含$30°$角的直角三角形的性质
在直角三角形中,如果一个锐角等于$30°$,那
么它所对的直角边等于斜边的.

解：
一半

【分析】
本题考查含30°角的直角三角形的基础性质，属于识记类题目，解题时直接回忆对应性质内容即可。我们也可以通过拼接推导的方式验证结论：将两个全等的含30°角的直角三角形沿长直角边拼接，可得到等边三角形，由此就能推出30°锐角所对直角边和斜边的数量关系。
【解析】
根据含30°角的直角三角形的官方定义性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。也可推导验证：两个全等的含30°角的直角三角形拼接后得到的等边三角形边长与原直角三角形斜边长度相等，而原30°角所对的直角边恰好是等边三角形边长的一半，因此可验证该结论成立。
【答案】
一半
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是对几何基础性质的直接考察，属于送分类题目，只要熟记相关知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.9

【例题】如图,在$△ ABC$中,$∠ C = 90°$,$∠ B = 30°$,$DE$是$AB$的垂直平分线,垂足为$E$,$DE$交$BC$于点$D$,连接$AD$.
(1)求证:$DC = DE$;
(2)若$CD = 3$,求$BD$的长.

(1) 证明：
∵ $DE$是$AB$的垂直平分线，
∴ $AD = BD$，
∴ $∠ DAB = ∠ B = 30°$。
∵ $∠ C = 90°$，$∠ B = 30°$，
∴ $∠ BAC = 90° - 30° = 60°$，
∴ $∠ CAD = ∠ BAC - ∠ DAB = 30°$，
即$AD$平分$∠ CAB$。
又∵ $DC⊥ AC$，$DE⊥ AB$，
∴ $DC = DE$。
---
(2) 解：
由(1)得 $DE = CD = 3$，
∵ $DE⊥ AB$，即$∠ DEB = 90°$，且$∠ B = 30°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$BD = 2DE = 2×3 = 6$。
综上，$BD$的长为$\boldsymbol{6}$。

【分析】
(1) 要证DC=DE，可利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此只需先证明AD是∠CAB的角平分线。首先根据垂直平分线的性质得到AD=BD，推出∠DAB=∠B=30°；再结合直角三角形两锐角互余，算出∠BAC=60°，进而得到∠CAD=30°，即可证AD平分∠CAB，结合DC⊥AC、DE⊥AB的条件，就能得出DC=DE。
(2) 求BD的长时，由(1)的结论可得DE=CD=3，观察到DE在Rt△BDE中，且∠B=30°，根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边是斜边的一半，即可直接求出BD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ $DE$是$AB$的垂直平分线，
∴ $AD = BD$，
∴ $∠ DAB = ∠ B = 30°$。
∵ $∠ C = 90°$，$∠ B = 30°$，
∴ $∠ BAC = 90° - 30° = 60°$，
∴ $∠ CAD = ∠ BAC - ∠ DAB = 60°-30° = 30°$，
即$AD$平分$∠ CAB$。
又
∵ $DC⊥ AC$，$DE⊥ AB$，
∴ $DC = DE$。
(2) 解：
由(1)得 $DE = CD = 3$，
∵ $DE⊥ AB$，即$∠ DEB = 90°$，且$∠ B = 30°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$BD = 2DE = 2×3 = 6$。
【答案】
(1) 证明成立，$DC=DE$；
(2) $BD$的长为$\boldsymbol{6}$。
【知识点】
垂直平分线的性质，角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于三角形性质的基础综合题，解题的关键是熟练掌握各几何性质的适用条件，通过垂直平分线推导等角，进一步得到角平分线，再结合特殊直角三角形的性质求解，是几何基础部分的常考题型，需要熟练掌握各性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7

【变式】某市旧城改造项目计划在一块如图所示的三角形空地上种植草皮美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮一共需要多少钱？

解：过点B作BE⊥CA，交CA的延长线于点E。
∵ ∠BAC = 150°，
∴ ∠BAE = 180° - 150° = 30°。
在Rt△ABE中，∠E = 90°，∠BAE = 30°，AB = 20 m，
∴ BE = $\frac{1}{2}$AB = 10 m。
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · BE = \frac{1}{2} × 40 × 10 = 200 \ (\mathrm{m}^2)$。
∴ 购买草皮的总费用为$200a$元。
答：购买这种草皮一共需要$200a$元。

【分析】
要计算购买草皮的总费用，首先需要求出△ABC的面积，再乘以每平方米草皮的价格a。计算三角形面积可选长度已知的AC为底，此时需要求出AC边上的高；由于∠BAC=150°为钝角，AC边上的高在三角形外部，因此过点B作CA延长线的垂线，构造含30°角的直角三角形，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质求出高，再代入面积公式计算，最后求总费用即可。
【解析】
过点B作BE⊥CA，交CA的延长线于点E。
∵ ∠BAC = 150°，
∴ ∠BAE = 180° - 150° = 30°。
在Rt△ABE中，∠E = 90°，∠BAE = 30°，AB = 20 m，
根据含30°角的直角三角形的性质，可得BE = $\frac{1}{2}$AB = 10 m。
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · BE = \frac{1}{2} × 40 × 10 = 200 \ (\mathrm{m}^2)$。
已知草皮每平方米a元，因此总费用为$200 × a = 200a$元。
【答案】
购买这种草皮一共需要$\boxed{200a}$元。
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形的性质；2. 三角形面积计算；3. 邻补角的性质
【点评】
本题结合实际场景考查三角形面积的求解，解题的关键是正确作出辅助线，构造含30°角的直角三角形求出对应高，需注意钝角三角形的高会落在三角形外部，避免找错高的位置。
【难度系数】
0.7

1. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C=90°$, $∠ A=30°$, $BC=3.5\ \mathrm{cm}$,则 $AB$ 等于().

