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1.计算$(-2026)^0=$
答案
$\boldsymbol{1}$
解析
【分析】
解题时首先回忆零指数幂的运算规则，明确零指数幂成立的前提是底数不为0，先判断本题的底数-2026是否满足底数不为0的条件，再代入法则计算即可得到结果。
【解析】
根据零指数幂的运算法则：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即$a^0=1$（$a≠0$）。
本题中底数为$-2026$，显然$-2026≠0$，满足零指数幂的成立条件，因此$(-2026)^0=1$。
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
零指数幂运算
【点评】
本题属于基础运算题，解题的核心是牢记零指数幂的运算规则，注意底数不为0的前提条件即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆零指数幂的运算规则，明确零指数幂成立的前提是底数不为0，先判断本题的底数-2026是否满足底数不为0的条件，再代入法则计算即可得到结果。
【解析】
根据零指数幂的运算法则：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即$a^0=1$（$a≠0$）。
本题中底数为$-2026$，显然$-2026≠0$，满足零指数幂的成立条件，因此$(-2026)^0=1$。
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
零指数幂运算
【点评】
本题属于基础运算题，解题的核心是牢记零指数幂的运算规则，注意底数不为0的前提条件即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
2.若$x^2 · x^m = x^5$，则$m=$。
答案
解：
由同底数幂的乘法法则，得$x^2 · x^m = x^{2+m}$，
结合已知条件可得$2+m=5$，
解得$m=3$。
由同底数幂的乘法法则，得$x^2 · x^m = x^{2+m}$，
结合已知条件可得$2+m=5$，
解得$m=3$。
解析
【分析】首先观察到等式左侧是两个同底数幂相乘的形式，可先运用同底数幂的乘法法则对左侧化简；化简后等式两边的底数均为x，根据同底数幂相等时（底数不为0）指数相等的性质，可列出关于m的一元一次方程，求解方程即可得到m的值。
【解析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$x^2 · x^m = x^{2+m}$
结合已知条件$x^2 · x^m = x^5$，可得：
$x^{2+m}=x^5$
因此两个幂的指数相等，即：
$2+m=5$
解得：$m=3$
【答案】3
【知识点】同底数幂的乘法；一元一次方程的求解
【点评】本题是基础运算类题目，重点考查同底数幂乘法法则的应用，解题的关键是掌握同底数幂相等时指数相等的性质，运算时注意不要混淆指数的运算法则。
【难度系数】0.9
【解析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$x^2 · x^m = x^{2+m}$
结合已知条件$x^2 · x^m = x^5$，可得：
$x^{2+m}=x^5$
因此两个幂的指数相等，即：
$2+m=5$
解得：$m=3$
【答案】3
【知识点】同底数幂的乘法；一元一次方程的求解
【点评】本题是基础运算类题目，重点考查同底数幂乘法法则的应用，解题的关键是掌握同底数幂相等时指数相等的性质，运算时注意不要混淆指数的运算法则。
【难度系数】0.9
3. 计算 $a^5 · (a^3)^4$ 的结果是 .
