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14. (1) 先化简$( \frac{3}{x+1} - x + 1 ) ÷ \frac{x^2 -4x +4}{x+1}$，然后从-1,0,1,2中选取一个合适的数作为x的值代入求值；
(2) 先化简，再求值：$\frac{m+2}{m^2 -1} ÷ ( m -1 - \frac{3}{m+1} )$，已知$m^2 -3m -4=0$。
(2) 先化简，再求值：$\frac{m+2}{m^2 -1} ÷ ( m -1 - \frac{3}{m+1} )$，已知$m^2 -3m -4=0$。
答案
解：(1)
原式$=[\frac{3}{x+1}-\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}] · \frac{x+1}{(x-2)^2}$
$=\frac{3-x^2+1}{x+1} · \frac{x+1}{(x-2)^2}$
$=\frac{(2-x)(2+x)}{x+1} · \frac{x+1}{(x-2)^2}$
$=\frac{x+2}{2-x}$
由分式有意义的条件可知：$x+1≠0$，$x-2≠0$，即$x≠-1$且$x≠2$，
选取$x=0$代入：
当$x=0$时，原式$=\frac{0+2}{2-0}=1$。
(2)
原式$=\frac{m+2}{(m-1)(m+1)} ÷ [\frac{(m-1)(m+1)}{m+1}-\frac{3}{m+1}]$
$=\frac{m+2}{(m-1)(m+1)} ÷ \frac{m^2-4}{m+1}$
$=\frac{m+2}{(m-1)(m+1)} · \frac{m+1}{(m-2)(m+2)}$
$=\frac{1}{(m-1)(m-2)}$
$=\frac{1}{m^2-3m+2}$
由$m^2-3m-4=0$，得$m^2-3m=4$，代入得：
原式$=\frac{1}{4+2}=\frac{1}{6}$。
原式$=[\frac{3}{x+1}-\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}] · \frac{x+1}{(x-2)^2}$
$=\frac{3-x^2+1}{x+1} · \frac{x+1}{(x-2)^2}$
$=\frac{(2-x)(2+x)}{x+1} · \frac{x+1}{(x-2)^2}$
$=\frac{x+2}{2-x}$
由分式有意义的条件可知：$x+1≠0$，$x-2≠0$，即$x≠-1$且$x≠2$，
选取$x=0$代入：
当$x=0$时，原式$=\frac{0+2}{2-0}=1$。
(2)
原式$=\frac{m+2}{(m-1)(m+1)} ÷ [\frac{(m-1)(m+1)}{m+1}-\frac{3}{m+1}]$
$=\frac{m+2}{(m-1)(m+1)} ÷ \frac{m^2-4}{m+1}$
$=\frac{m+2}{(m-1)(m+1)} · \frac{m+1}{(m-2)(m+2)}$
$=\frac{1}{(m-1)(m-2)}$
$=\frac{1}{m^2-3m+2}$
由$m^2-3m-4=0$，得$m^2-3m=4$，代入得：
原式$=\frac{1}{4+2}=\frac{1}{6}$。
解析
【分析】
(1) 本题是分式化简选值求值题，解题思路：第一步先处理括号内的运算，把$-x+1$看成整体，通分化为同分母分式相减；第二步将除法转化为乘法运算，对分子分母因式分解后约分得到最简结果；第三步根据分式有意义的条件（分母不为0）排除不符合要求的x值，选合适的数代入计算即可。
(2) 本题是结合方程的分式化简求值题，解题思路：第一步先计算小括号内的分式减法，通分化为同分母分式相减，整理后将括号外的除法转化为乘法，因式分解后约分得到最简结果；第二步观察已知方程和最简式的结构，利用整体代入法计算，无需解出m的值，简化运算。
【解析】
(1)
原式$=[\frac{3}{x+1}-\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}] · \frac{x+1}{(x-2)^2}$
$=\frac{3-x^2+1}{x+1} · \frac{x+1}{(x-2)^2}$
$=\frac{(2-x)(2+x)}{x+1} · \frac{x+1}{(x-2)^2}$
$=\frac{x+2}{2-x}$
