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4. 计算$\frac{4}{a} · (-\frac{1}{2}a)^2$，结果是（）.
A.$a$
B.$-a$
C.$2a$
D.$a^3$
A.$a$
B.$-a$
C.$2a$
D.$a^3$
答案
A
解析
【分析】
本题属于代数式的乘法运算，解题需遵循整式混合运算的顺序：先算乘方，再算乘法。第一步先计算$(-\frac{1}{2}a)^2$，运用积的乘方法则将每个因式分别乘方；第二步再将得到的结果与$\frac{4}{a}$相乘，通过系数相乘、同底数幂运算和约分即可得到最终结果，计算时注意不要弄错乘方后的符号。
【解析】
解：按照运算顺序先计算乘方：
$(-\frac{1}{2}a)^2 = (-\frac{1}{2})^2 · a^2 = \frac{1}{4}a^2$
再计算乘法：
$\frac{4}{a} · \frac{1}{4}a^2 = (\frac{4}{a} × \frac{1}{4}) × a^2 = \frac{1}{a} × a^2 = a$
【答案】
A
【知识点】
积的乘方、分式乘法、幂的运算
【点评】
本题是基础运算题，重点考查代数式运算的顺序和基本运算法则的应用，解题时需注意乘方运算中系数和符号的处理，运算过程中能约分的先约分可简化计算，是对运算基本功的考察。
【难度系数】
0.8
本题属于代数式的乘法运算，解题需遵循整式混合运算的顺序：先算乘方，再算乘法。第一步先计算$(-\frac{1}{2}a)^2$，运用积的乘方法则将每个因式分别乘方；第二步再将得到的结果与$\frac{4}{a}$相乘，通过系数相乘、同底数幂运算和约分即可得到最终结果，计算时注意不要弄错乘方后的符号。
【解析】
解：按照运算顺序先计算乘方：
$(-\frac{1}{2}a)^2 = (-\frac{1}{2})^2 · a^2 = \frac{1}{4}a^2$
再计算乘法：
$\frac{4}{a} · \frac{1}{4}a^2 = (\frac{4}{a} × \frac{1}{4}) × a^2 = \frac{1}{a} × a^2 = a$
【答案】
A
【知识点】
积的乘方、分式乘法、幂的运算
【点评】
本题是基础运算题，重点考查代数式运算的顺序和基本运算法则的应用，解题时需注意乘方运算中系数和符号的处理，运算过程中能约分的先约分可简化计算，是对运算基本功的考察。
【难度系数】
0.8
5. 若分式$\frac{|x|-3}{2x+6}$的值为0，则x的值是（）。
A.3
B.-3
C.$\pm3$
D.4
A.3
B.-3
C.$\pm3$
D.4
答案
A
解析
【分析】
要解决分式值为0的问题，需牢记分式值为0需同时满足两个条件：①分子的值为0；②分母的值不为0（保证分式有意义），二者缺一不可。解题时先根据分子为0求出x的可能取值，再代入分母排除使分母为0的取值，剩下的就是正确结果。
【解析】
解：
∵分式$\frac{|x|-3}{2x+6}$的值为0
∴需同时满足$\begin{cases} |x|-3=0 \\ 2x+6≠0 \end{cases}$
先解分子方程：$|x|-3=0$，即$|x|=3$，解得$x=3$或$x=-3$
再解分母不等式：$2x+6≠0$，移项得$2x≠-6$，解得$x≠-3$
综上，排除$x=-3$，可得$x=3$。
【答案】
A
【知识点】
分式值为0的条件、绝对值的性质、分式有意义的条件
【点评】
本题是分式章节的基础常考题，易错点是仅考虑分子为0就直接选答案，忽略分母不能为0的限制，做题时要注意两个条件需同时满足，避免错选。
【难度系数】
0.7
要解决分式值为0的问题，需牢记分式值为0需同时满足两个条件：①分子的值为0；②分母的值不为0（保证分式有意义），二者缺一不可。解题时先根据分子为0求出x的可能取值，再代入分母排除使分母为0的取值，剩下的就是正确结果。
【解析】
解：
∵分式$\frac{|x|-3}{2x+6}$的值为0
∴需同时满足$\begin{cases} |x|-3=0 \\ 2x+6≠0 \end{cases}$
先解分子方程：$|x|-3=0$，即$|x|=3$，解得$x=3$或$x=-3$
再解分母不等式：$2x+6≠0$，移项得$2x≠-6$，解得$x≠-3$
综上，排除$x=-3$，可得$x=3$。
【答案】
A
【知识点】
分式值为0的条件、绝对值的性质、分式有意义的条件
【点评】
本题是分式章节的基础常考题，易错点是仅考虑分子为0就直接选答案，忽略分母不能为0的限制，做题时要注意两个条件需同时满足，避免错选。
【难度系数】
0.7
6. 把分式方程$\frac{2}{x} - \frac{x}{x+1} = 1$化为整式方程，正确的是（）.
