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【变式2】如图,在$△ ABC$中,D为边AB上一点,$DF ⊥ BC$于点F,延长FD,CA交于点E.若$∠ E=30°,AD=AE$.求证:$△ ABC$为等边三角形.
答案
证明：
∵ $AD = AE$，$∠ E = 30°$，
∴ $∠ ADE = ∠ E = 30°$，
∴ $∠ BAC = ∠ E + ∠ ADE = 60°$。
∵ $DF ⊥ BC$，
∴ $∠ DFB = 90°$，
又∵ $∠ BDF = ∠ ADE = 30°$，
∴ $∠ B = 90° - ∠ BDF = 60°$。
在$△ ABC$中，$∠ C = 180° - ∠ BAC - ∠ B = 180° - 60° - 60° = 60°$，
∴ $∠ BAC = ∠ B = ∠ C = 60°$，
∴ $△ ABC$为等边三角形。
∵ $AD = AE$，$∠ E = 30°$，
∴ $∠ ADE = ∠ E = 30°$，
∴ $∠ BAC = ∠ E + ∠ ADE = 60°$。
∵ $DF ⊥ BC$，
∴ $∠ DFB = 90°$，
又∵ $∠ BDF = ∠ ADE = 30°$，
∴ $∠ B = 90° - ∠ BDF = 60°$。
在$△ ABC$中，$∠ C = 180° - ∠ BAC - ∠ B = 180° - 60° - 60° = 60°$，
∴ $∠ BAC = ∠ B = ∠ C = 60°$，
∴ $△ ABC$为等边三角形。
解析
【分析】
要证明△ABC是等边三角形，可通过证明△ABC的三个内角均为60°来推导。首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合已知∠E=30°、AD=AE，得到∠ADE的度数；再利用三角形外角的性质求出∠BAC的度数；接着根据垂直的定义得到直角，结合对顶角相等求出∠B的度数；最后利用三角形内角和定理求出∠C的度数，验证三个角均为60°即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ $AD = AE$，$∠ E = 30°$，
∴ $∠ ADE = ∠ E = 30°$，
∴ $∠ BAC = ∠ E + ∠ ADE = 60°$。
∵ $DF ⊥ BC$，
∴ $∠ DFB = 90°$，
又
∵ $∠ BDF = ∠ ADE = 30°$，
∴ $∠ B = 90° - ∠ BDF = 60°$。
在$△ ABC$中，$∠ C = 180° - ∠ BAC - ∠ B = 180° - 60° - 60° = 60°$，
∴ $∠ BAC = ∠ B = ∠ C = 60°$，
∴ $△ ABC$为等边三角形。
【答案】
$△ ABC$为等边三角形
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；等边三角形的判定
【点评】
本题是等边三角形判定的基础题型，解题核心是结合已知条件逐步推导三角形各内角的度数，侧重对基础几何定理的应用考查。
【难度系数】
0.7
要证明△ABC是等边三角形，可通过证明△ABC的三个内角均为60°来推导。首先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合已知∠E=30°、AD=AE，得到∠ADE的度数；再利用三角形外角的性质求出∠BAC的度数；接着根据垂直的定义得到直角，结合对顶角相等求出∠B的度数；最后利用三角形内角和定理求出∠C的度数，验证三个角均为60°即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ $AD = AE$，$∠ E = 30°$，
∴ $∠ ADE = ∠ E = 30°$，
∴ $∠ BAC = ∠ E + ∠ ADE = 60°$。
∵ $DF ⊥ BC$，
∴ $∠ DFB = 90°$，
又
∵ $∠ BDF = ∠ ADE = 30°$，
∴ $∠ B = 90° - ∠ BDF = 60°$。
在$△ ABC$中，$∠ C = 180° - ∠ BAC - ∠ B = 180° - 60° - 60° = 60°$，
∴ $∠ BAC = ∠ B = ∠ C = 60°$，
∴ $△ ABC$为等边三角形。
【答案】
$△ ABC$为等边三角形
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；等边三角形的判定
【点评】
本题是等边三角形判定的基础题型，解题核心是结合已知条件逐步推导三角形各内角的度数，侧重对基础几何定理的应用考查。
【难度系数】
0.7
1.如图,等边三角形ABC的两条高AD和BE相交于点O,则∠DOE的度数为().