由分式有意义的条件可知：$x+1≠0$，$x-2≠0$，即$x≠-1$且$x≠2$，
选取$x=0$代入：
当$x=0$时，原式$=\frac{0+2}{2-0}=1$。
(2)
原式$=\frac{m+2}{(m-1)(m+1)} ÷ [\frac{(m-1)(m+1)}{m+1}-\frac{3}{m+1}]$
$=\frac{m+2}{(m-1)(m+1)} ÷ \frac{m^2-4}{m+1}$
$=\frac{m+2}{(m-1)(m+1)} · \frac{m+1}{(m-2)(m+2)}$
$=\frac{1}{(m-1)(m-2)}$
$=\frac{1}{m^2-3m+2}$
由$m^2-3m-4=0$，得$m^2-3m=4$，代入得：
原式$=\frac{1}{4+2}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) 化简结果为$\frac{x+2}{2-x}$，当$x=0$时，值为1（或选$x=1$时，值为3，合理即可）；(2) $\frac{1}{6}$
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，整体代入求值
【点评】
这两道是分式化简求值的典型题型，第一题选值时必须保证所有分式的分母不为0，不可盲目代入；第二题运用整体代入思想，可避免解方程的繁琐，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
(1) 本题是分式化简选值求值题，解题思路：第一步先处理括号内的运算，把$-x+1$看成整体，通分化为同分母分式相减；第二步将除法转化为乘法运算，对分子分母因式分解后约分得到最简结果；第三步根据分式有意义的条件（分母不为0）排除不符合要求的x值，选合适的数代入计算即可。
(2) 本题是结合方程的分式化简求值题，解题思路：第一步先计算小括号内的分式减法，通分化为同分母分式相减，整理后将括号外的除法转化为乘法，因式分解后约分得到最简结果；第二步观察已知方程和最简式的结构，利用整体代入法计算，无需解出m的值，简化运算。
【解析】
(1)
原式$=[\frac{3}{x+1}-\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}] · \frac{x+1}{(x-2)^2}$
$=\frac{3-x^2+1}{x+1} · \frac{x+1}{(x-2)^2}$
$=\frac{(2-x)(2+x)}{x+1} · \frac{x+1}{(x-2)^2}$
$=\frac{x+2}{2-x}$
由分式有意义的条件可知：$x+1≠0$，$x-2≠0$，即$x≠-1$且$x≠2$，
选取$x=0$代入：
当$x=0$时，原式$=\frac{0+2}{2-0}=1$。
(2)
原式$=\frac{m+2}{(m-1)(m+1)} ÷ [\frac{(m-1)(m+1)}{m+1}-\frac{3}{m+1}]$
$=\frac{m+2}{(m-1)(m+1)} ÷ \frac{m^2-4}{m+1}$
$=\frac{m+2}{(m-1)(m+1)} · \frac{m+1}{(m-2)(m+2)}$
$=\frac{1}{(m-1)(m-2)}$
$=\frac{1}{m^2-3m+2}$
由$m^2-3m-4=0$，得$m^2-3m=4$，代入得：
原式$=\frac{1}{4+2}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) 化简结果为$\frac{x+2}{2-x}$，当$x=0$时，值为1（或选$x=1$时，值为3，合理即可）；(2) $\frac{1}{6}$
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，整体代入求值
【点评】
这两道是分式化简求值的典型题型，第一题选值时必须保证所有分式的分母不为0，不可盲目代入；第二题运用整体代入思想，可避免解方程的繁琐，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
15. 解下列方程:
(1) $\frac{2}{x^2 -1}=-\frac{1}{x-1}$;
(2) $\frac{3-x}{x-4}=\frac{1}{4-x}-2$.
(1) $\frac{2}{x^2 -1}=-\frac{1}{x-1}$;
(2) $\frac{3-x}{x-4}=\frac{1}{4-x}-2$.
