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3. 如图,已知$△ ABC$是等边三角形,BD是中线,延长BC到点E,使$CE=CD$.
(1)若$AB=10$,求BE的长;
(2)求$∠ E$的度数.
(1)若$AB=10$,求BE的长;
(2)求$∠ E$的度数.
答案
解：
(1) ∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=BC=AC=10。
∵ BD是△ABC的中线，
∴ D为AC的中点，
∴ $CD=\frac{1}{2}AC=5$。
又∵ CE=CD，
∴ CE=5，
∴ BE=BC+CE=10+5=15。
(2) ∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ACB=60°。
∵ CE=CD，
∴ ∠E=∠CDE。
∵ ∠ACB是△DCE的外角，
∴ ∠ACB=∠E+∠CDE=2∠E，
∴ $2∠E=60°$，
∴ ∠E=30°。
(1) ∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=BC=AC=10。
∵ BD是△ABC的中线，
∴ D为AC的中点，
∴ $CD=\frac{1}{2}AC=5$。
又∵ CE=CD，
∴ CE=5，
∴ BE=BC+CE=10+5=15。
(2) ∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ACB=60°。
∵ CE=CD，
∴ ∠E=∠CDE。
∵ ∠ACB是△DCE的外角，
∴ ∠ACB=∠E+∠CDE=2∠E，
∴ $2∠E=60°$，
∴ ∠E=30°。
解析
【分析】
(1) 求BE的长时，首先观察图形可得BE=BC+CE，因此只需分别求出BC和CE的长度即可。先利用等边三角形三边相等的性质，由AB的长度得到BC、AC的长度；再结合BD是中线的条件，可知D为AC中点，即可求出CD的长度；最后根据CE=CD得到CE的长度，代入线段和的关系就能算出BE。
(2) 求∠E的度数时，首先由等边三角形的内角为60°得到∠ACB的度数；已知CE=CD，可知△DCE是等腰三角形，根据等边对等角可得∠E=∠CDE；再利用三角形外角的性质，∠ACB是△DCE的外角，等于两个不相邻内角∠E和∠CDE的和，即∠ACB=2∠E，代入∠ACB的度数即可求出∠E。
【解析】
(1)
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=BC=AC=10。
∵ BD是△ABC的中线，
∴ D为AC的中点，
∴ $CD=\frac{1}{2}AC=5$。
又
∵ CE=CD，
∴ CE=5，
∴ BE=BC+CE=10+5=15。
(2)
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ACB=60°。
∵ CE=CD，
∴ ∠E=∠CDE。
∵ ∠ACB是△DCE的外角，
∴ ∠ACB=∠E+∠CDE=2∠E，
∴ $2∠E=60°$，
∴ ∠E=30°。
【答案】
(1) BE的长为15；(2) ∠E的度数为$30°$
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握等边三角形、等腰三角形的性质以及三角形外角定理，结合图形分析线段、角度的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
(1) 求BE的长时，首先观察图形可得BE=BC+CE，因此只需分别求出BC和CE的长度即可。先利用等边三角形三边相等的性质，由AB的长度得到BC、AC的长度；再结合BD是中线的条件，可知D为AC中点，即可求出CD的长度；最后根据CE=CD得到CE的长度，代入线段和的关系就能算出BE。
(2) 求∠E的度数时，首先由等边三角形的内角为60°得到∠ACB的度数；已知CE=CD，可知△DCE是等腰三角形，根据等边对等角可得∠E=∠CDE；再利用三角形外角的性质，∠ACB是△DCE的外角，等于两个不相邻内角∠E和∠CDE的和，即∠ACB=2∠E，代入∠ACB的度数即可求出∠E。
【解析】
(1)
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=BC=AC=10。
∵ BD是△ABC的中线，
∴ D为AC的中点，
∴ $CD=\frac{1}{2}AC=5$。
又
∵ CE=CD，
∴ CE=5，
∴ BE=BC+CE=10+5=15。
(2)
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ACB=60°。
∵ CE=CD，
∴ ∠E=∠CDE。
∵ ∠ACB是△DCE的外角，
∴ ∠ACB=∠E+∠CDE=2∠E，
∴ $2∠E=60°$，
∴ ∠E=30°。
【答案】
(1) BE的长为15；(2) ∠E的度数为$30°$
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握等边三角形、等腰三角形的性质以及三角形外角定理，结合图形分析线段、角度的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
4. 下列条件不能判定$△ ABC$是等边三角形的是().
