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17. 课堂上，李老师提出这样一个问题：已知$\frac{x+3}{(x-2)^2} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{(x-2)^2}$，求整数$A$，$B$的值. 小明回答了解题思路:首先对等式右边进行通分，得$\frac{A(x-2)+B}{(x-2)^2}$，即$\frac{Ax-2A+B}{(x-2)^2}$，利用多项式相等，则对应的系数相等可列方程组$\begin{cases} A=1, \\ -2A+B=3, \end{cases}$解这个方程组即可求出整数$A$，$B$的值. 李老师认为小明的解题思路是正确的，请你根据上述思路解答下列问题:已知$\frac{3x-4}{x^2-3x+2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$，求整数$A$，$B$的值.
答案
解：
将等式右边通分，得
$\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}=\frac{A(x-2)+B(x-1)}{(x-1)(x-2)}$
因为$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$，将右边分子展开并合并同类项：
$A(x-2)+B(x-1)=Ax-2A+Bx-B=(A+B)x+(-2A-B)$
由多项式相等对应系数相等，可列方程组：
$\begin{cases}A+B=3 \\-2A-B=-4\end{cases}$
将两个方程相加，得$-A=-1$，解得$A=1$。
把$A=1$代入$A+B=3$，得$1+B=3$，解得$B=2$。
所以整数$A$的值为$1$，$B$的值为$2$。
将等式右边通分，得
$\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}=\frac{A(x-2)+B(x-1)}{(x-1)(x-2)}$
因为$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$，将右边分子展开并合并同类项：
$A(x-2)+B(x-1)=Ax-2A+Bx-B=(A+B)x+(-2A-B)$
由多项式相等对应系数相等，可列方程组：
$\begin{cases}A+B=3 \\-2A-B=-4\end{cases}$
将两个方程相加，得$-A=-1$，解得$A=1$。
把$A=1$代入$A+B=3$，得$1+B=3$，解得$B=2$。
所以整数$A$的值为$1$，$B$的值为$2$。
解析
【分析】
首先观察等式两边的分式，先对左边的分母因式分解，可得$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$，和右边两个分式的公分母一致。按照题中给出的解题思路，先将等式右边的两个分式通分，此时左右两边分式的分母相同，因此分子必然相等。再将右边通分后的分子展开、合并同类项，根据两个多项式相等时对应项的系数相等，即可列出关于A、B的二元一次方程组，解方程组就能求出A、B的整数解。
【解析】
将等式右边通分，得
$\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}=\frac{A(x-2)+B(x-1)}{(x-1)(x-2)}$
因为左边分式的分母$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$，所以左右两边分式分母相同，分子相等。
将右边分子展开并合并同类项：
$A(x-2)+B(x-1)=Ax-2A+Bx-B=(A+B)x+(-2A-B)$
由多项式相等对应系数相等，可列方程组：
$\begin{cases}A+B=3 \\-2A-B=-4\end{cases}$
将两个方程相加，得$-A=-1$，解得$A=1$。
把$A=1$代入$A+B=3$，得$1+B=3$，解得$B=2$。
【答案】
$A=1$，$B=2$
【知识点】
分式的通分；多项式相等的性质；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是分式拆分的基础题型，核心方法是通分后利用分母相等则分子相等，结合多项式对应系数相等建立方程组求解，解题步骤固定，思路清晰，掌握方法即可快速完成解答。
【难度系数】
0.7
首先观察等式两边的分式，先对左边的分母因式分解，可得$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$，和右边两个分式的公分母一致。按照题中给出的解题思路，先将等式右边的两个分式通分，此时左右两边分式的分母相同，因此分子必然相等。再将右边通分后的分子展开、合并同类项，根据两个多项式相等时对应项的系数相等，即可列出关于A、B的二元一次方程组，解方程组就能求出A、B的整数解。
【解析】
将等式右边通分，得
$\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}=\frac{A(x-2)+B(x-1)}{(x-1)(x-2)}$
因为左边分式的分母$x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$，所以左右两边分式分母相同，分子相等。
将右边分子展开并合并同类项：
$A(x-2)+B(x-1)=Ax-2A+Bx-B=(A+B)x+(-2A-B)$
由多项式相等对应系数相等，可列方程组：
$\begin{cases}A+B=3 \\-2A-B=-4\end{cases}$
将两个方程相加，得$-A=-1$，解得$A=1$。
把$A=1$代入$A+B=3$，得$1+B=3$，解得$B=2$。
【答案】
$A=1$，$B=2$
【知识点】
分式的通分；多项式相等的性质；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是分式拆分的基础题型，核心方法是通分后利用分母相等则分子相等，结合多项式对应系数相等建立方程组求解，解题步骤固定，思路清晰，掌握方法即可快速完成解答。
【难度系数】
0.7
18. 今年5月份荔枝一上市，某水果店的老板就用3000元购进了一批荔枝，由于刚采摘的荔枝比较新鲜，前两天他以高于进价40%的价格共卖出150 kg. 但荔枝保鲜期短，第三天他果断地将剩余荔枝以低于进价20%的价格全部售出，前后一共获利750元.