答案
解：
(1) 方程两边同乘$(x+1)(x-1)$，得
$2 = -(x+1)$
解这个整式方程：
$2 = -x -1$
$x = -3$
检验：当$x=-3$时，$(x+1)(x-1)=8≠0$，
所以原分式方程的解为$x=-3$。
(2) 方程两边同乘$x-4$，得
$3-x = -1 -2(x-4)$
解这个整式方程：
$3-x = -1 -2x +8$
$3-x = 7-2x$
$x=4$
检验：当$x=4$时，$x-4=0$，$x=4$是增根，
所以原分式方程无解。
(1) 方程两边同乘$(x+1)(x-1)$，得
$2 = -(x+1)$
解这个整式方程：
$2 = -x -1$
$x = -3$
检验：当$x=-3$时，$(x+1)(x-1)=8≠0$，
所以原分式方程的解为$x=-3$。
(2) 方程两边同乘$x-4$，得
$3-x = -1 -2(x-4)$
解这个整式方程：
$3-x = -1 -2x +8$
$3-x = 7-2x$
$x=4$
检验：当$x=4$时，$x-4=0$，$x=4$是增根，
所以原分式方程无解。
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体步骤为：①找各分式分母的最简公分母；②方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程；③解整式方程；④检验所得的根是否使原方程分母为0，若使分母为0则为增根，需舍去，否则是原方程的解。
针对(1)：先因式分解分母$x^2-1=(x+1)(x-1)$，可得最简公分母为$(x+1)(x-1)$，去分母后解一元一次方程再检验即可；
针对(2)：分母$x-4$和$4-x$互为相反数，因此最简公分母为$x-4$，去分母时注意$\frac{1}{4-x}$变形为$-\frac{1}{x-4}$，解整式方程后务必检验。
【解析】
(1) 方程两边同乘$(x+1)(x-1)$，得
$2 = -(x+1)$
解这个整式方程：
$2 = -x -1$
$x = -3$
检验：当$x=-3$时，$(x+1)(x-1)=8≠0$，分母不为0，符合方程要求。
(2) 方程两边同乘$x-4$，得
$3-x = -1 -2(x-4)$
解这个整式方程：
$3-x = -1 -2x +8$
$3-x = 7-2x$
$x=4$
检验：当$x=4$时，$x-4=0$，$x=4$是增根，不符合方程要求。
【答案】
(1) $x=-3$；(2) 无解
【知识点】
分式方程的解法，增根的检验，一元一次方程求解
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，解题的关键是准确确定最简公分母完成去分母，尤其要注意解分式方程必须进行检验，排除增根才能得到正确结果。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体步骤为：①找各分式分母的最简公分母；②方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程；③解整式方程；④检验所得的根是否使原方程分母为0，若使分母为0则为增根，需舍去，否则是原方程的解。
针对(1)：先因式分解分母$x^2-1=(x+1)(x-1)$，可得最简公分母为$(x+1)(x-1)$，去分母后解一元一次方程再检验即可；
针对(2)：分母$x-4$和$4-x$互为相反数，因此最简公分母为$x-4$，去分母时注意$\frac{1}{4-x}$变形为$-\frac{1}{x-4}$，解整式方程后务必检验。
【解析】
(1) 方程两边同乘$(x+1)(x-1)$，得
$2 = -(x+1)$
解这个整式方程：
$2 = -x -1$
$x = -3$
检验：当$x=-3$时，$(x+1)(x-1)=8≠0$，分母不为0，符合方程要求。
(2) 方程两边同乘$x-4$，得
$3-x = -1 -2(x-4)$
解这个整式方程：
$3-x = -1 -2x +8$
$3-x = 7-2x$
$x=4$
检验：当$x=4$时，$x-4=0$，$x=4$是增根，不符合方程要求。
【答案】
(1) $x=-3$；(2) 无解
【知识点】
分式方程的解法，增根的检验，一元一次方程求解
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，解题的关键是准确确定最简公分母完成去分母，尤其要注意解分式方程必须进行检验，排除增根才能得到正确结果。
【难度系数】
0.7
16. 为推动乡村振兴,某地政府大力扶持当地小型企业.根据市场需求,某小型企业为加快生产速度,需要更新生产设备,更新设备后生产效率比更新前提高了25%,设更新设备前每天生产x件产品.解答下列问题:
(1)更新设备后每天生产件产品(用含x的式子表示);
(2)更新设备前生产5 000件产品比更新设备后生产6 000件产品多用2天,求更新设备后每天生产多少件产品.