A.$60°$
B.$90°$
C.$120°$
D.$150°$
A.$60°$
B.$90°$
C.$120°$
D.$150°$
答案
C
解析
【分析】
要计算∠DOE的度数，我们可以从已知条件入手：首先等边三角形的每个内角都是60°，且等边三角形的高同时是对应的角平分线、中线。观察图形可知∠DOE在四边形ODCE内，而四边形内角和为360°，已知AD、BE是高可得两个直角，再结合∠C=60°，就能算出∠DOE的度数；也可以先求与∠DOE为对顶角的∠AOB的度数，再利用对顶角相等得到结果。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，
∴∠ODC=90°，∠OEC=90°，
∵四边形的内角和为360°，
∴∠DOE=360°-∠ODC-∠OEC-∠C=360°-90°-90°-60°=120°。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质，四边形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题是等边三角形性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握等边三角形的内角特征以及高的性质，结合多边形内角和即可快速求解，是等边三角形角度计算类的典型基础题。
【难度系数】
0.8
要计算∠DOE的度数，我们可以从已知条件入手：首先等边三角形的每个内角都是60°，且等边三角形的高同时是对应的角平分线、中线。观察图形可知∠DOE在四边形ODCE内，而四边形内角和为360°，已知AD、BE是高可得两个直角，再结合∠C=60°，就能算出∠DOE的度数；也可以先求与∠DOE为对顶角的∠AOB的度数，再利用对顶角相等得到结果。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，
∴∠ODC=90°，∠OEC=90°，
∵四边形的内角和为360°，
∴∠DOE=360°-∠ODC-∠OEC-∠C=360°-90°-90°-60°=120°。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质，四边形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题是等边三角形性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握等边三角形的内角特征以及高的性质，结合多边形内角和即可快速求解，是等边三角形角度计算类的典型基础题。
【难度系数】
0.8
2. 在$△ ABC$中，$∠ A=60°$，添加下列一个条件后，仍不能判定$△ ABC$为等边三角形的是().
A.$AB=AC$
B.$∠ A=∠ B$
C.$AD⊥ BC$
D.$∠ B=∠ C$
A.$AB=AC$
B.$∠ A=∠ B$
C.$AD⊥ BC$
D.$∠ B=∠ C$
答案
C
解析
【分析】
首先我们已知△ABC中∠A=60°，要判断添加哪个条件后仍无法判定它是等边三角形，解题思路是先回忆等边三角形的判定定理：①三个内角都为60°的三角形是等边三角形；②有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。我们只需要逐一验证每个选项添加后，是否能推出△ABC满足上述判定条件即可。
【解析】
已知在△ABC中，∠A=60°，逐一分析选项：
A. 若添加AB=AC，说明△ABC是等腰三角形，结合“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”，可判定△ABC为等边三角形，不符合题意；
B. 若添加∠A=∠B，可得∠B=∠A=60°，根据三角形内角和为180°，计算得∠C=180°-60°-60°=60°，三个内角均为60°，可判定△ABC为等边三角形，不符合题意；
C. 若添加AD⊥BC，仅说明AD是BC边上的高，任意三角形都存在边上的高，无法推出△ABC的边或其余角满足等边三角形的判定条件，不能判定△ABC为等边三角形，符合题意；
D. 若添加∠B=∠C，说明△ABC是等腰三角形，结合顶角∠A=60°，可判定△ABC为等边三角形，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题核心考查等边三角形的判定方法，解题时需紧扣已知的60°角，结合各选项给出的条件推导三角形的边角特征，注意仔细审题，明确要选的是“不能判定”的选项，避免因审题粗心出错。
【难度系数】
0.8