A.$2(x+1)-x^2=1$
B.$2(x+1)+x^2=1$
C.$2(x+1)-x^2=x(x+1)$
D.$2x-(x+1)^2=x(x+1)$
A.$2(x+1)-x^2=1$
B.$2(x+1)+x^2=1$
C.$2(x+1)-x^2=x(x+1)$
D.$2x-(x+1)^2=x(x+1)$
答案
C
解析
【分析】
要将分式方程化为整式方程，核心步骤是去分母，解题思路如下：第一步先确定方程中各分母的最简公分母，本题中两个分母分别是x和x+1，二者没有公因式，因此最简公分母为x(x+1)；第二步根据等式的性质，方程两边的每一项都要乘以最简公分母，注意不能漏乘不含分母的项（本题右边的常数项1也要乘），消去分母后整理即可得到对应的整式方程，再匹配选项即可。
【解析】
解：分式方程$\frac{2}{x} - \frac{x}{x+1} = 1$的最简公分母为$x(x+1)$，
方程两边同时乘以$x(x+1)$，得：
$\frac{2}{x} · x(x+1) - \frac{x}{x+1} · x(x+1) = 1 · x(x+1)$
约分后整理得：$2(x+1) - x^2 = x(x+1)$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 分式方程去分母 2. 最简公分母 3. 等式的性质
【点评】
本题考查分式方程转化为整式方程的基础操作，易错点是去分母时漏乘常数项，或处理分子、符号时出错，熟练掌握去分母的规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要将分式方程化为整式方程，核心步骤是去分母，解题思路如下：第一步先确定方程中各分母的最简公分母，本题中两个分母分别是x和x+1，二者没有公因式，因此最简公分母为x(x+1)；第二步根据等式的性质，方程两边的每一项都要乘以最简公分母，注意不能漏乘不含分母的项（本题右边的常数项1也要乘），消去分母后整理即可得到对应的整式方程，再匹配选项即可。
【解析】
解：分式方程$\frac{2}{x} - \frac{x}{x+1} = 1$的最简公分母为$x(x+1)$，
方程两边同时乘以$x(x+1)$，得：
$\frac{2}{x} · x(x+1) - \frac{x}{x+1} · x(x+1) = 1 · x(x+1)$
约分后整理得：$2(x+1) - x^2 = x(x+1)$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 分式方程去分母 2. 最简公分母 3. 等式的性质
【点评】
本题考查分式方程转化为整式方程的基础操作，易错点是去分母时漏乘常数项，或处理分子、符号时出错，熟练掌握去分母的规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
7. 学校建围栏,要为24 000根栏杆刷油漆.由于改进了技术,每天比原计划多刷400根,结果提前2天完成了任务,原计划每天刷多少根栏杆?如果设原计划每天刷x根栏杆,根据题意列方程为().