A.$∠ A=∠ B=∠ C$
B.$AB=BC,AC=BC$
C.$AB=BC,∠ B=60°$
D.$AB=BC,∠ A=∠ C$
A.$∠ A=∠ B=∠ C$
B.$AB=BC,AC=BC$
C.$AB=BC,∠ B=60°$
D.$AB=BC,∠ A=∠ C$
答案
D
解析
【分析】
本题考查等边三角形的判定，解题时先回忆等边三角形的3种判定方法：①三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。接下来逐个分析每个选项是否符合上述判定定理即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：三角形内角和为180°，若∠A=∠B=∠C，则每个角的度数为180°÷3=60°，满足“三个角都相等的三角形是等边三角形”，可以判定△ABC是等边三角形；
B选项：由AB=BC，AC=BC可得AB=BC=AC，三边都相等，满足“三边相等的三角形是等边三角形”，可以判定△ABC是等边三角形；
C选项：AB=BC说明△ABC是等腰三角形，又∠B=60°，满足“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，可以判定△ABC是等边三角形；
D选项：AB=BC本身就说明△ABC是等腰三角形，等腰三角形的两个底角∠A和∠C本来就相等，该条件仅能说明△ABC是等腰三角形，无法推出它是等边三角形。
综上，不能判定△ABC是等边三角形的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
1.等边三角形的判定
2.等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分等边三角形和等腰三角形的判定条件，只要熟记等边三角形的三类判定定理，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
本题考查等边三角形的判定，解题时先回忆等边三角形的3种判定方法：①三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。接下来逐个分析每个选项是否符合上述判定定理即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：三角形内角和为180°，若∠A=∠B=∠C，则每个角的度数为180°÷3=60°，满足“三个角都相等的三角形是等边三角形”，可以判定△ABC是等边三角形；
B选项：由AB=BC，AC=BC可得AB=BC=AC，三边都相等，满足“三边相等的三角形是等边三角形”，可以判定△ABC是等边三角形；
C选项：AB=BC说明△ABC是等腰三角形，又∠B=60°，满足“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，可以判定△ABC是等边三角形；
D选项：AB=BC本身就说明△ABC是等腰三角形，等腰三角形的两个底角∠A和∠C本来就相等，该条件仅能说明△ABC是等腰三角形，无法推出它是等边三角形。
综上，不能判定△ABC是等边三角形的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
1.等边三角形的判定
2.等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分等边三角形和等腰三角形的判定条件，只要熟记等边三角形的三类判定定理，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
5. 如图,已知OA=a,P是射线ON上一动点,∠AON=60°,当OP=时,△AOP为等边三角形. 
答案
$\boldsymbol{a}$
解析
【分析】
要使△AOP为等边三角形，先梳理已知条件：∠AOP=60°，OA=a。根据等边三角形的判定规则，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，当前∠AOP已经是60°，只需要让夹这个角的两条边OA和OP相等，即可满足等腰三角形的要求，进而判定△AOP为等边三角形，因此OP的长度和OA相等即可。
【解析】
已知∠AON=60°，即∠AOP=60°。
根据等边三角形的判定定理：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，若△AOP为等边三角形，则夹60°角的两条边需相等，即OA=OP。
又已知OA=a，因此OP=OA=a，此时△AOP符合等边三角形的判定条件。
【答案】
$\boldsymbol{a}$
【知识点】
等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题是基础应用题，主要考查等边三角形判定定理的直接运用，熟练掌握等边三角形的判定规则就能快速求解。
【难度系数】
0.9
要使△AOP为等边三角形，先梳理已知条件：∠AOP=60°，OA=a。根据等边三角形的判定规则，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，当前∠AOP已经是60°，只需要让夹这个角的两条边OA和OP相等，即可满足等腰三角形的要求，进而判定△AOP为等边三角形，因此OP的长度和OA相等即可。
【解析】
已知∠AON=60°，即∠AOP=60°。
根据等边三角形的判定定理：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，若△AOP为等边三角形，则夹60°角的两条边需相等，即OA=OP。
又已知OA=a，因此OP=OA=a，此时△AOP符合等边三角形的判定条件。
【答案】
$\boldsymbol{a}$
【知识点】
等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题是基础应用题，主要考查等边三角形判定定理的直接运用，熟练掌握等边三角形的判定规则就能快速求解。
【难度系数】
0.9
6. 已知$△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$,且满足$|a-b|+(3b-3c)^2=0$,试判断$△ ABC$的形状.