首先我们已知△ABC中∠A=60°，要判断添加哪个条件后仍无法判定它是等边三角形，解题思路是先回忆等边三角形的判定定理：①三个内角都为60°的三角形是等边三角形；②有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。我们只需要逐一验证每个选项添加后，是否能推出△ABC满足上述判定条件即可。
【解析】
已知在△ABC中，∠A=60°，逐一分析选项：
A. 若添加AB=AC，说明△ABC是等腰三角形，结合“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”，可判定△ABC为等边三角形，不符合题意；
B. 若添加∠A=∠B，可得∠B=∠A=60°，根据三角形内角和为180°，计算得∠C=180°-60°-60°=60°，三个内角均为60°，可判定△ABC为等边三角形，不符合题意；
C. 若添加AD⊥BC，仅说明AD是BC边上的高，任意三角形都存在边上的高，无法推出△ABC的边或其余角满足等边三角形的判定条件，不能判定△ABC为等边三角形，符合题意；
D. 若添加∠B=∠C，说明△ABC是等腰三角形，结合顶角∠A=60°，可判定△ABC为等边三角形，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题核心考查等边三角形的判定方法，解题时需紧扣已知的60°角，结合各选项给出的条件推导三角形的边角特征，注意仔细审题，明确要选的是“不能判定”的选项，避免因审题粗心出错。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ B=30°$,以点A为圆心,AC长为半径作弧,交直线AB于点D,连接DC,则$∠ DCB$的度数是().
A.$37°$
B.$36°$
C.$30°$
D.$26°$
A.$37°$
B.$36°$
C.$30°$
D.$26°$
答案
C
解析
【分析】
解题时先从已知的直角三角形条件入手：首先根据直角三角形两锐角互余，结合∠B=30°算出∠BAC的度数；再根据作图规则得出AC=AD，判断△ACD的形状，得到∠ACD的度数；最后用∠ACB的度数减去∠ACD的度数即可求出∠DCB的度数。
【解析】
解：
∵ Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴ ∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，
由作图可知，AC=AD，
∴ △ACD是等腰三角形，
又
∵ ∠BAC=60°，
∴ △ACD是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ ∠ACD=60°，
∴ ∠DCB=∠ACB - ∠ACD=90°-60°=30°。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形的性质；等边三角形的判定与性质；角的和差计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是抓住作图得到的等长线段，结合特殊角的条件判断出等边三角形，再通过角度的和差运算得到结果，侧重对基础三角形性质的考察。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的直角三角形条件入手：首先根据直角三角形两锐角互余，结合∠B=30°算出∠BAC的度数；再根据作图规则得出AC=AD，判断△ACD的形状，得到∠ACD的度数；最后用∠ACB的度数减去∠ACD的度数即可求出∠DCB的度数。
【解析】
解：
∵ Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴ ∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，
由作图可知，AC=AD，
∴ △ACD是等腰三角形，
又
∵ ∠BAC=60°，
∴ △ACD是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ ∠ACD=60°，
∴ ∠DCB=∠ACB - ∠ACD=90°-60°=30°。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形的性质；等边三角形的判定与性质；角的和差计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是抓住作图得到的等长线段，结合特殊角的条件判断出等边三角形，再通过角度的和差运算得到结果，侧重对基础三角形性质的考察。
【难度系数】
0.8
4. 等边三角形ABC的边长如图所示，那么y=.