A.$\frac{24\ 000}{x} = \frac{24\ 000}{x-400} + 2$
B.$\frac{24\ 000}{x} = \frac{24\ 000}{x-400} - 2$
C.$\frac{24\ 000}{x} = \frac{24\ 000}{x+400} - 2$
D.$\frac{24\ 000}{x} = \frac{24\ 000}{x+400} + 2$
A.$\frac{24\ 000}{x} = \frac{24\ 000}{x-400} + 2$
B.$\frac{24\ 000}{x} = \frac{24\ 000}{x-400} - 2$
C.$\frac{24\ 000}{x} = \frac{24\ 000}{x+400} - 2$
D.$\frac{24\ 000}{x} = \frac{24\ 000}{x+400} + 2$
答案
D
解析
【分析】
这是工程类分式方程列写题目，解题核心是先明确“工作时间=工作总量÷工作效率”的基本关系，再找到题目中的时间等量关系。首先梳理已知条件：总工作量为24000根栏杆，原计划每天刷x根，改进技术后每天比原计划多刷400根，即实际每天刷(x+400)根；题目的关键时间关系为“实际比原计划提前2天完成”，也就是原计划所用时间比实际所用时间多2天，据此代入时间表达式即可列出对应方程。
【解析】
设原计划每天刷x根栏杆，则改进技术后每天刷$(x+400)$根栏杆。
原计划完成任务的时间：$\frac{24000}{x}$天
实际完成任务的时间：$\frac{24000}{x+400}$天
根据“实际比原计划提前2天完成”，可得原计划时间=实际时间+2，代入得方程：
$\frac{24000}{x} = \frac{24000}{x+400} + 2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的实际应用，工程问题数量关系
【点评】
本题属于分式方程应用的基础题型，解题的关键是准确区分原计划和实际的工作效率，理清二者的时间大小关系，避免出现效率加减、时间加减颠倒的错误。
【难度系数】
0.7
这是工程类分式方程列写题目，解题核心是先明确“工作时间=工作总量÷工作效率”的基本关系，再找到题目中的时间等量关系。首先梳理已知条件：总工作量为24000根栏杆，原计划每天刷x根，改进技术后每天比原计划多刷400根，即实际每天刷(x+400)根；题目的关键时间关系为“实际比原计划提前2天完成”，也就是原计划所用时间比实际所用时间多2天，据此代入时间表达式即可列出对应方程。
【解析】
设原计划每天刷x根栏杆，则改进技术后每天刷$(x+400)$根栏杆。
原计划完成任务的时间：$\frac{24000}{x}$天
实际完成任务的时间：$\frac{24000}{x+400}$天
根据“实际比原计划提前2天完成”，可得原计划时间=实际时间+2，代入得方程：
$\frac{24000}{x} = \frac{24000}{x+400} + 2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的实际应用，工程问题数量关系
【点评】
本题属于分式方程应用的基础题型，解题的关键是准确区分原计划和实际的工作效率，理清二者的时间大小关系，避免出现效率加减、时间加减颠倒的错误。
【难度系数】
0.7
8. 已知关于$x$的分式方程$\frac{1 - m}{x - 1} - 2 = \frac{2}{1 - x}$的解是非负数，则$m$的取值范围是（）.