答案
解：
∵ 任意实数的绝对值和平方都为非负数，
∴ $|a-b|≥0$，$(3b-3c)^2≥0$，
又∵ $|a-b|+(3b-3c)^2=0$，
∴ $|a-b|=0$，$(3b-3c)^2=0$，
即 $a-b=0$，$3b-3c=0$，
可得 $a=b$，$b=c$，
∴ $a=b=c$，
∴ $△ ABC$是等边三角形。
∵ 任意实数的绝对值和平方都为非负数，
∴ $|a-b|≥0$，$(3b-3c)^2≥0$，
又∵ $|a-b|+(3b-3c)^2=0$，
∴ $|a-b|=0$，$(3b-3c)^2=0$，
即 $a-b=0$，$3b-3c=0$，
可得 $a=b$，$b=c$，
∴ $a=b=c$，
∴ $△ ABC$是等边三角形。
解析
【分析】
解题时先观察已知等式的结构，等式左边是绝对值与平方的和，根据已学知识，绝对值和平方的结果都具有非负性，即二者的取值都大于等于0。当两个非负数的和为0时，仅存在一种可能：两个非负数各自的值都为0，由此可得到两个关于边长a、b、c的等式，整理得出三边的数量关系后，再结合三角形按边分类的判定规则，就能确定三角形的形状。
【解析】
∵ 任意实数的绝对值和平方都为非负数，
∴ $|a-b|≥0$，$(3b-3c)^2≥0$，
又
∵ $|a-b|+(3b-3c)^2=0$，
∴ $|a-b|=0$，$(3b-3c)^2=0$，
即 $a-b=0$，$3b-3c=0$，
可得 $a=b$，$b=c$，
∴ $a=b=c$，
∴ $△ ABC$是等边三角形。
【答案】
$△ ABC$是等边三角形
【知识点】
1.非负数的性质 2.等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，主要考查非负数性质与等边三角形判定的结合应用，解题核心是牢记“若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0”的结论，推导得出三边的等量关系即可得到答案。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知等式的结构，等式左边是绝对值与平方的和，根据已学知识，绝对值和平方的结果都具有非负性，即二者的取值都大于等于0。当两个非负数的和为0时，仅存在一种可能：两个非负数各自的值都为0，由此可得到两个关于边长a、b、c的等式，整理得出三边的数量关系后，再结合三角形按边分类的判定规则，就能确定三角形的形状。
【解析】
∵ 任意实数的绝对值和平方都为非负数，
∴ $|a-b|≥0$，$(3b-3c)^2≥0$，
又
∵ $|a-b|+(3b-3c)^2=0$，
∴ $|a-b|=0$，$(3b-3c)^2=0$，
即 $a-b=0$，$3b-3c=0$，
可得 $a=b$，$b=c$，
∴ $a=b=c$，
∴ $△ ABC$是等边三角形。
【答案】
$△ ABC$是等边三角形
【知识点】
1.非负数的性质 2.等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，主要考查非负数性质与等边三角形判定的结合应用，解题核心是牢记“若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0”的结论，推导得出三边的等量关系即可得到答案。
【难度系数】
0.8
7. (2025昆明期末)如图,将等边三角形APQ的边PQ向两边延长,使PB=QC=PQ,则∠BAC的度数为().
