图与平行线判定相结合，解题的关键是准确识别作图操作得到的角的等量关系，再结合角的位置关系利用判定定理得出结论，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先识别尺规作图的类型：图中痕迹是作一个角等于已知角，即构造出∠EDC=∠CAB；再观察这两个角的位置，它们是直线AB、DE被直线AC所截形成的同位角，最后根据平行线的判定定理即可判断两条直线的位置关系。
【解析】
由尺规作图的痕迹可知，所作的∠EDC与∠CAB相等，
∠EDC和∠CAB是直线AB、DE被直线AC所截得到的同位角，
根据“同位角相等，两直线平行”，可得$AB// DE$。
【答案】
$AB// DE$
【知识点】
尺规作一个角等于已知角；平行线的判定
【点评】
本题将尺规作图与平行线判定相结合，解题的关键是准确识别作图操作得到的角的等量关系，再结合角的位置关系利用判定定理得出结论，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
三、解答题(本大题共6个小题，共60分)
16. (本小题满分10分)
已知：如图，点A，D，E在同一条直线上，AB=AC，∠BAC=∠BDA=∠E=90°.
求证：△ABD≌△CAE.
16. (本小题满分10分)
已知：如图，点A，D，E在同一条直线上，AB=AC，∠BAC=∠BDA=∠E=90°.
求证：△ABD≌△CAE.
答案
16. 证明：$\because ∠ BAC=90°$,
$\therefore ∠ BAD+∠ CAE=90°$.
$\because ∠ BDA=90°$,
$\therefore ∠ BAD+∠ B=90°$.
$\therefore ∠ B=∠ CAE$.
在$△ ABD$ 和$△ CAE$ 中,
$\because\begin{cases}∠ BDA=∠ E,\\∠ B=∠ CAE,\\AB=AC,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ CAE(\mathrm{AAS})$.
$\therefore ∠ BAD+∠ CAE=90°$.
$\because ∠ BDA=90°$,
$\therefore ∠ BAD+∠ B=90°$.
$\therefore ∠ B=∠ CAE$.
在$△ ABD$ 和$△ CAE$ 中,
$\because\begin{cases}∠ BDA=∠ E,\\∠ B=∠ CAE,\\AB=AC,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ CAE(\mathrm{AAS})$.
解析
【分析】
要证明△ABD≌△CAE，先梳理已知条件：题目已给出AB=AC，∠BDA=∠E=90°，已经具备一组对应边相等、一组对应角相等，还需要找到另一组对应角相等即可完成证明。首先由∠BAC=90°可得∠BAD与∠CAE的和为90°，再由∠BDA=90°可得△ABD中∠B与∠BAD的和为90°，根据同角的余角相等即可推出∠B=∠CAE，此时满足AAS全等判定的条件，即可证明两个三角形全等。
【解析】
证明：$\because ∠ BAC=90°$,
$\therefore ∠ BAD+∠ CAE=90°$.
$\because ∠ BDA=90°$,
$\therefore ∠ BAD+∠ B=90°$.
$\therefore ∠ B=∠ CAE$.
在$△ ABD$ 和$△ CAE$ 中,
$\because\begin{cases}∠ BDA=∠ E,\\∠ B=∠ CAE,\\AB=AC,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ CAE(\mathrm{AAS})$.
【答案】
$△ ABD≌△ CAE$，得证。
【知识点】
同角的余角相等；全等三角形AAS判定
【点评】
本题是全等三角形证明的基础常规题，重点考查角的互余性质和全等三角形的判定方法，熟练掌握全等判定定理、学会推导相等的对应角是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
要证明△ABD≌△CAE，先梳理已知条件：题目已给出AB=AC，∠BDA=∠E=90°，已经具备一组对应边相等、一组对应角相等，还需要找到另一组对应角相等即可完成证明。首先由∠BAC=90°可得∠BAD与∠CAE的和为90°，再由∠BDA=90°可得△ABD中∠B与∠BAD的和为90°，根据同角的余角相等即可推出∠B=∠CAE，此时满足AAS全等判定的条件，即可证明两个三角形全等。
【解析】
证明：$\because ∠ BAC=90°$,
$\therefore ∠ BAD+∠ CAE=90°$.
$\because ∠ BDA=90°$,
$\therefore ∠ BAD+∠ B=90°$.
$\therefore ∠ B=∠ CAE$.
在$△ ABD$ 和$△ CAE$ 中,
$\because\begin{cases}∠ BDA=∠ E,\\∠ B=∠ CAE,\\AB=AC,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ CAE(\mathrm{AAS})$.
【答案】
$△ ABD≌△ CAE$，得证。
【知识点】
同角的余角相等；全等三角形AAS判定
【点评】
本题是全等三角形证明的基础常规题，重点考查角的互余性质和全等三角形的判定方法，熟练掌握全等判定定理、学会推导相等的对应角是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