A.$m≤5$且$m≠-3$
B.$m≥5$且$m≠-3$
C.$m≤5$且$m≠3$
D.$m≥5$且$m≠3$
A.$m≤5$且$m≠-3$
B.$m≥5$且$m≠-3$
C.$m≤5$且$m≠3$
D.$m≥5$且$m≠3$
答案
C
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要把分式方程转化为整式方程，用含m的代数式表示出方程的解；再根据“解是非负数”列出关于m的不等式求出初步范围；最后结合分式方程分母不为0的条件，排除增根对应的m值，就能得到最终的m取值范围。
【解析】
首先对原分式方程进行求解：
原方程为$\frac{1 - m}{x - 1} - 2 = \frac{2}{1 - x}$，整理右边的分式可得$\frac{1 - m}{x - 1} - 2 = -\frac{2}{x - 1}$。
方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)$（注意$x ≠ 1$，否则分式无意义），去分母得：
$1 - m - 2(x - 1) = -2$
展开并整理：
$1 - m - 2x + 2 = -2$
$3 - m - 2x = -2$
移项得：
$-2x = m - 5$
系数化为1得：
$x = \frac{5 - m}{2}$
接下来根据题目的条件列不等式：
1. 因为方程的解是非负数，所以$x ≥ 0$，即$\frac{5 - m}{2} ≥ 0$，解得$m ≤ 5$；
2. 因为分式分母不能为0，所以$x ≠ 1$，即$\frac{5 - m}{2} ≠ 1$，解得$m ≠ 3$。
综上，m的取值范围是$m ≤ 5$且$m ≠ 3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的增根，一元一次不等式的解法
【点评】
本题是分式方程结合不等式求参数范围的典型题型，解题的易错点是容易忽略分式方程有意义的前提，漏考虑增根的情况，导致错选其他选项。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先需要把分式方程转化为整式方程，用含m的代数式表示出方程的解；再根据“解是非负数”列出关于m的不等式求出初步范围；最后结合分式方程分母不为0的条件，排除增根对应的m值，就能得到最终的m取值范围。
【解析】
首先对原分式方程进行求解：
原方程为$\frac{1 - m}{x - 1} - 2 = \frac{2}{1 - x}$，整理右边的分式可得$\frac{1 - m}{x - 1} - 2 = -\frac{2}{x - 1}$。
方程两边同时乘以最简公分母$(x-1)$（注意$x ≠ 1$，否则分式无意义），去分母得：
$1 - m - 2(x - 1) = -2$
展开并整理：
$1 - m - 2x + 2 = -2$
$3 - m - 2x = -2$
移项得：
$-2x = m - 5$
系数化为1得：
$x = \frac{5 - m}{2}$
接下来根据题目的条件列不等式：
1. 因为方程的解是非负数，所以$x ≥ 0$，即$\frac{5 - m}{2} ≥ 0$，解得$m ≤ 5$；
2. 因为分式分母不能为0，所以$x ≠ 1$，即$\frac{5 - m}{2} ≠ 1$，解得$m ≠ 3$。
综上，m的取值范围是$m ≤ 5$且$m ≠ 3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的增根，一元一次不等式的解法
【点评】
本题是分式方程结合不等式求参数范围的典型题型，解题的易错点是容易忽略分式方程有意义的前提，漏考虑增根的情况，导致错选其他选项。
【难度系数】
0.6
二、填空题
9. (2025 玉溪期末)若分式$\frac{x}{x-7}$有意义，则实数x的取值范围是。
9. (2025 玉溪期末)若分式$\frac{x}{x-7}$有意义，则实数x的取值范围是。
答案
$x ≠ 7$
解析
【分析】