A.$120°$
B.$110°$
C.$100°$
D.$90°$
A.$120°$
B.$110°$
C.$100°$
D.$90°$
答案
A
解析
【分析】
解题时先从已知的等边三角形入手，先利用等边三角形三边相等、三个内角为60°的性质，结合题目给出的PB=QC=PQ，推导出△ABP和△AQC都是等腰三角形；再通过邻补角的关系求出等腰三角形的顶角度数，利用等腰三角形两底角相等算出∠B和∠C的度数；最后将∠BAP、∠PAQ、∠CAQ三个角相加即可得到∠BAC的大小。
【解析】
解：
∵△APQ是等边三角形，
∴AP=PQ=AQ，∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°，
∴∠APB=180°-∠APQ=120°，∠AQC=180°-∠AQP=120°，
又
∵PB=QC=PQ，
∴PB=AP，QC=AQ，
∴△ABP和△AQC均为等腰三角形，
在△ABP中，∠B=∠BAP=(180°-∠APB)÷2=(180°-120°)÷2=30°，
同理可得∠C=∠CAQ=30°，
∴∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠CAQ=30°+60°+30°=120°。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形性质的综合基础题，解题的关键是通过边的等量关系得到等腰三角形，再结合角度的和差关系计算所求角度，是等边三角形章节的典型考题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的等边三角形入手，先利用等边三角形三边相等、三个内角为60°的性质，结合题目给出的PB=QC=PQ，推导出△ABP和△AQC都是等腰三角形；再通过邻补角的关系求出等腰三角形的顶角度数，利用等腰三角形两底角相等算出∠B和∠C的度数；最后将∠BAP、∠PAQ、∠CAQ三个角相加即可得到∠BAC的大小。
【解析】
解：
∵△APQ是等边三角形，
∴AP=PQ=AQ，∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°，
∴∠APB=180°-∠APQ=120°，∠AQC=180°-∠AQP=120°，
又
∵PB=QC=PQ，
∴PB=AP，QC=AQ，
∴△ABP和△AQC均为等腰三角形，
在△ABP中，∠B=∠BAP=(180°-∠APB)÷2=(180°-120°)÷2=30°，
同理可得∠C=∠CAQ=30°，
∴∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠CAQ=30°+60°+30°=120°。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形性质的综合基础题，解题的关键是通过边的等量关系得到等腰三角形，再结合角度的和差关系计算所求角度，是等边三角形章节的典型考题。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在等边三角形ABC中,BD⊥AC,BF=BD,则∠CDF的度数是().
A.$10°$
B.$15°$
C.$20°$
D.$25°$
A.$10°$
B.$15°$
C.$20°$
D.$25°$
答案
B
解析
【分析】
解题时先从等边三角形的性质入手：①等边三角形每个内角为60°，且具有三线合一的性质，因此BD垂直AC时可推出BD平分∠ABC，得到∠DBC的度数；②再根据BF=BD可知△BDF是等腰三角形，结合三角形内角和定理算出底角∠BDF的度数；③最后结合BD⊥AC得到∠BDC=90°，用∠BDC减去∠BDF即可求出∠CDF的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵BD⊥AC，根据等边三角形三线合一的性质，BD平分∠ABC，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
又
∵BF=BD，
∴△BDF是等腰三角形，
∴∠BDF=∠BFD=(180°-∠DBC)÷2=(180°-30°)÷2=75°，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴∠CDF=∠BDC - ∠BDF=90°-75°=15°。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形性质的基础综合题，解题的核心是熟练运用等边三角形三线合一的特征和等腰三角形等边对等角的性质，逐步推导所求角的度数，是等边三角形章节的典型常考题。
【难度系数】
0.8
解题时先从等边三角形的性质入手：①等边三角形每个内角为60°，且具有三线合一的性质，因此BD垂直AC时可推出BD平分∠ABC，得到∠DBC的度数；②再根据BF=BD可知△BDF是等腰三角形，结合三角形内角和定理算出底角∠BDF的度数；③最后结合BD⊥AC得到∠BDC=90°，用∠BDC减去∠BDF即可求出∠CDF的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵BD⊥AC，根据等边三角形三线合一的性质，BD平分∠ABC，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
又
∵BF=BD，
∴△BDF是等腰三角形，
∴∠BDF=∠BFD=(180°-∠DBC)÷2=(180°-30°)÷2=75°，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴∠CDF=∠BDC - ∠BDF=90°-75°=15°。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形性质的基础综合题，解题的核心是熟练运用等边三角形三线合一的特征和等腰三角形等边对等角的性质，逐步推导所求角的度数，是等边三角形章节的典型常考题。
【难度系数】
0.8
9. 如图,在等边三角形ABC的三边上,分别取点D,E,F,使AD=BE=CF.求证:△DEF是等边三角形. 