A.$3.5\ \mathrm{cm}$
B.$4\ \mathrm{cm}$
C.$6\ \mathrm{cm}$
D.$7\ \mathrm{cm}$

D

【分析】
首先观察题目给出的是直角三角形，已知一个锐角为30°，且已知30°角对应的直角边长度，要求斜边长度。我们可以直接调用含30°角的直角三角形的性质解题：首先明确30°角∠A对应的直角边是BC，斜边是AB，根据性质可建立BC和AB的数量关系，代入数值计算即可得到AB的长度。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，
根据含30°角的直角三角形的性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BC=\frac{1}{2}AB$，
变形得$AB=2BC$，
将$BC=3.5\ \mathrm{cm}$代入计算：
$AB=2×3.5=7\ \mathrm{cm}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查含30°角的直角三角形性质的应用，解题的关键是准确识别30°角对应的直角边和斜边，避免混淆二者的倍数关系就能快速解题。
【难度系数】
0.9

2. 等腰三角形的一腰长为$3a$，底角为$15°$，则另一腰上的高为().

A.$a$
B.$1.5a$
C.$2a$
D.$3a$

B

【分析】
解题时首先根据等腰三角形两底角相等的性质求出顶角的度数，进而得到顶角的外角度数；再作出另一腰上的高，可得到一个含30°角的直角三角形，最后利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质即可求出高的长度。注意本题中是钝角等腰三角形，腰上的高在三角形外部。
【解析】
设等腰三角形为$△ ABC$，$AB=AC=3a$，底角$∠ B=∠ ACB=15°$，过点$C$作$CD⊥ AB$，交$BA$的延长线于点$D$，则$CD$即为腰$AB$上的高。
1. 求顶角$∠ BAC$：
根据三角形内角和为$180°$，得$∠ BAC=180° - ∠ B - ∠ ACB=180° -15°×2=150°$。
2. 求$∠ CAD$的度数：
$∠ CAD$是$∠ BAC$的邻补角，因此$∠ CAD=180° - ∠ BAC=180° -150°=30°$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中计算高$CD$：
根据含$30°$角的直角三角形的性质：直角三角形中$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，斜边$AC=3a$，$∠ CAD=30°$，其对边为$CD$，因此$CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×3a=1.5a$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题的易错点是容易忽略钝角三角形的高在三角形外部，从而错误判断30°角的位置。解题的核心是通过作腰上的高构造出含30°角的直角三角形，再结合对应性质求解即可。
【难度系数】
0.6

3. 如图，$∠ AOE = ∠ BOE = 15°$，$EF // OB$，$EC ⊥ OB$于点$C$. 若$CE=3$，则$OF$的长为().

A.2
B.4
C.6
D.8

C

【分析】
解题时首先观察题干条件：OE是∠AOB的角平分线，EC⊥OB，可联想到角平分线的性质，先作辅助线EH⊥OA，得到EH=CE=3；再结合EF//OB的条件，一方面利用平行线的内错角相等推出∠OEF=∠AOE，得到OF=EF，另一方面利用平行线的同位角相等得到∠EFH=∠AOB=30°，最后在Rt△EFH中利用含30°角的直角三角形的性质求出EF的长度，即可得到OF的长。
【解析】
过点E作$EH ⊥ OA$于点H。
1. 由角平分线的性质：
∵ $∠ AOE = ∠ BOE = 15°$，即OE平分$∠ AOB$，且$EC ⊥ OB$，$EH ⊥ OA$，
∴ $EH = CE = 3$。
2. 结合平行线的性质推导边的关系：
∵ $EF // OB$，
∴ $∠ OEF = ∠ BOE = 15°$，$∠ EFH = ∠ AOB = ∠ AOE + ∠ BOE = 30°$。
又
∵ $∠ AOE = 15°$，
∴ $∠ AOE = ∠ OEF$，根据等角对等边可得$OF = EF$。
3. 利用含30°角的直角三角形的性质计算：
在$Rt△ EFH$中，$∠ EFH = 30°$，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴ $EF = 2EH = 2 × 3 = 6$，
∴ $OF = EF = 6$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；平行线的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将角平分线、平行线、特殊直角三角形的性质结合考查，解题的关键是正确作出辅助线，灵活运用各性质转化边和角的关系，这类题是对基础知识点应用能力的常规考查。
【难度系数】
0.7

4. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=2∠ A$，$BC=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，$AB=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}.$

$\boldsymbol{2\sqrt{3}}$

【分析】
首先，已知△ABC是直角三角形，∠C=90°，根据直角三角形两锐角和为90°，结合题目给出的∠B=2∠A的关系，可先计算出∠A的度数；再根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求出斜边AB的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ A + ∠ B = 90°$
又$\because ∠ B=2∠ A$，代入上式得：
$∠ A + 2∠ A = 90°$
$3∠ A = 90°$
解得$∠ A=30°$
根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，$∠ A$对的直角边为$BC$，斜边为$AB$，因此：
$BC=\frac{1}{2}AB$
$\therefore AB=2BC$
已知$BC=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，代入得：
$AB=2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$\boldsymbol{2\sqrt{3}}$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先通过角度关系求出30°的内角，再结合特殊直角三角形的边角性质计算斜边长度，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8