要确定分式有意义时x的取值范围，首先回忆分式有意义的核心要求：分式的分母不能为0。本题中分式的分母为$x-7$，因此只需令分母不等于0，解出对应的x的取值即可。
【解析】
根据分式有意义的条件：分母不为0，可列不等式：
$x - 7 ≠ 0$
解得：$x ≠ 7$
【答案】
$x ≠ 7$
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对分式有意义条件的应用，解题时只需抓住“分母不为0”这一关键要点列不等式求解即可，计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.9
要确定分式有意义时x的取值范围，首先回忆分式有意义的核心要求：分式的分母不能为0。本题中分式的分母为$x-7$，因此只需令分母不等于0，解出对应的x的取值即可。
【解析】
根据分式有意义的条件：分母不为0，可列不等式：
$x - 7 ≠ 0$
解得：$x ≠ 7$
【答案】
$x ≠ 7$
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对分式有意义条件的应用，解题时只需抓住“分母不为0”这一关键要点列不等式求解即可，计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.9
10. 分式$\frac{1}{2a^2b}$与$\frac{1}{3ab^2}$的最简公分母是。
答案
解：
分母$2a^2b$和$3ab^2$的系数分别为2、3，最小公倍数为6；
两个分母中出现的所有字母为a、b，其中字母a的最高次数是2，字母b的最高次数是2；
因此两个分式的最简公分母是$6a^2b^2$。
分母$2a^2b$和$3ab^2$的系数分别为2、3，最小公倍数为6；
两个分母中出现的所有字母为a、b，其中字母a的最高次数是2，字母b的最高次数是2；
因此两个分式的最简公分母是$6a^2b^2$。
解析
【分析】
要确定两个分式的最简公分母，可按固定规则分步思考：第一步先找各分母系数的最小公倍数；第二步梳理所有分母中出现的字母因式；第三步对每个字母因式取它在各分母中出现的最高次数，最后把系数的最小公倍数和各最高次幂的字母因式相乘，得到的结果就是最简公分母。
【解析】
首先观察两个分式的分母分别为$2a^2b$和$3ab^2$：
1. 求系数的最小公倍数：两个分母的系数是2和3，二者的最小公倍数为6；
2. 确定字母因式及最高次数：两个分母中出现的字母为a、b，其中a的最高次数是2，b的最高次数是2；
3. 组合得到最简公分母：将系数最小公倍数与各字母的最高次幂相乘，可得$6× a^2× b^2=6a^2b^2$。
【答案】
$6a^2b^2$
【知识点】
最简公分母的确定、最小公倍数计算、字母最高次幂判断
【点评】
本题是分式相关的基础题型，主要考查最简公分母的判定方法，是后续学习分式通分、分式加减运算的必备基础，熟练掌握“系数取最小公倍数、相同字母取最高次幂”的规则即可快速解答。
【难度系数】
0.9
要确定两个分式的最简公分母，可按固定规则分步思考：第一步先找各分母系数的最小公倍数；第二步梳理所有分母中出现的字母因式；第三步对每个字母因式取它在各分母中出现的最高次数，最后把系数的最小公倍数和各最高次幂的字母因式相乘，得到的结果就是最简公分母。
【解析】
首先观察两个分式的分母分别为$2a^2b$和$3ab^2$：
1. 求系数的最小公倍数：两个分母的系数是2和3，二者的最小公倍数为6；
2. 确定字母因式及最高次数：两个分母中出现的字母为a、b，其中a的最高次数是2，b的最高次数是2；
3. 组合得到最简公分母：将系数最小公倍数与各字母的最高次幂相乘，可得$6× a^2× b^2=6a^2b^2$。
【答案】
$6a^2b^2$
【知识点】
最简公分母的确定、最小公倍数计算、字母最高次幂判断
【点评】
本题是分式相关的基础题型，主要考查最简公分母的判定方法，是后续学习分式通分、分式加减运算的必备基础，熟练掌握“系数取最小公倍数、相同字母取最高次幂”的规则即可快速解答。
【难度系数】
0.9
11.若关于x的方程$\frac{2}{x-3}=1-\frac{m}{x-3}$无解，则m=.