答案
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°。
又∵ AD=BE=CF，
∴ AB-AD = BC-BE = AC-CF，
即 BD=CE=AF。
在△ADF、△BED和△CFE中，
$\{\begin{array}{l}AD=BE=CF \\∠A=∠B=∠C \\AF=BD=CE\end{array} $
∴ △ADF ≌ △BED ≌ △CFE（SAS）。
∴ DF=ED=FE，
∴ △DEF是等边三角形。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°。
又∵ AD=BE=CF，
∴ AB-AD = BC-BE = AC-CF，
即 BD=CE=AF。
在△ADF、△BED和△CFE中，
$\{\begin{array}{l}AD=BE=CF \\∠A=∠B=∠C \\AF=BD=CE\end{array} $
∴ △ADF ≌ △BED ≌ △CFE（SAS）。
∴ DF=ED=FE，
∴ △DEF是等边三角形。
解析
【分析】
要证明△DEF是等边三角形，可通过证明其三边相等实现。首先根据等边三角形的性质，可得△ABC三边相等、三个内角均为60°，结合已知AD=BE=CF，可推导出BD=CE=AF；再利用SAS判定定理证明△ADF、△BED、△CFE全等，根据全等三角形对应边相等即可得到△DEF的三边相等，从而完成证明。
【解析】
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°。
又
∵ AD=BE=CF，
∴ AB-AD = BC-BE = AC-CF，
即 BD=CE=AF。
在△ADF、△BED和△CFE中，
$\{\begin{array}{l}AD=BE=CF \\∠A=∠B=∠C \\AF=BD=CE\end{array} $
∴ △ADF ≌ △BED ≌ △CFE（SAS）。
∴ DF=ED=FE，
∴ △DEF是等边三角形。
【答案】
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°。
又
∵ AD=BE=CF，
∴ AB-AD = BC-BE = AC-CF，
即 BD=CE=AF。
在△ADF、△BED和△CFE中，
$\{\begin{array}{l}AD=BE=CF \\∠A=∠B=∠C \\AF=BD=CE\end{array} $
∴ △ADF ≌ △BED ≌ △CFE（SAS）。
∴ DF=ED=FE，
∴ △DEF是等边三角形。
【知识点】
等边三角形的性质与判定、SAS判定全等三角形、全等三角形的性质
【点评】
本题是等边三角形相关的基础证明题型，解题核心是灵活运用等边三角形的边角特征，结合全等三角形的判定与性质推导待证三角形的边的关系，有助于巩固几何证明的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
要证明△DEF是等边三角形，可通过证明其三边相等实现。首先根据等边三角形的性质，可得△ABC三边相等、三个内角均为60°，结合已知AD=BE=CF，可推导出BD=CE=AF；再利用SAS判定定理证明△ADF、△BED、△CFE全等，根据全等三角形对应边相等即可得到△DEF的三边相等，从而完成证明。
【解析】
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°。
又
∵ AD=BE=CF，
∴ AB-AD = BC-BE = AC-CF，
即 BD=CE=AF。
在△ADF、△BED和△CFE中，
$\{\begin{array}{l}AD=BE=CF \\∠A=∠B=∠C \\AF=BD=CE\end{array} $
∴ △ADF ≌ △BED ≌ △CFE（SAS）。
∴ DF=ED=FE，
∴ △DEF是等边三角形。
【答案】
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°。
又
∵ AD=BE=CF，
∴ AB-AD = BC-BE = AC-CF，
即 BD=CE=AF。
在△ADF、△BED和△CFE中，
$\{\begin{array}{l}AD=BE=CF \\∠A=∠B=∠C \\AF=BD=CE\end{array} $
∴ △ADF ≌ △BED ≌ △CFE（SAS）。
∴ DF=ED=FE，
∴ △DEF是等边三角形。
【知识点】
等边三角形的性质与判定、SAS判定全等三角形、全等三角形的性质
【点评】
本题是等边三角形相关的基础证明题型，解题核心是灵活运用等边三角形的边角特征，结合全等三角形的判定与性质推导待证三角形的边的关系，有助于巩固几何证明的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