答案
解：
$a^5 · (a^3)^4$
$= a^5 · a^{3×4}$
$= a^5 · a^{12}$
$= a^{5+12}$
$= a^{17}$
最终结果为$\boldsymbol{a^{17}}$。
$a^5 · (a^3)^4$
$= a^5 · a^{3×4}$
$= a^5 · a^{12}$
$= a^{5+12}$
$= a^{17}$
最终结果为$\boldsymbol{a^{17}}$。
解析
【分析】
解答本题需遵循整式运算的顺序：先算乘方，再算乘法。首先运用幂的乘方运算法则计算$(a^3)^4$，幂的乘方规则为底数不变，指数相乘；得到结果后，再运用同底数幂的乘法法则计算最终结果，同底数幂相乘的规则为底数不变，指数相加，按步骤运算即可得到答案。
【解析】
$\begin{aligned}a^5 · (a^3)^4&= a^5 · a^{3×4}\\&= a^5 · a^{12}\\&= a^{5+12}\\&= a^{17}\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{a^{17}}$
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式运算的基础题，主要考查幂的相关运算法则的应用，解题时要注意区分不同幂运算的指数计算规则，不要混淆幂的乘方的指数相乘和同底数幂乘法的指数相加，掌握规则后就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
解答本题需遵循整式运算的顺序：先算乘方，再算乘法。首先运用幂的乘方运算法则计算$(a^3)^4$，幂的乘方规则为底数不变，指数相乘；得到结果后，再运用同底数幂的乘法法则计算最终结果，同底数幂相乘的规则为底数不变，指数相加，按步骤运算即可得到答案。
【解析】
$\begin{aligned}a^5 · (a^3)^4&= a^5 · a^{3×4}\\&= a^5 · a^{12}\\&= a^{5+12}\\&= a^{17}\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{a^{17}}$
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式运算的基础题，主要考查幂的相关运算法则的应用，解题时要注意区分不同幂运算的指数计算规则，不要混淆幂的乘方的指数相乘和同底数幂乘法的指数相加，掌握规则后就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
4.若$ab^2=2$，则$3a^3b^6$的值为。
答案
$\boldsymbol{24}$
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件和待求代数式的特征，已知给出的是$ab^2$的值，待求式是$3a^3b^6$，可以逆用幂的乘方和积的乘方运算法则，将待求式转化为含$ab^2$的形式，再将已知值整体代入计算即可得到结果。
【解析】
根据幂的乘方运算法则$(x^m)^n=x^{mn}$，可得$b^6=(b^2)^3$；
再逆用积的乘方运算法则$x^n y^n=(xy)^n$，可得$a^3b^6=a^3·(b^2)^3=(ab^2)^3$。
因此待求式可变形为：
$3a^3b^6=3·(ab^2)^3$
将$ab^2=2$代入上式，得：
$3×2^3=3×8=24$
【答案】
$\boldsymbol{24}$
【知识点】
幂的乘方运算、积的乘方运算、整体代入求值
【点评】
本题考查幂的运算性质的灵活应用，核心是通过逆用幂的运算公式将待求式转化为符合已知条件的结构，运用整体代入思想简化计算，属于基础题型，熟练掌握幂的相关运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件和待求代数式的特征，已知给出的是$ab^2$的值，待求式是$3a^3b^6$，可以逆用幂的乘方和积的乘方运算法则，将待求式转化为含$ab^2$的形式，再将已知值整体代入计算即可得到结果。
【解析】
根据幂的乘方运算法则$(x^m)^n=x^{mn}$，可得$b^6=(b^2)^3$；
再逆用积的乘方运算法则$x^n y^n=(xy)^n$，可得$a^3b^6=a^3·(b^2)^3=(ab^2)^3$。
因此待求式可变形为：
$3a^3b^6=3·(ab^2)^3$
将$ab^2=2$代入上式，得：
$3×2^3=3×8=24$
【答案】
$\boldsymbol{24}$
【知识点】
幂的乘方运算、积的乘方运算、整体代入求值
【点评】
本题考查幂的运算性质的灵活应用，核心是通过逆用幂的运算公式将待求式转化为符合已知条件的结构，运用整体代入思想简化计算，属于基础题型，熟练掌握幂的相关运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
5.若$m-n=2$，$mn=-1$，则$(1-2m)·(1+2n)$的值为
答案
$\boldsymbol{1}$
解析
【分析】