答案
$\boldsymbol{-2}$
解析
【分析】
本题考查分式方程无解的问题，解题思路如下：首先明确分式方程无解有两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无实数解；二是整式方程的解恰好是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。首先找到原方程的增根为x=3，再将分式方程去分母转化为整式方程，结合无解的条件代入计算即可得到m的值。
【解析】
首先确定原分式方程的最简公分母为$x-3$，方程两边同时乘$x-3$（每一项都要乘），去分母得：
$2 = (x-3) - m$
整理整式方程，将含x的项留在左边，其余项移到右边得：
$x = 2 + 3 + m$
即 $x = 5 + m$
因为原分式方程无解，且该整式方程是一元一次方程，一定有解，因此该解必然是原分式方程的增根，即$x=3$。
将$x=3$代入$x = 5 + m$得：
$3 = 5 + m$
解得：$m = -2$
【答案】
$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
分式方程无解的条件；分式方程的增根；解分式方程
【点评】
本题是分式方程的常考题型，解题核心是理解分式方程无解的两类情形，重点注意增根是使原分式分母为0的根，需代入去分母后的整式方程求解参数，去分母时不要漏乘不含分母的项，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
本题考查分式方程无解的问题，解题思路如下：首先明确分式方程无解有两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无实数解；二是整式方程的解恰好是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。首先找到原方程的增根为x=3，再将分式方程去分母转化为整式方程，结合无解的条件代入计算即可得到m的值。
【解析】
首先确定原分式方程的最简公分母为$x-3$，方程两边同时乘$x-3$（每一项都要乘），去分母得：
$2 = (x-3) - m$
整理整式方程，将含x的项留在左边，其余项移到右边得：
$x = 2 + 3 + m$
即 $x = 5 + m$
因为原分式方程无解，且该整式方程是一元一次方程，一定有解，因此该解必然是原分式方程的增根，即$x=3$。
将$x=3$代入$x = 5 + m$得：
$3 = 5 + m$
解得：$m = -2$
【答案】
$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
分式方程无解的条件；分式方程的增根；解分式方程
【点评】
本题是分式方程的常考题型，解题核心是理解分式方程无解的两类情形，重点注意增根是使原分式分母为0的根，需代入去分母后的整式方程求解参数，去分母时不要漏乘不含分母的项，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
12. 某校组织学生进行劳动实践活动,用1 000元购进甲种劳动工具,用2 400元购进乙种劳动工具,所购进的乙种劳动工具的数量是甲种劳动工具的2倍,但乙种劳动工具的单价比甲种劳动工具的单价贵了4元.设甲种劳动工具单价为x元,则x满足的分式方程为.
答案
解：
设甲种劳动工具单价为$x$元，则乙种劳动工具单价为$(x+4)$元。
购进甲种劳动工具的数量为$\frac{1000}{x}$，购进乙种劳动工具的数量为$\frac{2400}{x+4}$。
根据乙种劳动工具的数量是甲种劳动工具数量的2倍，可得方程：
$\frac{2400}{x+4}=\frac{2×1000}{x}$
即
$\frac{2400}{x+4}=\frac{2000}{x}$
设甲种劳动工具单价为$x$元，则乙种劳动工具单价为$(x+4)$元。
购进甲种劳动工具的数量为$\frac{1000}{x}$，购进乙种劳动工具的数量为$\frac{2400}{x+4}$。
根据乙种劳动工具的数量是甲种劳动工具数量的2倍，可得方程：
$\frac{2400}{x+4}=\frac{2×1000}{x}$
即
$\frac{2400}{x+4}=\frac{2000}{x}$
解析
【分析】
