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四、解答题
9. 已知 $2^n = a$，$5^n = b$，$20^n = c$，试探究 $a$，$b$，$c$ 之间的数量关系。
9. 已知 $2^n = a$，$5^n = b$，$20^n = c$，试探究 $a$，$b$，$c$ 之间的数量关系。
答案
解：
因为$20^n=(4×5)^n=(2^2×5)^n$，
根据积的乘方运算法则，可得：
$(2^2×5)^n=(2^2)^n · 5^n=(2^n)^2 · 5^n$，
将$2^n=a$，$5^n=b$，$20^n=c$代入上式，得：
$c=a^2b$。
因为$20^n=(4×5)^n=(2^2×5)^n$，
根据积的乘方运算法则，可得：
$(2^2×5)^n=(2^2)^n · 5^n=(2^n)^2 · 5^n$，
将$2^n=a$，$5^n=b$，$20^n=c$代入上式，得：
$c=a^2b$。
解析
【分析】
解题时首先观察三个已知等式的底数，发现20可以分解为$2^2×5$，和已知的底数2、5直接相关。接下来我们可以利用幂的运算性质对$20^n$进行变形，将其转化为含有$2^n$和$5^n$的表达式，最后代入已知的a、b、c，就能推导出三者的数量关系。
【解析】
解：因为$20^n=(4×5)^n=(2^2×5)^n$，
根据积的乘方运算法则，可得：
$(2^2×5)^n=(2^2)^n · 5^n$
再根据幂的乘方运算法则，可得$(2^2)^n=(2^n)^2$，因此：
$20^n=(2^n)^2 · 5^n$
将$2^n = a$，$5^n = b$，$20^n = c$代入上式，得：
$c=a^2b$
【答案】
$c=a^2b$
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算
【点评】
本题考查幂的运算性质的灵活应用，解题的核心是将待求式的底数合理拆分为与已知条件底数相关的形式，再通过幂的运算法则变形代换即可得到结论，属于幂的运算的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察三个已知等式的底数，发现20可以分解为$2^2×5$，和已知的底数2、5直接相关。接下来我们可以利用幂的运算性质对$20^n$进行变形，将其转化为含有$2^n$和$5^n$的表达式，最后代入已知的a、b、c，就能推导出三者的数量关系。
【解析】
解：因为$20^n=(4×5)^n=(2^2×5)^n$，
根据积的乘方运算法则，可得：
$(2^2×5)^n=(2^2)^n · 5^n$
再根据幂的乘方运算法则，可得$(2^2)^n=(2^n)^2$，因此：
$20^n=(2^n)^2 · 5^n$
将$2^n = a$，$5^n = b$，$20^n = c$代入上式，得：
$c=a^2b$
【答案】
$c=a^2b$
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算
【点评】
本题考查幂的运算性质的灵活应用，解题的核心是将待求式的底数合理拆分为与已知条件底数相关的形式，再通过幂的运算法则变形代换即可得到结论，属于幂的运算的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
10.阅读材料：
已知$a^2 + a - 3 = 0$，求$a^2(a + 4)$的值.
解：$\because a^2 + a - 3 = 0$，
$\therefore a^2 = 3 - a$.
$\therefore a^2(a + 4) = (3 - a)(a + 4)$
$= -a^2 - a + 12$
$= -(3 - a) - a + 12$
$= -3 + a - a + 12$
$= 9$.
根据上述材料，解答下列问题：
(1)若$a^2 - a - 10 = 0$，则$2(a + 4)·(a - 5)$的值为；
(2)若$x^2 + 4x - 1 = 0$，求代数式$2x^4 + 8x^3 - 4x^2 - 8x + 1$的值.
已知$a^2 + a - 3 = 0$，求$a^2(a + 4)$的值.
解：$\because a^2 + a - 3 = 0$，
$\therefore a^2 = 3 - a$.
$\therefore a^2(a + 4) = (3 - a)(a + 4)$
$= -a^2 - a + 12$
$= -(3 - a) - a + 12$
$= -3 + a - a + 12$
$= 9$.
根据上述材料，解答下列问题：
(1)若$a^2 - a - 10 = 0$，则$2(a + 4)·(a - 5)$的值为；
(2)若$x^2 + 4x - 1 = 0$，求代数式$2x^4 + 8x^3 - 4x^2 - 8x + 1$的值.