(1)若购进的荔枝为a kg，则这批荔枝的进价为；(用含a的式子来表示)
(2)该水果店的老板这次购进荔枝多少千克？
(1)若购进的荔枝为a kg，则这批荔枝的进价为；(用含a的式子来表示)
(2)该水果店的老板这次购进荔枝多少千克？
答案
解：
(1) $\boldsymbol{\frac{3000}{a}}$ 元/千克
(2) 设该水果店的老板这次购进荔枝$x$千克，
根据题意列方程：
$150×\frac{3000}{x}×40\% + (x-150)×\frac{3000}{x}×(-20\%) = 750$
方程两边同乘$x$去分母，得：
$150×3000×0.4 - 600(x-150) = 750x$
化简得：
$180000 - 600x + 90000 = 750x$
$1350x = 270000$
解得：
$x=200$
检验：当$x=200$时，$x≠0$，$x=200$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：该水果店的老板这次购进荔枝200千克。
(1) $\boldsymbol{\frac{3000}{a}}$ 元/千克
(2) 设该水果店的老板这次购进荔枝$x$千克，
根据题意列方程：
$150×\frac{3000}{x}×40\% + (x-150)×\frac{3000}{x}×(-20\%) = 750$
方程两边同乘$x$去分母，得：
$150×3000×0.4 - 600(x-150) = 750x$
化简得：
$180000 - 600x + 90000 = 750x$
$1350x = 270000$
解得：
$x=200$
检验：当$x=200$时，$x≠0$，$x=200$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：该水果店的老板这次购进荔枝200千克。
解析
【分析】
(1) 求荔枝的进价即求单价，根据“单价=总价÷数量”的基本关系，已知总进价为3000元，购进总重量为a kg，直接代入公式即可用含a的式子表示进价；
(2) 本题是销售类的实际应用问题，核心等量关系为“总获利=前150kg的利润+剩余荔枝的利润”。首先设购进荔枝总重量为x千克，先表示出每千克荔枝的进价，再分别计算前两天销售的利润、第三天销售的亏损，两者相加等于总获利750元，据此列分式方程求解，最后要检验分式方程的解是否符合实际意义。
【解析】
(1) 已知总进价为3000元，购进荔枝重量为a kg，根据单价=总价÷数量，可得这批荔枝的进价为$\frac{3000}{a}$元/千克。
(2) 设该水果店的老板这次购进荔枝$x$千克，荔枝的进价为$\frac{3000}{x}$元/千克。
根据总获利750元列方程：
$150×\frac{3000}{x}×40\% + (x-150)×\frac{3000}{x}×(-20\%) = 750$
方程两边同乘$x$去分母，得：
$150×3000×0.4 - 600(x-150) = 750x$
化简得：
$180000 - 600x + 90000 = 750x$
移项合并同类项得：
$1350x = 270000$
解得：
$x=200$
检验：当$x=200$时，$x≠0$，因此$x=200$是原分式方程的解，且购进重量为正，符合实际意义。
答：该水果店的老板这次购进荔枝200千克。
【答案】
(1) $\frac{3000}{a}$元/千克；(2) 200千克
【知识点】
列代数式；分式方程的应用；销售利润计算
【点评】
本题结合生活销售场景考查数学知识的实际应用，解题关键是理清不同销售阶段的利润计算方式，找准总利润的等量关系列方程，需要注意分式方程求解后必须检验解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
(1) 求荔枝的进价即求单价，根据“单价=总价÷数量”的基本关系，已知总进价为3000元，购进总重量为a kg，直接代入公式即可用含a的式子表示进价；
(2) 本题是销售类的实际应用问题，核心等量关系为“总获利=前150kg的利润+剩余荔枝的利润”。首先设购进荔枝总重量为x千克，先表示出每千克荔枝的进价，再分别计算前两天销售的利润、第三天销售的亏损，两者相加等于总获利750元，据此列分式方程求解，最后要检验分式方程的解是否符合实际意义。
【解析】
(1) 已知总进价为3000元，购进荔枝重量为a kg，根据单价=总价÷数量，可得这批荔枝的进价为$\frac{3000}{a}$元/千克。
(2) 设该水果店的老板这次购进荔枝$x$千克，荔枝的进价为$\frac{3000}{x}$元/千克。
根据总获利750元列方程：
$150×\frac{3000}{x}×40\% + (x-150)×\frac{3000}{x}×(-20\%) = 750$
方程两边同乘$x$去分母，得：
$150×3000×0.4 - 600(x-150) = 750x$
化简得：
$180000 - 600x + 90000 = 750x$
移项合并同类项得：
$1350x = 270000$
解得：
$x=200$
检验：当$x=200$时，$x≠0$，因此$x=200$是原分式方程的解，且购进重量为正，符合实际意义。
答：该水果店的老板这次购进荔枝200千克。
【答案】
(1) $\frac{3000}{a}$元/千克；(2) 200千克
【知识点】
列代数式；分式方程的应用；销售利润计算
【点评】
本题结合生活销售场景考查数学知识的实际应用，解题关键是理清不同销售阶段的利润计算方式，找准总利润的等量关系列方程，需要注意分式方程求解后必须检验解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