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
本题可根据等边三角形的性质解题，等边三角形的三条边长度相等，首先观察三条边的表达式，AB和BC的表达式仅含未知数x，因此先利用AB=BC列一元一次方程求出x的值，再计算出等边三角形的边长，最后利用AB=AC列方程即可求出y的值。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴等边三角形三条边长度相等，即AB=BC=AC
首先根据AB=BC列方程：
$2x+3=6-x$
移项得：$2x+x=6-3$
合并同类项得：$3x=3$
解得：$x=1$
将$x=1$代入AB的表达式，得等边三角形的边长为$2×1+3=5$
再根据AB=AC列方程：
$2y-1=5$
移项得：$2y=5+1$
合并同类项得：$2y=6$
解得：$y=3$
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
等边三角形的性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练运用等边三角形三边相等的性质建立方程，通过解方程求出未知量，掌握相关性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题可根据等边三角形的性质解题，等边三角形的三条边长度相等，首先观察三条边的表达式，AB和BC的表达式仅含未知数x，因此先利用AB=BC列一元一次方程求出x的值，再计算出等边三角形的边长，最后利用AB=AC列方程即可求出y的值。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴等边三角形三条边长度相等，即AB=BC=AC
首先根据AB=BC列方程：
$2x+3=6-x$
移项得：$2x+x=6-3$
合并同类项得：$3x=3$
解得：$x=1$
将$x=1$代入AB的表达式，得等边三角形的边长为$2×1+3=5$
再根据AB=AC列方程：
$2y-1=5$
移项得：$2y=5+1$
合并同类项得：$2y=6$
解得：$y=3$
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
等边三角形的性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练运用等边三角形三边相等的性质建立方程，通过解方程求出未知量，掌握相关性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
5. 如图,点 P 为等边三角形 ABC 的边 BC 上一点,且 ∠APD = 80°,点 D 在边 AC 上,AD=AP,求∠DPC 的度数.
答案
解：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠C = 60°。
∵ AD = AP，
∴ ∠ADP = ∠APD = 80°。
∵ ∠ADP是△DPC的外角，
∴ ∠ADP = ∠C + ∠DPC，
∴ ∠DPC = ∠ADP - ∠C = 80° - 60° = 20°。
答：∠DPC的度数为20°。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠C = 60°。
∵ AD = AP，
∴ ∠ADP = ∠APD = 80°。
∵ ∠ADP是△DPC的外角，
∴ ∠ADP = ∠C + ∠DPC，
∴ ∠DPC = ∠ADP - ∠C = 80° - 60° = 20°。
答：∠DPC的度数为20°。
解析
【分析】
解题时可从已知条件逐步推导：首先根据等边三角形的性质可直接得到内角∠C的度数；再由AD=AP可知△APD为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质得到∠ADP的度数；最后观察到∠ADP是△DPC的外角，结合三角形外角的性质，即可通过角度差求出∠DPC的度数。
【解析】
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠C = 60°。
∵ AD = AP，
∴ ∠ADP = ∠APD = 80°。
∵ ∠ADP是△DPC的外角，
∴ ∠ADP = ∠C + ∠DPC，
∴ ∠DPC = ∠ADP - ∠C = 80° - 60° = 20°。
【答案】
20°
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是结合图形特征，熟练运用等边三角形、等腰三角形以及三角形外角的相关性质，找到已知角和未知角的数量关系即可求解。
【难度系数】
0.8
解题时可从已知条件逐步推导：首先根据等边三角形的性质可直接得到内角∠C的度数；再由AD=AP可知△APD为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质得到∠ADP的度数；最后观察到∠ADP是△DPC的外角，结合三角形外角的性质，即可通过角度差求出∠DPC的度数。
【解析】
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠C = 60°。
∵ AD = AP，
∴ ∠ADP = ∠APD = 80°。
∵ ∠ADP是△DPC的外角，
∴ ∠ADP = ∠C + ∠DPC，
∴ ∠DPC = ∠ADP - ∠C = 80° - 60° = 20°。
【答案】
20°
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是结合图形特征，熟练运用等边三角形、等腰三角形以及三角形外角的相关性质，找到已知角和未知角的数量关系即可求解。
【难度系数】
0.8
1. 关于等边三角形,下列说法中错误的是().