答案
(1) $\boldsymbol{-20}$；(2) 代数式的值为$\boldsymbol{-1}$。
解析
【分析】
本题采用整体代入与降次的思想解题，无需直接求出未知数的值：
(1) 先将要求的代数式展开，整理出已知等式中含有的$a^2 - a$的整体形式，再代入已知条件计算即可；
(2) 观察所求高次代数式的结构，通过提取公因式凑出已知条件中的$x^2 + 4x$的整体形式，逐步降次后代入求值，简化计算过程。
【解析】
(1) 先展开化简代数式：
$2(a + 4)(a - 5)=2(a^2 -5a +4a -20)=2(a^2 -a -20)$
由$a^2 - a -10=0$可得：$a^2 -a=10$
将$a^2 -a=10$代入上式：
原式$=2×(10 - 20)=2×(-10)=-20$
(2) 由$x^2 +4x -1=0$可得：$x^2 +4x=1$
对所求代数式逐步变形：
$2x^4 +8x^3 -4x^2 -8x +1$
$=2x^2(x^2 +4x) -4x^2 -8x +1$
将$x^2 +4x=1$代入，得：
原式$=2x^2×1 -4x^2 -8x +1=-2x^2 -8x +1$
提取公因式得：$-2(x^2 +4x) +1$
再将$x^2 +4x=1$代入：
原式$=-2×1 +1=-1$
【答案】
(1) $-20$；(2) $-1$
【知识点】
整式乘法运算，整体代入求值，降次化简
【点评】
本题是整式化简求值的典型题型，解题核心是避免直接求解未知数，而是通过对所求代数式变形，结合已知条件构造相同的整式整体代入，大幅降低计算难度，也体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
本题采用整体代入与降次的思想解题，无需直接求出未知数的值：
(1) 先将要求的代数式展开，整理出已知等式中含有的$a^2 - a$的整体形式，再代入已知条件计算即可；
(2) 观察所求高次代数式的结构，通过提取公因式凑出已知条件中的$x^2 + 4x$的整体形式，逐步降次后代入求值，简化计算过程。
【解析】
(1) 先展开化简代数式：
$2(a + 4)(a - 5)=2(a^2 -5a +4a -20)=2(a^2 -a -20)$
由$a^2 - a -10=0$可得：$a^2 -a=10$
将$a^2 -a=10$代入上式：
原式$=2×(10 - 20)=2×(-10)=-20$
(2) 由$x^2 +4x -1=0$可得：$x^2 +4x=1$
对所求代数式逐步变形：
$2x^4 +8x^3 -4x^2 -8x +1$
$=2x^2(x^2 +4x) -4x^2 -8x +1$
将$x^2 +4x=1$代入，得：
原式$=2x^2×1 -4x^2 -8x +1=-2x^2 -8x +1$
提取公因式得：$-2(x^2 +4x) +1$
再将$x^2 +4x=1$代入：
原式$=-2×1 +1=-1$
【答案】
(1) $-20$；(2) $-1$
【知识点】
整式乘法运算，整体代入求值，降次化简
【点评】
本题是整式化简求值的典型题型，解题核心是避免直接求解未知数，而是通过对所求代数式变形，结合已知条件构造相同的整式整体代入，大幅降低计算难度，也体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
11. 提升题 图①是由边长分别为$a,b(a＞b)$的两个正方形拼成的图形，其面积为$S_1$.图②是长、宽分别为$a,b$的长方形，其面积为$S_2$.
(1)若图③是由图①、图②中的图形补成的大正方形，其面积为$S_3$，则$S_1,S_2,S_3$之间的数量关系是.
(2)对于图③，通过两种不同方法计算它的面积，可以得到一个代数恒等式是.
(3)在边长为$a$的正方形中放入两个边长为$b$的小正方形，得到图④所示的图形.若$S_1=16,S_2=5$，求图④中阴影部分的面积.
(1)若图③是由图①、图②中的图形补成的大正方形，其面积为$S_3$，则$S_1,S_2,S_3$之间的数量关系是.
(2)对于图③，通过两种不同方法计算它的面积，可以得到一个代数恒等式是.
(3)在边长为$a$的正方形中放入两个边长为$b$的小正方形，得到图④所示的图形.若$S_1=16,S_2=5$，求图④中阴影部分的面积.
