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10.下面是小文同学进行整式化简的过程,请认真阅读并完成相应任务.
解:$(3x+2)(3x-2)-(3x-1)^2$
$=(3x)^2-2^2-[(3x)^2-6x+1]$
……第一步
$=9x^2-4-(9x^2-6x+1)$
……第二步
$=9x^2-4-9x^2-6x-1$
……第三步
$=-6x-5.$
……第四步
任务一:
(1)以上解题过程中,用到的乘法公式有________(写出一个即可).
(2)从第________步开始出现错误,错误的原因是________.
任务二:
(3)请写出该整式化简的正确解答过程.
解:$(3x+2)(3x-2)-(3x-1)^2$
$=(3x)^2-2^2-[(3x)^2-6x+1]$
……第一步
$=9x^2-4-(9x^2-6x+1)$
……第二步
$=9x^2-4-9x^2-6x-1$
……第三步
$=-6x-5.$
……第四步
任务一:
(1)以上解题过程中,用到的乘法公式有________(写出一个即可).
(2)从第________步开始出现错误,错误的原因是________.
任务二:
(3)请写出该整式化简的正确解答过程.
答案
解：
(1) 平方差公式（或完全平方公式）
(2) 三；去括号时，括号前是负号，括号内的各项没有全部变号
(3) 正确解答过程：
$\begin{aligned}&(3x+2)(3x-2)-(3x-1)^2\\=&(3x)^2 - 2^2 - [(3x)^2 - 6x + 1]\\=&9x^2 - 4 - (9x^2 - 6x + 1)\\=&9x^2 - 4 - 9x^2 + 6x - 1\\=&6x - 5\end{aligned}$
(1) 平方差公式（或完全平方公式）
(2) 三；去括号时，括号前是负号，括号内的各项没有全部变号
(3) 正确解答过程：
$\begin{aligned}&(3x+2)(3x-2)-(3x-1)^2\\=&(3x)^2 - 2^2 - [(3x)^2 - 6x + 1]\\=&9x^2 - 4 - (9x^2 - 6x + 1)\\=&9x^2 - 4 - 9x^2 + 6x - 1\\=&6x - 5\end{aligned}$
解析
【分析】
这道题是整式化简的纠错与计算类题目，解题思路如下：①针对任务一(1)，观察化简第一步的变形，(3x+2)(3x-2)展开用了平方差公式，(3x-1)²展开用了完全平方公式，任写一个即可；②针对任务一(2)，逐步骤核对运算规则，重点核查去括号时的符号变化，第三步去括号时括号前为负号，括号内的-6x没有变号，因此第三步开始出错；③针对任务二，按照乘法公式展开、去括号、合并同类项的顺序，遵循运算法则重新计算即可得到正确结果。
【解析】
(1) 解题第一步分别用到了平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$和完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，写出其中一个即可。
(2) 逐步骤检查：前两步利用乘法公式展开、计算平方项均正确；第三步去括号时，括号前是负号，根据去括号法则，去掉括号后括号内所有项都要改变符号，原式中括号内的$-6x$未变为$+6x$，因此从第三步开始出现错误。
(3) 正确解答过程如下：
$\begin{aligned}&(3x+2)(3x-2)-(3x-1)^2\\=&(3x)^2 - 2^2 - [(3x)^2 - 6x + 1]\\=&9x^2 - 4 - (9x^2 - 6x + 1)\\=&9x^2 - 4 - 9x^2 + 6x - 1\\=&6x - 5\end{aligned}$
【答案】
(1) 平方差公式（或完全平方公式）
(2) 三；去括号时，括号前是负号，括号内的各项没有全部变号
(3) 化简的正确结果为$\boldsymbol{6x-5}$，完整过程见解析
【知识点】
乘法公式，去括号法则，整式化简
【点评】
本题是整式运算的基础常考题，既考查了平方差、完全平方公式的应用，也重点考查去括号时的符号处理，是整式运算的易错题型，平时练习时要养成做完检查符号的习惯，减少运算失误。
【难度系数】
0.7
这道题是整式化简的纠错与计算类题目，解题思路如下：①针对任务一(1)，观察化简第一步的变形，(3x+2)(3x-2)展开用了平方差公式，(3x-1)²展开用了完全平方公式，任写一个即可；②针对任务一(2)，逐步骤核对运算规则，重点核查去括号时的符号变化，第三步去括号时括号前为负号，括号内的-6x没有变号，因此第三步开始出错；③针对任务二，按照乘法公式展开、去括号、合并同类项的顺序，遵循运算法则重新计算即可得到正确结果。
【解析】
(1) 解题第一步分别用到了平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$和完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，写出其中一个即可。
(2) 逐步骤检查：前两步利用乘法公式展开、计算平方项均正确；第三步去括号时，括号前是负号，根据去括号法则，去掉括号后括号内所有项都要改变符号，原式中括号内的$-6x$未变为$+6x$，因此从第三步开始出现错误。
(3) 正确解答过程如下：
