一、选择题
1. 下列运算中，结果是$a^6$的式子是（）

A.$a^2 · a^3$
B.$a^{12} - a^6$
C.$(a^3)^3$
D.$(-a)^6$

D

【分析】
本题考查整式的相关运算，解题思路是根据幂的运算法则、整式加减的规则逐一计算每个选项的结果，再与$a^6$比对即可选出正确答案。首先明确相关运算规则：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②幂的乘方，底数不变，指数相乘；③只有同类项才可以合并，非同类项不能直接加减；④负数的偶次幂为正。接下来依次验证各选项即可。
【解析】
我们逐个计算各选项的运算结果：
选项A：根据同底数幂的乘法法则，$a^2 · a^3 = a^{2+3}=a^5$，结果不是$a^6$，故A错误；
选项B：$a^{12}$和$a^6$所含字母相同但相同字母的指数不同，不属于同类项，无法直接合并，不能得到$a^6$，故B错误；
选项C：根据幂的乘方法则，$(a^3)^3 = a^{3×3}=a^9$，结果不是$a^6$，故C错误；
选项D：根据乘方的符号法则，负数的偶次幂为正，$(-a)^6 = (-1)^6 · a^6 = a^6$，符合要求，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
幂的运算，整式的加减，乘方的性质
【点评】
本题是基础运算题，核心考查对整式运算规则的掌握，易错点是混淆幂的两种运算的指数计算规则，以及忽略同类项才能合并的要求，熟练掌握基本运算法则即可快速答对。
【难度系数】
0.9

2.若a不为0，则$($$)^2$等于（）

A.$a^{n+2}$
B.$2a^n$
C.$a^{n^2}$
D.$a^{2n}$

D

【分析】
解题时先从乘方的定义入手：首先，n个相同的因数a相乘，可表示为a的n次方；接下来计算这个乘方的平方，需要用到幂的乘方的运算法则，按法则计算后对比选项即可得到答案。思考时要注意区分同底数幂乘法和幂的乘方的指数运算规则，避免出错。
【解析】
第一步：根据乘方的定义，$\underbrace{a· a· \dots · a}_{n个a}=a^n$；
第二步：计算$(a^n)^2$，根据幂的乘方运算规则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得：
$(a^n)^2=a^{n×2}=a^{2n}$。
对比选项，只有D选项符合计算结果。
【答案】
D
【知识点】
乘方的定义；幂的乘方运算
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查乘方的意义和幂的乘方的运算法则，熟练掌握相关运算规则就能快速解题，做题时要注意不要混淆幂的乘方（指数相乘）和同底数幂乘法（指数相加）的运算规则。
【难度系数】
0.9

3.下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是()

A.$(x+1)(1+x)$
B.$(\dfrac{1}{2}a+b)(b-\dfrac{1}{2}a)$
C.$(-a+b)(a-b)$
D.$(x^2 - y)(x + y^2)$

B

【分析】
要判断是否能用平方差公式计算，首先要明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中存在一组完全相同的项，另一组互为相反数的项，符合该特征即可用平方差公式，结果为相同项的平方减去相反项的平方。解题时依次分析每个选项的两个因式，找出对应的项判断是否符合特征即可。
【解析】
平方差公式的形式为：$\boxed{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，需满足：两个因式中有一组相同的项，一组互为相反数的项。
选项A：$(x+1)(1+x)=(x+1)^2$，两个因式的两项均完全相同，无互为相反数的项，不符合平方差公式特征，不能用平方差公式计算；
选项B：$(\dfrac{1}{2}a+b)(b-\dfrac{1}{2}a)$，相同项为$b$，互为相反数的项为$\dfrac{1}{2}a$和$-\dfrac{1}{2}a$，符合平方差公式特征，可计算为$b^2-(\dfrac{1}{2}a)^2$，可以用平方差公式计算；
选项C：$(-a+b)(a-b)=-(a-b)(a-b)=-(a-b)^2$，两个因式的两项均互为相反数，无完全相同的项，不符合平方差公式特征，不能用平方差公式计算；
选项D：$(x^2 - y)(x + y^2)$，两个因式中的项$x^2$与$x$、$-y$与$y^2$均不相同也不互为相反数，不符合平方差公式特征，不能用平方差公式计算。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式；多项式乘多项式
【点评】
本题重点考查平方差公式的适用条件，解题核心是准确识别两个因式中的相同项和相反项，熟记公式结构是快速解题的关键，是整式乘法部分的基础题型。
【难度系数】
0.8