答案
解：
(1) 由题意得 $S_1=a^2+b^2$，$S_2=ab$，图③的大正方形边长为 $a+b$，因此 $S_3=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，可得数量关系：
$S_1+2S_2=S_3$
(2) 方法1：直接计算边长为 $a+b$ 的大正方形面积，得 $S_3=(a+b)^2$；
方法2：将图形拆分为两个边长分别为 $a,b$ 的正方形和两个长为 $a$ 宽为 $b$ 的长方形，面积和为 $a^2+2ab+b^2$，因此代数恒等式为：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
(3) 由题意可知：
$a^2+b^2=S_1=16$，$ab=S_2=5$。
通过割补法可得图④阴影部分面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}(a^2-2ab+b^2)=\frac{1}{2}(a^2+b^2-2ab)$
代入数值计算：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}×(16-2×5)=\frac{1}{2}×6=3$
答：图④中阴影部分的面积为3。
(1) 由题意得 $S_1=a^2+b^2$，$S_2=ab$，图③的大正方形边长为 $a+b$，因此 $S_3=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，可得数量关系：
$S_1+2S_2=S_3$
(2) 方法1：直接计算边长为 $a+b$ 的大正方形面积，得 $S_3=(a+b)^2$；
方法2：将图形拆分为两个边长分别为 $a,b$ 的正方形和两个长为 $a$ 宽为 $b$ 的长方形，面积和为 $a^2+2ab+b^2$，因此代数恒等式为：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
(3) 由题意可知：
$a^2+b^2=S_1=16$，$ab=S_2=5$。
通过割补法可得图④阴影部分面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}(a^2-2ab+b^2)=\frac{1}{2}(a^2+b^2-2ab)$
代入数值计算：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}×(16-2×5)=\frac{1}{2}×6=3$
答：图④中阴影部分的面积为3。
解析
【分析】
(1) 首先分别推导三个面积的代数式：$S_1$是边长为$a$、$b$的正方形面积之和，即$S_1=a^2+b^2$；$S_2$是长为$a$、宽为$b$的长方形面积，即$S_2=ab$；图③是边长为$(a+b)$的大正方形，面积$S_3=(a+b)^2$，展开后对比三者代数式即可得到数量关系。
(2) 用两种方法计算图③的面积：第一种直接按正方形面积公式计算边长为$(a+b)$的正方形面积，第二种将大正方形拆分为2个小正方形和2个长方形求面积和，两个结果相等即可得到代数恒等式。
(3) 先根据已知$S_1$、$S_2$的值得出$a^2+b^2$和$ab$的数值，再通过割补法推导图④阴影部分的面积表达式，将表达式转化为含$a^2+b^2$和$ab$的形式，最后代入数值计算即可。
【解析】
(1) 由题意得：
$S_1=a^2+b^2$，$S_2=ab$，
图③大正方形的边长为$a+b$，因此$S_3=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
整理可得数量关系：$S_1+2S_2=S_3$。
(2) 方法1：直接计算大正方形面积，边长为$a+b$，故$S_3=(a+b)^2$；
方法2：将大正方形拆分为边长为$a$的正方形、边长为$b$的正方形，以及2个长$a$宽$b$的长方形，总面积为$a^2+2ab+b^2$。
两种方法计算同一图形的面积，因此代数恒等式为：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
(3) 已知$S_1=16$，$S_2=5$，因此可得：
$a^2 + b^2 = 16$，$ab=5$。
通过割补法推导图④阴影部分的面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}(a^2-2ab+b^2)=\frac{1}{2}(a^2+b^2-2ab)$，
将$a^2 + b^2=16$，$ab=5$代入上式得：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}×(16 - 2×5)=\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
(1) $S_1+2S_2=S_3$
(2) $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
(3) $3$
【知识点】
完全平方公式，割补法求面积，代数式求值
【点评】
本题结合几何图形考查完全平方公式的几何意义，以及面积和差的计算，解题时需要运用数形结合思想，灵活转换图形面积和代数恒等式，同时要熟练掌握完全平方公式的变形应用。
【难度系数】
0.6
(1) 首先分别推导三个面积的代数式：$S_1$是边长为$a$、$b$的正方形面积之和，即$S_1=a^2+b^2$；$S_2$是长为$a$、宽为$b$的长方形面积，即$S_2=ab$；图③是边长为$(a+b)$的大正方形，面积$S_3=(a+b)^2$，展开后对比三者代数式即可得到数量关系。
(2) 用两种方法计算图③的面积：第一种直接按正方形面积公式计算边长为$(a+b)$的正方形面积，第二种将大正方形拆分为2个小正方形和2个长方形求面积和，两个结果相等即可得到代数恒等式。
(3) 先根据已知$S_1$、$S_2$的值得出$a^2+b^2$和$ab$的数值，再通过割补法推导图④阴影部分的面积表达式，将表达式转化为含$a^2+b^2$和$ab$的形式，最后代入数值计算即可。
【解析】
(1) 由题意得：
$S_1=a^2+b^2$，$S_2=ab$，
图③大正方形的边长为$a+b$，因此$S_3=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
整理可得数量关系：$S_1+2S_2=S_3$。
(2) 方法1：直接计算大正方形面积，边长为$a+b$，故$S_3=(a+b)^2$；
方法2：将大正方形拆分为边长为$a$的正方形、边长为$b$的正方形，以及2个长$a$宽$b$的长方形，总面积为$a^2+2ab+b^2$。
两种方法计算同一图形的面积，因此代数恒等式为：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
(3) 已知$S_1=16$，$S_2=5$，因此可得：
$a^2 + b^2 = 16$，$ab=5$。
通过割补法推导图④阴影部分的面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}(a^2-2ab+b^2)=\frac{1}{2}(a^2+b^2-2ab)$，
将$a^2 + b^2=16$，$ab=5$代入上式得：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}×(16 - 2×5)=\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
(1) $S_1+2S_2=S_3$
(2) $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
(3) $3$
【知识点】
完全平方公式，割补法求面积，代数式求值
【点评】
本题结合几何图形考查完全平方公式的几何意义，以及面积和差的计算，解题时需要运用数形结合思想，灵活转换图形面积和代数恒等式，同时要熟练掌握完全平方公式的变形应用。
【难度系数】
0.6