$\begin{aligned}&(3x+2)(3x-2)-(3x-1)^2\\=&(3x)^2 - 2^2 - [(3x)^2 - 6x + 1]\\=&9x^2 - 4 - (9x^2 - 6x + 1)\\=&9x^2 - 4 - 9x^2 + 6x - 1\\=&6x - 5\end{aligned}$
【答案】
(1) 平方差公式（或完全平方公式）
(2) 三；去括号时，括号前是负号，括号内的各项没有全部变号
(3) 化简的正确结果为$\boldsymbol{6x-5}$，完整过程见解析
【知识点】
乘法公式，去括号法则，整式化简
【点评】
本题是整式运算的基础常考题，既考查了平方差、完全平方公式的应用，也重点考查去括号时的符号处理，是整式运算的易错题型，平时练习时要养成做完检查符号的习惯，减少运算失误。
【难度系数】
0.7
11. 提升题 若$x$满足$(30-x)(x-10)=100$,求$(30-x)^2+(x-10)^2$的值.
解:设$30-x=a,x-10=b$.
则$(30-x)(x-10)=ab=100,a+b=(30-x)+(x-10)=20$.
$\therefore (30-x)^2+(x-10)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=20^2-2×100=200$.
【解决问题】
(1)若$x$满足$(2026-x)^2+(x-2025)^2=2024$,求$(2026-x)(x-2025)$的值.
(2)如图,在长方形$ABCD$中,$AB=20,BC=12,E,F$是$BC,CD$上的点,且$BE=DF=x$.分别以$FC,CE$为边在长方形$ABCD$外侧作正方形$CFGH$和正方形$CEMN$.若长方形$CEPF$的面积为160,求图中阴影部分的面积的和.
解:设$30-x=a,x-10=b$.
则$(30-x)(x-10)=ab=100,a+b=(30-x)+(x-10)=20$.
$\therefore (30-x)^2+(x-10)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=20^2-2×100=200$.
【解决问题】
(1)若$x$满足$(2026-x)^2+(x-2025)^2=2024$,求$(2026-x)(x-2025)$的值.
(2)如图,在长方形$ABCD$中,$AB=20,BC=12,E,F$是$BC,CD$上的点,且$BE=DF=x$.分别以$FC,CE$为边在长方形$ABCD$外侧作正方形$CFGH$和正方形$CEMN$.若长方形$CEPF$的面积为160,求图中阴影部分的面积的和.
答案
解：(1) 设$a=2026-x$，$b=x-2025$，
则$a^2+b^2=2024$，
$a+b=(2026-x)+(x-2025)=1$。
$\because (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
$\therefore 1^2=2024+2ab$，
$\therefore 2ab=1-2024=-2023$，
$\therefore ab=-\dfrac{2023}{2}$，
即$(2026-x)(x-2025)$的值为$-\dfrac{2023}{2}$。
(2) 由题意得：$FC=20-x$，$CE=12-x$，
阴影部分的面积和为$FC^2+CE^2$，
且长方形$CEPF$的面积为$FC· CE=(20-x)(12-x)=160$。
设$a=20-x$，$b=12-x$，
则$ab=160$，
$a-b=(20-x)-(12-x)=8$。
$\because (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，
$\therefore a^2+b^2=(a-b)^2+2ab=8^2+2×160=64+320=384$。
答：图中阴影部分的面积的和为384。
则$a^2+b^2=2024$，
$a+b=(2026-x)+(x-2025)=1$。
$\because (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
$\therefore 1^2=2024+2ab$，
$\therefore 2ab=1-2024=-2023$，
$\therefore ab=-\dfrac{2023}{2}$，
即$(2026-x)(x-2025)$的值为$-\dfrac{2023}{2}$。
(2) 由题意得：$FC=20-x$，$CE=12-x$，
阴影部分的面积和为$FC^2+CE^2$，
且长方形$CEPF$的面积为$FC· CE=(20-x)(12-x)=160$。
设$a=20-x$，$b=12-x$，
则$ab=160$，
$a-b=(20-x)-(12-x)=8$。
$\because (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，
$\therefore a^2+b^2=(a-b)^2+2ab=8^2+2×160=64+320=384$。
答：图中阴影部分的面积的和为384。
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的变形应用，可通过换元法简化计算：
(1) 第一问中两个代数式$(2026-x)$和$(x-2025)$相加可消去$x$，因此设两个式子分别为$a$、$b$，已知$a^2+b^2$的值，先求出$a+b$的结果，再利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$变形，即可求出$ab$也就是所求式子的值。