首先观察待求式是两个多项式相乘的形式，解题思路分三步：第一步先用多项式乘多项式的法则将待求式展开，第二步合并同类项后将式子变形，凑出已知的$m-n$和$mn$的整体形式，第三步将已知条件整体代入计算即可得到结果。
【解析】
先利用多项式乘多项式法则展开待求式：
$\begin{aligned}(1-2m)(1+2n)&=1×1 + 1×2n - 2m×1 - 2m×2n\\&=1 + 2n - 2m - 4mn\\&=1 - 2(m - n) - 4mn\end{aligned}$
已知$m-n=2$，$mn=-1$，将其代入上式：
$\begin{aligned}原式&=1 - 2×2 - 4×(-1)\\&=1 - 4 + 4\\&=1\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
多项式乘多项式，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题考查整式乘法的应用与整体代入的数学思想，解题核心是将待求式转化为含有已知条件的形式，避免单独求解$m$、$n$的值，可有效减少计算量。
【难度系数】
0.8
首先观察待求式是两个多项式相乘的形式，解题思路分三步：第一步先用多项式乘多项式的法则将待求式展开，第二步合并同类项后将式子变形，凑出已知的$m-n$和$mn$的整体形式，第三步将已知条件整体代入计算即可得到结果。
【解析】
先利用多项式乘多项式法则展开待求式：
$\begin{aligned}(1-2m)(1+2n)&=1×1 + 1×2n - 2m×1 - 2m×2n\\&=1 + 2n - 2m - 4mn\\&=1 - 2(m - n) - 4mn\end{aligned}$
已知$m-n=2$，$mn=-1$，将其代入上式：
$\begin{aligned}原式&=1 - 2×2 - 4×(-1)\\&=1 - 4 + 4\\&=1\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
多项式乘多项式，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题考查整式乘法的应用与整体代入的数学思想，解题核心是将待求式转化为含有已知条件的形式，避免单独求解$m$、$n$的值，可有效减少计算量。
【难度系数】
0.8
6.若一个多项式与单项式$ab$的乘积为$a^2b^2 - 2a^2b + ab$，则这个多项式为。
答案
$\boldsymbol{ab - 2a + 1}$
解析
【分析】
本题已知单项式$ab$和未知多项式的乘积，要求这个多项式，根据乘除互为逆运算的关系，可知未知多项式等于乘积除以已知单项式$ab$。接下来按照多项式除以单项式的运算法则计算即可，计算时需将乘积的每一项分别除以$ab$，再把所得的商相加，注意不要遗漏最后一项的计算。
【解析】
根据题意，所求多项式为$(a^2b^2 - 2a^2b + ab) ÷ ab$，按照多项式除以单项式的运算规则逐项计算：
1. 计算第一项：$a^2b^2 ÷ ab = ab$
2. 计算第二项：$-2a^2b ÷ ab = -2a$
3. 计算第三项：$ab ÷ ab = 1$
将上述三个商相加，可得结果为$ab - 2a + 1$。
【答案】
$ab - 2a + 1$
【知识点】
多项式除以单项式，整式乘除互逆关系，单项式除以单项式
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查整式乘除逆运算的应用，解题关键是明确乘除的互逆逻辑，熟练掌握多项式除以单项式的运算规则，计算时要注意所有项都参与运算，避免出现漏写最后一项“1”的低级错误。
【难度系数】
0.8
本题已知单项式$ab$和未知多项式的乘积，要求这个多项式，根据乘除互为逆运算的关系，可知未知多项式等于乘积除以已知单项式$ab$。接下来按照多项式除以单项式的运算法则计算即可，计算时需将乘积的每一项分别除以$ab$，再把所得的商相加，注意不要遗漏最后一项的计算。
【解析】
根据题意，所求多项式为$(a^2b^2 - 2a^2b + ab) ÷ ab$，按照多项式除以单项式的运算规则逐项计算：
1. 计算第一项：$a^2b^2 ÷ ab = ab$
2. 计算第二项：$-2a^2b ÷ ab = -2a$
3. 计算第三项：$ab ÷ ab = 1$
将上述三个商相加，可得结果为$ab - 2a + 1$。
【答案】
$ab - 2a + 1$
【知识点】
多项式除以单项式，整式乘除互逆关系，单项式除以单项式
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查整式乘除逆运算的应用，解题关键是明确乘除的互逆逻辑，熟练掌握多项式除以单项式的运算规则，计算时要注意所有项都参与运算，避免出现漏写最后一项“1”的低级错误。
【难度系数】
0.8
7.计算:
(1)$3a^2 · a^4 + (-a^2)^3 + (2a^3)^2$;
(2)$(3+x)(3-x)+(x+1)^2$;
(3)$(x+3y)(2x-y)$.
(1)$3a^2 · a^4 + (-a^2)^3 + (2a^3)^2$;
(2)$(3+x)(3-x)+(x+1)^2$;
(3)$(x+3y)(2x-y)$.