解题时需先明确单价、总价、数量三者的核心关系：数量=总价÷单价。首先根据甲的单价为$x$元，结合“乙单价比甲贵4元”的条件，写出乙的单价；再分别用两种工具的总采购价除以对应单价，表示出甲、乙两种劳动工具的购买数量；最后根据题目给出的等量关系“乙种劳动工具的数量是甲种劳动工具的2倍”，即可列出对应的分式方程。
【解析】
设甲种劳动工具单价为$x$元，则乙种劳动工具单价为$(x+4)$元。
根据“数量=总价÷单价”可得：
购进甲种劳动工具的数量为$\frac{1000}{x}$，购进乙种劳动工具的数量为$\frac{2400}{x+4}$。
结合“乙种劳动工具的数量是甲种劳动工具数量的2倍”的等量关系，列方程得：
$\frac{2400}{x+4}=2×\frac{1000}{x}$
整理后为：$\frac{2400}{x+4}=\frac{2000}{x}$
【答案】
$\frac{2400}{x+4}=\frac{2000}{x}$
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 单价、数量、总价的关系
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，重点考查从实际问题中提取等量关系的能力，解题时注意不要混淆甲、乙工具的单价对应关系，找准数量之间的倍数关系即可快速列出方程。
【难度系数】
0.8
解题时需先明确单价、总价、数量三者的核心关系：数量=总价÷单价。首先根据甲的单价为$x$元，结合“乙单价比甲贵4元”的条件，写出乙的单价；再分别用两种工具的总采购价除以对应单价，表示出甲、乙两种劳动工具的购买数量；最后根据题目给出的等量关系“乙种劳动工具的数量是甲种劳动工具的2倍”，即可列出对应的分式方程。
【解析】
设甲种劳动工具单价为$x$元，则乙种劳动工具单价为$(x+4)$元。
根据“数量=总价÷单价”可得：
购进甲种劳动工具的数量为$\frac{1000}{x}$，购进乙种劳动工具的数量为$\frac{2400}{x+4}$。
结合“乙种劳动工具的数量是甲种劳动工具数量的2倍”的等量关系，列方程得：
$\frac{2400}{x+4}=2×\frac{1000}{x}$
整理后为：$\frac{2400}{x+4}=\frac{2000}{x}$
【答案】
$\frac{2400}{x+4}=\frac{2000}{x}$
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 单价、数量、总价的关系
【点评】
本题是分式方程应用的基础题型，重点考查从实际问题中提取等量关系的能力，解题时注意不要混淆甲、乙工具的单价对应关系，找准数量之间的倍数关系即可快速列出方程。
【难度系数】
0.8
三、解答题
13. 计算:
(1)$\sqrt{9}-(\dfrac{1}{2})^{-1}-|-3|×5-(π-3.14)^0$;
(2)$(3×10^{-6})^2÷(10^{-3})^4$;
(3)$(6x^2y^{-1})^{-2}÷(-4xy^{-2})^{-2}$.(结果化为只含正整数指数幂的形式)
13. 计算:
(1)$\sqrt{9}-(\dfrac{1}{2})^{-1}-|-3|×5-(π-3.14)^0$;
(2)$(3×10^{-6})^2÷(10^{-3})^4$;
(3)$(6x^2y^{-1})^{-2}÷(-4xy^{-2})^{-2}$.(结果化为只含正整数指数幂的形式)
答案
解：
(1) 原式$=3 - 2 - 3×5 - 1$
$=3 - 2 - 15 - 1$
$=-15$
(2) 原式$=9×10^{-12}÷10^{-12}$
$=9×(10^{-12}÷10^{-12})$
$=9×1$
$=9$
(3) 原式$=6^{-2}x^{-4}y^{2}÷[(-4)^{-2}x^{-2}y^{4}]$
$=\dfrac{1}{36}x^{-4}y^{2}÷(\dfrac{1}{16}x^{-2}y^{4})$
$=(\dfrac{1}{36}×16)· x^{-4-(-2)}· y^{2-4}$
$=\dfrac{4}{9}x^{-2}y^{-2}$
$=\dfrac{4}{9x^{2}y^{2}}$
(1) 原式$=3 - 2 - 3×5 - 1$
$=3 - 2 - 15 - 1$
$=-15$
(2) 原式$=9×10^{-12}÷10^{-12}$
$=9×(10^{-12}÷10^{-12})$
$=9×1$
$=9$
(3) 原式$=6^{-2}x^{-4}y^{2}÷[(-4)^{-2}x^{-2}y^{4}]$
$=\dfrac{1}{36}x^{-4}y^{2}÷(\dfrac{1}{16}x^{-2}y^{4})$