A.等边三角形的各边都相等
B.等腰三角形是特殊的等边三角形
C.两个角都等于$60°$的三角形是等边三角形
D.有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形
A.等边三角形的各边都相等
B.等腰三角形是特殊的等边三角形
C.两个角都等于$60°$的三角形是等边三角形
D.有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形
答案
B
解析
【分析】
这是一道考查等边三角形相关概念的选非题，解题思路为：先回忆等边三角形的定义、性质、判定定理，以及等边三角形和等腰三角形的从属关系，再逐一验证每个选项的说法是否符合上述知识点，最终找出错误的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 根据等边三角形的定义，等边三角形的三条边都相等，该说法正确，不符合题意；
B. 等腰三角形的定义是“至少有两条边相等的三角形”，等边三角形是三条边都相等的三角形，因此等边三角形是特殊的等腰三角形，选项说法颠倒了二者的从属关系，表述错误，符合题意；
C. 三角形内角和为180°，若两个角都是60°，则第三个角为$180°-60°-60°=60°$，三个角都相等的三角形是等边三角形，该说法正确，不符合题意；
D. 这是等边三角形的常用判定定理：若等腰三角形有一个角是60°，则其余两个角也都是60°，该三角形为等边三角形，说法正确，不符合题意。
综上，说法错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的定义；等边三角形的判定；等腰三角形的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点是区分等腰三角形和等边三角形的从属关系，熟记等边三角形的相关性质和判定定理即可轻松解答，学习时要注意厘清易混淆的概念，避免记反从属关系。
【难度系数】
0.9
这是一道考查等边三角形相关概念的选非题，解题思路为：先回忆等边三角形的定义、性质、判定定理，以及等边三角形和等腰三角形的从属关系，再逐一验证每个选项的说法是否符合上述知识点，最终找出错误的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 根据等边三角形的定义，等边三角形的三条边都相等，该说法正确，不符合题意；
B. 等腰三角形的定义是“至少有两条边相等的三角形”，等边三角形是三条边都相等的三角形，因此等边三角形是特殊的等腰三角形，选项说法颠倒了二者的从属关系，表述错误，符合题意；
C. 三角形内角和为180°，若两个角都是60°，则第三个角为$180°-60°-60°=60°$，三个角都相等的三角形是等边三角形，该说法正确，不符合题意；
D. 这是等边三角形的常用判定定理：若等腰三角形有一个角是60°，则其余两个角也都是60°，该三角形为等边三角形，说法正确，不符合题意。
综上，说法错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的定义；等边三角形的判定；等腰三角形的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点是区分等腰三角形和等边三角形的从属关系，熟记等边三角形的相关性质和判定定理即可轻松解答，学习时要注意厘清易混淆的概念，避免记反从属关系。
【难度系数】
0.9
2. 如图，$△ ABC$是等边三角形，点D在边AC上，$∠ DBC = 35°$，则$∠ ADB$的度数为().
A.$25°$
B.$60°$
C.$85°$
D.$95°$
A.$25°$
B.$60°$
C.$85°$
D.$95°$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先利用等边三角形的性质确定内角∠C的度数，再观察所求角∠ADB的位置，它是△BCD的外角，根据三角形外角的性质即可求出∠ADB的度数，也可以先在△BCD中求出∠BDC的度数，再利用邻补角的性质计算∠ADB。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵∠ADB是△BCD的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠ADB=∠DBC+∠C=35°+60°=95°。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题关键是熟练掌握等边三角形内角为60°的性质，以及三角形外角的性质，找准角的和差关系即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先利用等边三角形的性质确定内角∠C的度数，再观察所求角∠ADB的位置，它是△BCD的外角，根据三角形外角的性质即可求出∠ADB的度数，也可以先在△BCD中求出∠BDC的度数，再利用邻补角的性质计算∠ADB。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵∠ADB是△BCD的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠ADB=∠DBC+∠C=35°+60°=95°。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题关键是熟练掌握等边三角形内角为60°的性质，以及三角形外角的性质，找准角的和差关系即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