答案
解：
(1) 原式$=3a^{6} - a^{6} + 4a^{6}$
$=6a^{6}$
(2) 原式$=9 - x^{2} + x^{2} + 2x + 1$
$=2x + 10$
(3) 原式$=2x^{2} - xy + 6xy - 3y^{2}$
$=2x^{2} + 5xy - 3y^{2}$
(1) 原式$=3a^{6} - a^{6} + 4a^{6}$
$=6a^{6}$
(2) 原式$=9 - x^{2} + x^{2} + 2x + 1$
$=2x + 10$
(3) 原式$=2x^{2} - xy + 6xy - 3y^{2}$
$=2x^{2} + 5xy - 3y^{2}$
解析
【分析】
这三道题均为整式运算类基础题，解题遵循“先算乘方、乘法，再合并同类项”的运算顺序：
(1) 题需先分别运用同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方法则计算三个项，再合并同类项，计算时注意符号和指数运算规则；
(2) 题两个乘积项分别符合平方差公式、完全平方公式的特征，先套用公式展开，再合并同类项，注意展开后互为相反数的项可直接抵消；
(3) 题属于多项式乘多项式，按“一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加”的法则展开，最后合并同类项即可。
【解析】
(1) 分别计算各项：
同底数幂相乘：$3a^2 · a^4 = 3a^{2+4} = 3a^6$
幂的乘方：$(-a^2)^3 = (-1)^3 · (a^2)^3 = -a^6$
积的乘方：$(2a^3)^2 = 2^2 · (a^3)^2 = 4a^6$
合并同类项：原式$=3a^{6} - a^{6} + 4a^{6} = 6a^6$
(2) 分别套用公式展开：
平方差公式：$(3+x)(3-x) = 3^2 - x^2 = 9 - x^2$
完全平方公式：$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$
合并同类项：原式$=9 - x^{2} + x^{2} + 2x + 1 = 2x + 10$
(3) 按多项式乘法法则展开：
$(x+3y)(2x-y) = x·2x + x·(-y) + 3y·2x + 3y·(-y) = 2x^2 - xy + 6xy - 3y^2$
合并同类项：原式$=2x^{2} + 5xy - 3y^{2}$
【答案】
(1) $6a^6$；(2) $2x+10$；(3) $2x^2+5xy-3y^2$
【知识点】
1. 幂的运算 2. 整式乘法公式 3. 多项式乘多项式
【点评】
这几道题是整式运算的常规考查题型，核心是对运算法则和公式的熟练掌握，计算时要注意符号判断，熟记公式可简化运算、减少出错。
【难度系数】
0.8
这三道题均为整式运算类基础题，解题遵循“先算乘方、乘法，再合并同类项”的运算顺序：
(1) 题需先分别运用同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方法则计算三个项，再合并同类项，计算时注意符号和指数运算规则；
(2) 题两个乘积项分别符合平方差公式、完全平方公式的特征，先套用公式展开，再合并同类项，注意展开后互为相反数的项可直接抵消；
(3) 题属于多项式乘多项式，按“一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加”的法则展开，最后合并同类项即可。
【解析】
(1) 分别计算各项：
同底数幂相乘：$3a^2 · a^4 = 3a^{2+4} = 3a^6$
幂的乘方：$(-a^2)^3 = (-1)^3 · (a^2)^3 = -a^6$
积的乘方：$(2a^3)^2 = 2^2 · (a^3)^2 = 4a^6$
合并同类项：原式$=3a^{6} - a^{6} + 4a^{6} = 6a^6$
(2) 分别套用公式展开：
平方差公式：$(3+x)(3-x) = 3^2 - x^2 = 9 - x^2$
完全平方公式：$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$
合并同类项：原式$=9 - x^{2} + x^{2} + 2x + 1 = 2x + 10$
(3) 按多项式乘法法则展开：
$(x+3y)(2x-y) = x·2x + x·(-y) + 3y·2x + 3y·(-y) = 2x^2 - xy + 6xy - 3y^2$
合并同类项：原式$=2x^{2} + 5xy - 3y^{2}$
【答案】
(1) $6a^6$；(2) $2x+10$；(3) $2x^2+5xy-3y^2$
【知识点】
1. 幂的运算 2. 整式乘法公式 3. 多项式乘多项式
【点评】
这几道题是整式运算的常规考查题型，核心是对运算法则和公式的熟练掌握，计算时要注意符号判断，熟记公式可简化运算、减少出错。
【难度系数】
0.8
8. 先化简，再求值：$( \frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{2}ab + b^2 ) · ( \frac{1}{2}a + b )$，其中 $a=2, b=1.$