(1)更新设备后每天生产件产品(用含x的式子表示);
(2)更新设备前生产5 000件产品比更新设备后生产6 000件产品多用2天,求更新设备后每天生产多少件产品.
答案
解：
(1) $\boldsymbol{1.25x}$（或$\frac{5}{4}x$）
(2) 根据题意列方程：
$\frac{5000}{x} - \frac{6000}{1.25x} = 2$
方程两边同乘$1.25x$，得：
$5000×1.25 - 6000 = 2×1.25x$
化简得：
$250 = 2.5x$
解得：
$x=100$
检验：当$x=100$时，$1.25x≠0$，$x=100$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则更新设备后每天生产的产品数量为：$1.25×100=125$（件）
答：更新设备后每天生产125件产品。
(1) $\boldsymbol{1.25x}$（或$\frac{5}{4}x$）
(2) 根据题意列方程：
$\frac{5000}{x} - \frac{6000}{1.25x} = 2$
方程两边同乘$1.25x$，得：
$5000×1.25 - 6000 = 2×1.25x$
化简得：
$250 = 2.5x$
解得：
$x=100$
检验：当$x=100$时，$1.25x≠0$，$x=100$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则更新设备后每天生产的产品数量为：$1.25×100=125$（件）
答：更新设备后每天生产125件产品。
解析
【分析】
（1）更新设备后生产效率比更新前提高25%，即在原来每天生产x件的基础上增加25%x件，合并后即可得到更新后每天产量的代数式。
（2）本题为工作类实际问题，核心等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率。先分别表示出更新前生产5000件产品的时间、更新后生产6000件产品的时间，再结合“更新前用时比更新后多2天”的条件列分式方程；解分式方程后需先检验根是否符合原方程和实际意义，最后代入计算更新后的日产量即可。
【解析】
(1) 更新设备后每天生产的产品数量为：$x + 25\%x = 1.25x$（或$\frac{5}{4}x$）。
(2) 根据题意列方程：
$\frac{5000}{x} - \frac{6000}{1.25x} = 2$
方程两边同乘$1.25x$消去分母，得：
$5000×1.25 - 6000 = 2×1.25x$
化简得：
$250 = 2.5x$
解得：
$x=100$
检验：当$x=100$时，$1.25x≠0$，$x=100$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则更新设备后每天生产的产品数量为：$1.25×100=125$（件）
【答案】
(1) $1.25x$（或$\frac{5}{4}x$）；(2) 125件
【知识点】
列代数式；分式方程的应用；分式方程的检验
【点评】
本题是生产场景下的方程应用问题，解题关键是找准工作时间的等量关系建立方程，需注意分式方程求解后要双重检验，既要判断是否为增根，也要判断是否符合实际意义，属于方程应用类的常考题型。
【难度系数】
0.7
（1）更新设备后生产效率比更新前提高25%，即在原来每天生产x件的基础上增加25%x件，合并后即可得到更新后每天产量的代数式。
（2）本题为工作类实际问题，核心等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率。先分别表示出更新前生产5000件产品的时间、更新后生产6000件产品的时间，再结合“更新前用时比更新后多2天”的条件列分式方程；解分式方程后需先检验根是否符合原方程和实际意义，最后代入计算更新后的日产量即可。
【解析】
(1) 更新设备后每天生产的产品数量为：$x + 25\%x = 1.25x$（或$\frac{5}{4}x$）。
(2) 根据题意列方程：
$\frac{5000}{x} - \frac{6000}{1.25x} = 2$
方程两边同乘$1.25x$消去分母，得：
$5000×1.25 - 6000 = 2×1.25x$
化简得：
$250 = 2.5x$
解得：
$x=100$
检验：当$x=100$时，$1.25x≠0$，$x=100$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则更新设备后每天生产的产品数量为：$1.25×100=125$（件）
【答案】
(1) $1.25x$（或$\frac{5}{4}x$）；(2) 125件
【知识点】
列代数式；分式方程的应用；分式方程的检验
【点评】
本题是生产场景下的方程应用问题，解题关键是找准工作时间的等量关系建立方程，需注意分式方程求解后要双重检验，既要判断是否为增根，也要判断是否符合实际意义，属于方程应用类的常考题型。
【难度系数】
0.7