(2) 第二问先根据图形边长关系表示出两个阴影正方形的边长$FC$和$CE$，可知阴影面积和为$FC^2+CE^2$，长方形$CEPF$的面积为$FC· CE$；同样设$FC=a$、$CE=b$，先求出$a-b$的结果，再利用完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$变形，代入$ab$的值即可求出$a^2+b^2$，即阴影部分的面积和。
【解析】
(1) 设$a=2026-x$，$b=x-2025$，
则根据题意得$a^2+b^2=2024$，
$a+b=(2026-x)+(x-2025)=1$。
由完全平方公式可得$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
将已知值代入得：$1^2=2024+2ab$，
移项计算得$2ab=1-2024=-2023$，
$\therefore ab=-\dfrac{2023}{2}$。
(2) 由题意可知：$FC=CD-DF=AB-DF=20-x$，$CE=BC-BE=12-x$，
阴影部分面积和为正方形$CFGH$与正方形$CEMN$的面积和，即$FC^2+CE^2$，
长方形$CEPF$的面积为$FC· CE=(20-x)(12-x)=160$。
设$a=20-x$，$b=12-x$，则$ab=160$，
$a-b=(20-x)-(12-x)=8$。
由完全平方公式可得$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，变形得$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$，
代入数值计算：$a^2+b^2=8^2+2×160=64+320=384$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-\dfrac{2023}{2}}$；(2) $\boldsymbol{384}$
【知识点】
完全平方公式；换元法；代数式求值
【点评】
本题将代数运算与几何图形结合，重点考查完全平方公式的灵活变形能力，通过换元法消去未知数$x$，大幅简化了计算过程。题目既要求熟练掌握完全平方公式的各类变形，也需要具备从图形中提取数量关系的能力，体现了转化思想和数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
本题考查完全平方公式的变形应用，可通过换元法简化计算：
(1) 第一问中两个代数式$(2026-x)$和$(x-2025)$相加可消去$x$，因此设两个式子分别为$a$、$b$，已知$a^2+b^2$的值，先求出$a+b$的结果，再利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$变形，即可求出$ab$也就是所求式子的值。
(2) 第二问先根据图形边长关系表示出两个阴影正方形的边长$FC$和$CE$，可知阴影面积和为$FC^2+CE^2$，长方形$CEPF$的面积为$FC· CE$；同样设$FC=a$、$CE=b$，先求出$a-b$的结果，再利用完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$变形，代入$ab$的值即可求出$a^2+b^2$，即阴影部分的面积和。
【解析】
(1) 设$a=2026-x$，$b=x-2025$，
则根据题意得$a^2+b^2=2024$，
$a+b=(2026-x)+(x-2025)=1$。
由完全平方公式可得$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
将已知值代入得：$1^2=2024+2ab$，
移项计算得$2ab=1-2024=-2023$，
$\therefore ab=-\dfrac{2023}{2}$。
(2) 由题意可知：$FC=CD-DF=AB-DF=20-x$，$CE=BC-BE=12-x$，
阴影部分面积和为正方形$CFGH$与正方形$CEMN$的面积和，即$FC^2+CE^2$，
长方形$CEPF$的面积为$FC· CE=(20-x)(12-x)=160$。
设$a=20-x$，$b=12-x$，则$ab=160$，
$a-b=(20-x)-(12-x)=8$。
由完全平方公式可得$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，变形得$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$，
代入数值计算：$a^2+b^2=8^2+2×160=64+320=384$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-\dfrac{2023}{2}}$；(2) $\boldsymbol{384}$
【知识点】
完全平方公式；换元法；代数式求值
【点评】
本题将代数运算与几何图形结合，重点考查完全平方公式的灵活变形能力，通过换元法消去未知数$x$，大幅简化了计算过程。题目既要求熟练掌握完全平方公式的各类变形，也需要具备从图形中提取数量关系的能力，体现了转化思想和数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