答案
解：
原式$=\frac{1}{4}a^2·\frac{1}{2}a + \frac{1}{4}a^2· b - \frac{1}{2}ab·\frac{1}{2}a - \frac{1}{2}ab· b + b^2·\frac{1}{2}a + b^2· b$
$=\frac{1}{8}a^3 + \frac{1}{4}a^2b - \frac{1}{4}a^2b - \frac{1}{2}ab^2 + \frac{1}{2}ab^2 + b^3$
$=\frac{1}{8}a^3 + b^3$
当$a=2$，$b=1$时，
原式$=\frac{1}{8}× 2^3 + 1^3$
$=\frac{1}{8}×8 +1$
$=1+1$
$=2$
原式$=\frac{1}{4}a^2·\frac{1}{2}a + \frac{1}{4}a^2· b - \frac{1}{2}ab·\frac{1}{2}a - \frac{1}{2}ab· b + b^2·\frac{1}{2}a + b^2· b$
$=\frac{1}{8}a^3 + \frac{1}{4}a^2b - \frac{1}{4}a^2b - \frac{1}{2}ab^2 + \frac{1}{2}ab^2 + b^3$
$=\frac{1}{8}a^3 + b^3$
当$a=2$，$b=1$时，
原式$=\frac{1}{8}× 2^3 + 1^3$
$=\frac{1}{8}×8 +1$
$=1+1$
$=2$
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题分两步进行：第一步先化简式子，可利用多项式乘多项式的运算法则，将第一个多项式的每一项分别与第二个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加，之后合并同类项得到最简结果；也可观察式子结构，发现其符合立方和公式的特征，直接用公式化简更简便。第二步将已知的a、b的值代入化简后的式子计算，即可得到最终结果。
【解析】
原式$=\frac{1}{4}a^2·\frac{1}{2}a + \frac{1}{4}a^2· b - \frac{1}{2}ab·\frac{1}{2}a - \frac{1}{2}ab· b + b^2·\frac{1}{2}a + b^2· b$
$=\frac{1}{8}a^3 + \frac{1}{4}a^2b - \frac{1}{4}a^2b - \frac{1}{2}ab^2 + \frac{1}{2}ab^2 + b^3$
$=\frac{1}{8}a^3 + b^3$
当$a=2$，$b=1$时，
原式$=\frac{1}{8}× 2^3 + 1^3$
$=\frac{1}{8}×8 +1$
$=1+1$
$=2$
【答案】
$2$
【知识点】
多项式乘多项式、合并同类项、整式化简求值
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查整式乘法的运算规则，计算展开项时要注意不要漏乘、错算符号，合并同类项时需准确判断同类项，若能熟练运用乘法公式可大幅简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
这是一道整式化简求值题，解题分两步进行：第一步先化简式子，可利用多项式乘多项式的运算法则，将第一个多项式的每一项分别与第二个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加，之后合并同类项得到最简结果；也可观察式子结构，发现其符合立方和公式的特征，直接用公式化简更简便。第二步将已知的a、b的值代入化简后的式子计算，即可得到最终结果。
【解析】
原式$=\frac{1}{4}a^2·\frac{1}{2}a + \frac{1}{4}a^2· b - \frac{1}{2}ab·\frac{1}{2}a - \frac{1}{2}ab· b + b^2·\frac{1}{2}a + b^2· b$
$=\frac{1}{8}a^3 + \frac{1}{4}a^2b - \frac{1}{4}a^2b - \frac{1}{2}ab^2 + \frac{1}{2}ab^2 + b^3$
$=\frac{1}{8}a^3 + b^3$
当$a=2$，$b=1$时，
原式$=\frac{1}{8}× 2^3 + 1^3$
$=\frac{1}{8}×8 +1$
$=1+1$
$=2$
【答案】
$2$
【知识点】
多项式乘多项式、合并同类项、整式化简求值
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查整式乘法的运算规则，计算展开项时要注意不要漏乘、错算符号，合并同类项时需准确判断同类项，若能熟练运用乘法公式可大幅简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
9. 如果$a^c = b$，那么我们规定$(a,b)=c$。