10. 如图，$△ DAC$和$△ EBC$均是等边三角形，$A,C,B$三点在同一条直线上，$AE,BD$分别与$CD,CE$相交于点$M,N$. 有下列结论:①$AM=DN$;②$EM=BN$;③$∠ CAM=∠ CDN$;④$∠ CME=∠ CNB$. 其中正确的是.(填序号)
答案
$\boldsymbol{①②③④}$
解析
【分析】
解决本题的核心是利用共顶点等边三角形的性质构造全等：首先根据等边三角形边相等、角为60°的性质，证明△ACE≌△DCB，得到对应角相等，可验证结论③；再利用得到的等角结合60°的公共角，证明△ACM≌△DCN，得到对应边相等验证结论①；最后证明△ECM≌△BCN，即可验证结论②和④，最终汇总所有正确结论。
【解析】
已知$△ DAC$和$△ EBC$均为等边三角形，因此：
$AC=DC$，$BC=EC$，$∠ ACD=∠ BCE=60°$。
因为$A,C,B$三点共线，所以$∠ DCE=180°-∠ ACD-∠ BCE=60°$，
可得$∠ ACE=∠ ACD+∠ DCE=120°$，$∠ DCB=∠ BCE+∠ DCE=120°$，即$∠ ACE=∠ DCB$。
1. 证$△ ACE≌△ DCB$：
在$△ ACE$和$△ DCB$中：
$\begin{cases}AC=DC \\∠ ACE=∠ DCB \\CE=CB\end{cases}$
由SAS判定得$△ ACE≌△ DCB$，因此$∠ CAM=∠ CDN$，$∠ CEM=∠ CBN$，结论③正确。
2. 证$△ ACM≌△ DCN$：
在$△ ACM$和$△ DCN$中：
$\begin{cases}∠ CAM=∠ CDN \\AC=DC \\∠ ACM=∠ DCN=60°\end{cases}$
由ASA判定得$△ ACM≌△ DCN$，因此$AM=DN$，$CM=CN$，结论①正确。
3. 证$△ ECM≌△ BCN$：
在$△ ECM$和$△ BCN$中：
$\begin{cases}CE=CB \\∠ ECM=∠ BCN=60° \\CM=CN\end{cases}$
由SAS判定得$△ ECM≌△ BCN$，因此$EM=BN$，$∠ CME=∠ CNB$，结论②、④正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
$\boldsymbol{①②③④}$
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是共顶点双等边三角形的典型题型，核心是利用等边三角形的边角性质构造全等三角形，通过多次全等判定即可逐一验证结论，熟练掌握共顶点等边三角形的全等模型可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是利用共顶点等边三角形的性质构造全等：首先根据等边三角形边相等、角为60°的性质，证明△ACE≌△DCB，得到对应角相等，可验证结论③；再利用得到的等角结合60°的公共角，证明△ACM≌△DCN，得到对应边相等验证结论①；最后证明△ECM≌△BCN，即可验证结论②和④，最终汇总所有正确结论。
【解析】
已知$△ DAC$和$△ EBC$均为等边三角形，因此：
$AC=DC$，$BC=EC$，$∠ ACD=∠ BCE=60°$。
因为$A,C,B$三点共线，所以$∠ DCE=180°-∠ ACD-∠ BCE=60°$，
可得$∠ ACE=∠ ACD+∠ DCE=120°$，$∠ DCB=∠ BCE+∠ DCE=120°$，即$∠ ACE=∠ DCB$。
1. 证$△ ACE≌△ DCB$：
在$△ ACE$和$△ DCB$中：
$\begin{cases}AC=DC \\∠ ACE=∠ DCB \\CE=CB\end{cases}$
由SAS判定得$△ ACE≌△ DCB$，因此$∠ CAM=∠ CDN$，$∠ CEM=∠ CBN$，结论③正确。
2. 证$△ ACM≌△ DCN$：
在$△ ACM$和$△ DCN$中：
$\begin{cases}∠ CAM=∠ CDN \\AC=DC \\∠ ACM=∠ DCN=60°\end{cases}$
由ASA判定得$△ ACM≌△ DCN$，因此$AM=DN$，$CM=CN$，结论①正确。
3. 证$△ ECM≌△ BCN$：
在$△ ECM$和$△ BCN$中：
$\begin{cases}CE=CB \\∠ ECM=∠ BCN=60° \\CM=CN\end{cases}$
由SAS判定得$△ ECM≌△ BCN$，因此$EM=BN$，$∠ CME=∠ CNB$，结论②、④正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
$\boldsymbol{①②③④}$
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是共顶点双等边三角形的典型题型，核心是利用等边三角形的边角性质构造全等三角形，通过多次全等判定即可逐一验证结论，熟练掌握共顶点等边三角形的全等模型可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