$=(\dfrac{1}{36}×16)· x^{-4-(-2)}· y^{2-4}$
$=\dfrac{4}{9}x^{-2}y^{-2}$
$=\dfrac{4}{9x^{2}y^{2}}$
解析
【分析】
本题包含3个基础运算小题，解题思路分别如下：
(1) 属于实数混合运算，先分别化简各部分：$\sqrt{9}$是9的算术平方根得3，$(\frac{1}{2})^{-1}$是负整数指数幂等于2，$|-3|$是绝对值得3，任何非零数的0次幂（$π-3.14\ne0$）得1，再按照先乘除后加减的顺序计算即可。
(2) 属于幂的运算类题目，先根据积的乘方、幂的乘方法则分别计算被除数和除数，再根据同底数幂的除法法则计算，最后化简结果。
(3) 属于含负整数指数幂的整式运算，先根据积的乘方法则分别计算两个乘方项，再根据单项式除以单项式的法则计算系数和同底数幂的除法，最后把负指数幂转化为正整数指数幂的形式即可。
【解析】
(1) 先化简各运算项，再按顺序计算：
原式$=3 - 2 - 3×5 - 1$
$=3 - 2 - 15 - 1$
$=-15$
(2) 先算乘方，再算除法：
原式$=9×10^{-12}÷10^{-12}$
$=9×(10^{-12}÷10^{-12})$
$=9×1$
$=9$
(3) 先算乘方，再算除法，最后化为正整数指数幂：
原式$=6^{-2}x^{-4}y^{2}÷[(-4)^{-2}x^{-2}y^{4}]$
$=\dfrac{1}{36}x^{-4}y^{2}÷(\dfrac{1}{16}x^{-2}y^{4})$
$=(\dfrac{1}{36}×16)· x^{-4-(-2)}· y^{2-4}$
$=\dfrac{4}{9}x^{-2}y^{-2}$
$=\dfrac{4}{9x^{2}y^{2}}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-15}$；(2) $\boldsymbol{9}$；(3) $\boldsymbol{\dfrac{4}{9x^2y^2}}$
【知识点】
实数混合运算、幂的运算性质、负整数指数幂化简
【点评】
本题是运算类基础题，核心考察各类运算规则的熟练应用，解题时要注意运算顺序，处理负指数、零指数时牢记运算规则，计算系数时注意符号问题，避免因粗心导致运算错误。
【难度系数】
0.8
本题包含3个基础运算小题，解题思路分别如下：
(1) 属于实数混合运算，先分别化简各部分：$\sqrt{9}$是9的算术平方根得3，$(\frac{1}{2})^{-1}$是负整数指数幂等于2，$|-3|$是绝对值得3，任何非零数的0次幂（$π-3.14\ne0$）得1，再按照先乘除后加减的顺序计算即可。
(2) 属于幂的运算类题目，先根据积的乘方、幂的乘方法则分别计算被除数和除数，再根据同底数幂的除法法则计算，最后化简结果。
(3) 属于含负整数指数幂的整式运算，先根据积的乘方法则分别计算两个乘方项，再根据单项式除以单项式的法则计算系数和同底数幂的除法，最后把负指数幂转化为正整数指数幂的形式即可。
【解析】
(1) 先化简各运算项，再按顺序计算：
原式$=3 - 2 - 3×5 - 1$
$=3 - 2 - 15 - 1$
$=-15$
(2) 先算乘方，再算除法：
原式$=9×10^{-12}÷10^{-12}$
$=9×(10^{-12}÷10^{-12})$
$=9×1$
$=9$
(3) 先算乘方，再算除法，最后化为正整数指数幂：
原式$=6^{-2}x^{-4}y^{2}÷[(-4)^{-2}x^{-2}y^{4}]$
$=\dfrac{1}{36}x^{-4}y^{2}÷(\dfrac{1}{16}x^{-2}y^{4})$
$=(\dfrac{1}{36}×16)· x^{-4-(-2)}· y^{2-4}$
$=\dfrac{4}{9}x^{-2}y^{-2}$
$=\dfrac{4}{9x^{2}y^{2}}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-15}$；(2) $\boldsymbol{9}$；(3) $\boldsymbol{\dfrac{4}{9x^2y^2}}$
【知识点】
实数混合运算、幂的运算性质、负整数指数幂化简
【点评】
本题是运算类基础题，核心考察各类运算规则的熟练应用，解题时要注意运算顺序，处理负指数、零指数时牢记运算规则，计算系数时注意符号问题，避免因粗心导致运算错误。
【难度系数】
0.8