例如：$\because 2^3 = 8$，$\therefore (2,8)=3$。
(1)根据上述规定，$(3,27)= \_\_\_\_\_\_$；
(2)若$(3,5)=x,(3,6)=y,(3,30)=z$，求证：$x+y=z$。
例如：$\because 2^3 = 8$，$\therefore (2,8)=3$。
(1)根据上述规定，$(3,27)= \_\_\_\_\_\_$；
(2)若$(3,5)=x,(3,6)=y,(3,30)=z$，求证：$x+y=z$。
答案
解：(1)
$\because 3^3=27$，
$\therefore$ 根据规定得$(3,27)=\boldsymbol{3}$。
(2)证明：
$\because (3,5)=x$，$(3,6)=y$，$(3,30)=z$，
$\therefore 3^x=5$，$3^y=6$，$3^z=30$，
$\therefore 3^x · 3^y = 5×6=30$，
由同底数幂的乘法法则得$3^x · 3^y=3^{x+y}$，
$\therefore 3^{x+y}=3^z$，
$\therefore x+y=z$。
$\because 3^3=27$，
$\therefore$ 根据规定得$(3,27)=\boldsymbol{3}$。
(2)证明：
$\because (3,5)=x$，$(3,6)=y$，$(3,30)=z$，
$\therefore 3^x=5$，$3^y=6$，$3^z=30$，
$\therefore 3^x · 3^y = 5×6=30$，
由同底数幂的乘法法则得$3^x · 3^y=3^{x+y}$，
$\therefore 3^{x+y}=3^z$，
$\therefore x+y=z$。
解析
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题核心是准确理解题目给出的运算规则。第(1)问直接套用规则，找到底数为3、结果为27时对应的指数即可。第(2)问首先根据新定义将三个式子转化为幂的形式，再利用同底数幂的乘法法则计算$3^x·3^y$，将计算结果与$3^z$对比，即可得到指数的等量关系，完成证明。
【解析】
(1) 根据题目规定：若$a^c = b$，则$(a,b)=c$。
$\because 3^3=27$，
$\therefore$ 按照规则可得$(3,27)=3$。
(2) 证明：
$\because (3,5)=x$，$(3,6)=y$，$(3,30)=z$，
$\therefore$ 根据新定义可得：$3^x=5$，$3^y=6$，$3^z=30$，
$\therefore 3^x · 3^y = 5×6=30$，
由同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$3^x · 3^y=3^{x+y}$，
$\therefore 3^{x+y}=30=3^z$，
$\because$ 底数大于0且不等于1的两个幂相等时，指数相等，
$\therefore x+y=z$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) 已证$x+y=z$
【知识点】
新定义运算、同底数幂的乘法、幂的性质
【点评】
本题属于新定义创新题型，既考查对新运算规则的阅读理解能力，又考查幂运算相关性质的灵活应用，解题关键是将陌生的新定义运算转化为已学的幂运算问题。
【难度系数】
0.8
这是一道新定义运算类题目，解题核心是准确理解题目给出的运算规则。第(1)问直接套用规则，找到底数为3、结果为27时对应的指数即可。第(2)问首先根据新定义将三个式子转化为幂的形式，再利用同底数幂的乘法法则计算$3^x·3^y$，将计算结果与$3^z$对比，即可得到指数的等量关系，完成证明。
【解析】
(1) 根据题目规定：若$a^c = b$，则$(a,b)=c$。
$\because 3^3=27$，
$\therefore$ 按照规则可得$(3,27)=3$。
(2) 证明：
$\because (3,5)=x$，$(3,6)=y$，$(3,30)=z$，
$\therefore$ 根据新定义可得：$3^x=5$，$3^y=6$，$3^z=30$，
$\therefore 3^x · 3^y = 5×6=30$，
由同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$3^x · 3^y=3^{x+y}$，
$\therefore 3^{x+y}=30=3^z$，
$\because$ 底数大于0且不等于1的两个幂相等时，指数相等，
$\therefore x+y=z$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) 已证$x+y=z$
【知识点】
新定义运算、同底数幂的乘法、幂的性质
【点评】
本题属于新定义创新题型，既考查对新运算规则的阅读理解能力，又考查幂运算相关性质的灵活应用，解题关键是将陌生的新定义运算转化为已学的幂运算问题。
【难度系数】
0.8