4.计算：$6x^3y^2 ÷ 2x^2y^2 =$

解：
原式 = (6÷2)·(x³÷x²)·(y²÷y²)
= 3·x^(3-2)·y^(2-2)
= 3x·1
= 3x

【分析】
本题是单项式除以单项式的运算题，解题思路可按照单项式除法的运算规则分步推导：首先明确单项式除以单项式的运算顺序，先计算系数的商作为结果的系数，再分别对相同字母的幂做同底数幂的除法运算，运算时遵循“同底数幂相除，底数不变，指数相减”的规则，若某一字母的指数相减后为0，根据零指数幂的性质（非零数的0次幂等于1）化简该部分，最后将各部分运算结果相乘即可得到最终答案。
【解析】
根据单项式除以单项式的运算法则计算：
原式 = (6÷2)·(x³÷x²)·(y²÷y²)
= 3·x^(3-2)·y^(2-2)
$= 3·x^1·y^0$
= 3x·1
= 3x
【答案】
3x
【知识点】
1.单项式除以单项式法则
2.同底数幂的除法
3.零指数幂的性质
【点评】
本题是整式除法的基础典型题，主要考查单项式除法的运算规则，解题难度低，只要熟练掌握同底数幂的运算规则和零指数幂的化简方法，按照步骤计算即可快速得出正确结果，能有效帮助学生巩固整式除法的基础运算能力。
【难度系数】
0.85

5.若$a^2 - b^2 = 4$，则$(a - b)^2(a + b)^2$的值是。

$\boldsymbol{16}$

【分析】
解题时先观察所求式子的结构特征，回忆整式乘法的相关运算法则：首先逆用积的乘方运算法则，将两个乘方的乘积转化为乘积的乘方，此时括号内的式子恰好符合平方差公式的形式，再代入已知的$a^2 - b^2=4$进行计算即可得出结果。
【解析】
解：根据积的乘方的逆运算可得：
$(a - b)^2(a + b)^2 = [(a - b)(a + b)]^2$
根据平方差公式$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$，代入上式得：
$[(a - b)(a + b)]^2 = (a^2 - b^2)^2$
已知$a^2 - b^2 = 4$，代入得：
$(a^2 - b^2)^2 = 4^2 = 16$
【答案】
$\boldsymbol{16}$
【知识点】
平方差公式，积的乘方运算
【点评】
本题考查整式乘法公式和运算法则的灵活运用，解题的核心是熟练掌握公式的正用与逆用，将所求代数式转化为含已知条件的形式，整体代入即可快速求解。
【难度系数】
0.8

6.已知$(a+b-4)^0$无意义，且$ab=5$，则$a^2+b^2=$。

$\boldsymbol{6}$

【分析】
首先回忆零指数幂的相关规定：只有当底数不为0时，零指数幂才有意义，若零指数幂无意义，则底数为0，据此可先求出a+b的值；再观察待求式$a^2+b^2$，结合已知的$ab$的值，想到利用完全平方公式的变形公式$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 零指数幂的底数为0时，零指数幂无意义，
又
∵ $(a+b-4)^0$无意义，
∴ $a+b-4=0$，即$a+b=4$。
根据完全平方公式可得：
$a^2+b^2=(a+b)^2 - 2ab$
将$a+b=4$，$ab=5$代入上式：
原式$=4^2 - 2×5 = 16 - 10 = 6$
【答案】
$6$
【知识点】
零指数幂的意义；完全平方公式
【点评】
本题是基础运算题，解题的关键是先根据零指数幂无意义的条件求出$a+b$的值，再灵活运用完全平方公式的变形代入计算，掌握相关概念和公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8

三、计算题
7.计算:$(a+5)(a-5)-3a(a-1).$

解：
原式$=a^2 - 25 - 3a(a - 1)$
$=a^2 - 25 - 3a^2 + 3a$
$=-2a^2 + 3a - 25$

【分析】
这是一道整式混合运算题，解题遵循“先乘除、后加减”的运算顺序：首先计算乘法部分，其中$(a+5)(a-5)$符合平方差公式的结构，可直接用平方差公式快速计算，$3a(a-1)$属于单项式乘多项式，按照对应运算法则展开即可；随后去括号，注意括号前为负号时，括号内各项都要变号；最后合并同类项就能得到结果。
【解析】
原式$=a^2 - 25 - 3a(a - 1)$
$=a^2 - 25 - 3a^2 + 3a$
$=-2a^2 + 3a - 25$
【答案】
$-2a^2 + 3a - 25$
【知识点】
平方差公式，单项式乘多项式，合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题，主要考查整式运算的顺序与相关运算法则的应用，解题的易错点是去括号时的符号变化，熟练掌握乘法公式和运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8

8.阅读下面这名同学的解题过程,并完成任务.
先化简,再求值:$[(a-2b)^2 - a(a-3b)]÷(-b)$,其中$a=1,b=2$.
解:原式$=(a^2 -4ab +4b^2 -a^2 -3ab)÷(-b)$ ………第一步
$=(-7ab +4b^2)÷(-b)$ ………第二步
$=7a -4b$. ………第三步
当$a=1,b=2$时,原式$=7×1 -4×2=-1$. ………第四步
任务:
(1)第一步运用到的乘法公式是;
(2)以上步骤从第步开始出现错误,错误的原因是;
(3)请你写出正确的解答过程.

(1) 完全平方公式（或$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$）
(2) 一；去括号时，$-a(a-3b)$展开运算错误，没有正确变号，误将$+3ab$写为$-3ab$
(3) 解：原式$=[a^2 -4ab +4b^2 -a^2 +3ab]÷(-b)$
$=(-ab +4b^2)÷(-b)$
$=(-ab)÷(-b) + 4b^2÷(-b)$
$=a -4b$
当$a=1$，$b=2$时，
原式$=1 - 4×2 = 1-8=-7$。

【分析】
对于任务(1)，观察第一步对$(a-2b)^2$的展开形式，对应所学乘法公式即可判断；对于任务(2)，逐步骤核验运算规则：第一步展开$-a(a-3b)$时，括号前为负号，括号内各项应变号，解题过程中符号处理错误，因此第一步就出现问题；对于任务(3)，按照整式混合运算顺序，先算乘方、单项式乘多项式，再合并同类项，之后计算整式除法，最后代入数值计算即可，全程重点注意去括号的符号变化。
【解析】
(1) 第一步将$(a-2b)^2$展开为$a^2-4ab+4b^2$，运用的乘法公式是完全平方公式，即$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。
(2) 第一步中展开$-a(a-3b)$的正确结果应为$-a^2+3ab$，但解题过程中误写为$-a^2-3ab$，因此从第一步开始出现错误，错误原因是去括号时，$-a(a-3b)$展开运算错误，没有正确变号，误将$+3ab$写为$-3ab$。
(3) 正确解答过程：
原式$=[a^2 -4ab +4b^2 -a^2 +3ab]÷(-b)$
$=(-ab +4b^2)÷(-b)$
$=(-ab)÷(-b) + 4b^2÷(-b)$
$=a -4b$
当$a=1$，$b=2$时，
原式$=1 - 4×2 = 1-8=-7$。
【答案】
(1) 完全平方公式（或$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$）
(2) 一；去括号时，$-a(a-3b)$展开运算错误，没有正确变号，误将$+3ab$写为$-3ab$
(3) 化简结果为$a-4b$，代入求值结果为$-7$
【知识点】
完全平方公式，整式混合运算，去括号法则
【点评】
本题考查整式化简求值的相关知识，核心易错点是去括号的符号处理，这类题型要求学生运算时逐步骤核验规则，养成检查的习惯，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.7