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5. 如图,已知在$△ ABC$中,$∠ BAC=120°$,$AB=AC$,$AD⊥ AC$交$BC$于点$D$,$AD=2$,求$BC$的长度. 
答案
解：
∵ $AB=AC$，$∠ BAC=120°$，
∴ $∠ B=∠ C=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
∵ $AD⊥ AC$，
∴ $∠ DAC=90°$，
∴ $∠ BAD=∠ BAC-∠ DAC=120°-90°=30°$，
∴ $∠ BAD=∠ B$，
∴ $BD=AD=2$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ C=30°$，$∠ DAC=90°$，根据含$30°$角的直角三角形的性质：$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，
∴ $CD=2AD=2×2=4$。
∴ $BC=BD+CD=2+4=6$。
∵ $AB=AC$，$∠ BAC=120°$，
∴ $∠ B=∠ C=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
∵ $AD⊥ AC$，
∴ $∠ DAC=90°$，
∴ $∠ BAD=∠ BAC-∠ DAC=120°-90°=30°$，
∴ $∠ BAD=∠ B$，
∴ $BD=AD=2$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ C=30°$，$∠ DAC=90°$，根据含$30°$角的直角三角形的性质：$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，
∴ $CD=2AD=2×2=4$。
∴ $BC=BD+CD=2+4=6$。
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先△ABC是AB=AC的等腰三角形，且顶角∠BAC=120°，可先利用等腰三角形两底角相等的性质计算出∠B和∠C的度数；再结合AD⊥AC的垂直条件，求出∠BAD的度数，可发现∠BAD与∠B相等，根据等角对等边即可得到BD=AD；接下来在Rt△ADC中，已知∠C=30°，利用含30°角的直角三角形的性质可求出CD的长度；最后BC为BD与CD的和，相加即可得到最终结果。
【解析】
∵ $AB=AC$，$∠ BAC=120°$，
∴ $∠ B=∠ C=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
∵ $AD⊥ AC$，
∴ $∠ DAC=90°$，
∴ $∠ BAD=∠ BAC-∠ DAC=120°-90°=30°$，
∴ $∠ BAD=∠ B$，
∴ $BD=AD=2$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ C=30°$，$∠ DAC=90°$，根据含$30°$角的直角三角形的性质：$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，
∴ $CD=2AD=2×2=4$。
∴ $BC=BD+CD=2+4=6$。
【答案】
$6$
【知识点】
等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；等角对等边
【点评】
本题属于三角形性质的基础综合题，核心解题思路是通过角度计算推导角的等量关系，再结合特殊三角形的边长性质求解，侧重考察基础知识点的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先△ABC是AB=AC的等腰三角形，且顶角∠BAC=120°，可先利用等腰三角形两底角相等的性质计算出∠B和∠C的度数；再结合AD⊥AC的垂直条件，求出∠BAD的度数，可发现∠BAD与∠B相等，根据等角对等边即可得到BD=AD；接下来在Rt△ADC中，已知∠C=30°，利用含30°角的直角三角形的性质可求出CD的长度；最后BC为BD与CD的和，相加即可得到最终结果。
【解析】
∵ $AB=AC$，$∠ BAC=120°$，
∴ $∠ B=∠ C=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
∵ $AD⊥ AC$，
∴ $∠ DAC=90°$，
∴ $∠ BAD=∠ BAC-∠ DAC=120°-90°=30°$，
∴ $∠ BAD=∠ B$，
∴ $BD=AD=2$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ C=30°$，$∠ DAC=90°$，根据含$30°$角的直角三角形的性质：$30°$角所对的直角边等于斜边的一半，
∴ $CD=2AD=2×2=4$。
∴ $BC=BD+CD=2+4=6$。
【答案】
$6$
【知识点】
等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；等角对等边
【点评】
本题属于三角形性质的基础综合题，核心解题思路是通过角度计算推导角的等量关系，再结合特殊三角形的边长性质求解，侧重考察基础知识点的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
1. 如图是我国一座古建筑的剖面图，建筑屋顶是一个等腰三角形，它的底角为$30°$，腰为10 m，则底边上的高是（）.
A.5 m
B.10 m
C.15 m
D.20 m
A.5 m
B.10 m
C.15 m
D.20 m
答案
A
解析
【分析】
首先观察图形，等腰三角形作底边上的高后，可将原等腰三角形分为两个全等的直角三角形：该直角三角形的斜边就是等腰三角形的腰长10m，其中一个锐角为题目给出的底角30°，所求的底边上的高恰好是这个30°角所对的直角边，直接利用含30°角的直角三角形的边的性质即可计算得到结果。
【解析】
解：
∵等腰三角形底边上的高与底边垂直，
∴分割后得到的直角三角形中，斜边为等腰三角形的腰长10m，一个锐角为30°，底边上的高是30°角所对的直角边。
根据直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
可得底边上的高 = $\frac{1}{2}$×10 = 5（m）。
【答案】
A
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础应用类题目，结合等腰三角形的特征，直接考查含30°角的直角三角形的性质，掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
首先观察图形，等腰三角形作底边上的高后，可将原等腰三角形分为两个全等的直角三角形：该直角三角形的斜边就是等腰三角形的腰长10m，其中一个锐角为题目给出的底角30°，所求的底边上的高恰好是这个30°角所对的直角边，直接利用含30°角的直角三角形的边的性质即可计算得到结果。
【解析】
解：
∵等腰三角形底边上的高与底边垂直，
∴分割后得到的直角三角形中，斜边为等腰三角形的腰长10m，一个锐角为30°，底边上的高是30°角所对的直角边。
根据直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
可得底边上的高 = $\frac{1}{2}$×10 = 5（m）。
【答案】
A
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础应用类题目，结合等腰三角形的特征，直接考查含30°角的直角三角形的性质，掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2.如图,一棵树在一次强台风中于离地面3 m处折断倒下,倒下部分与地面成$30°$角,这棵树在折断前的高度为().
A.6 m
B.9 m
C.12 m
D.15 m
A.6 m
B.9 m
C.12 m
D.15 m
答案
B
解析
【分析】首先将实际问题转化为几何模型：树折断后，未折断的垂直地面部分、折断部分与地面共同构成直角三角形，其中折断部分是直角三角形的斜边，地面与折断部分的夹角为30°，30°角对应的直角边就是离地面3m的未折断部分。接下来回忆含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，先求出折断部分的长度，再将折断部分和未折断部分长度相加，即可得到树折断前的总高度。
【解析】解：由题意可知，树折断后形成的直角三角形中，30°角所对的直角边长为3m。
根据含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得斜边（即树折断部分的长度）为 $ 2×3=6\ \mathrm{m} $。
因此树折断前的总高度为未折断部分加折断部分的长度：$ 3+6=9\ \mathrm{m} $。
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形的性质；直角三角形的实际应用
【点评】本题是实际场景结合几何性质的基础题，解题的核心是将生活中的折断问题转化为直角三角形模型，熟练掌握30°角直角三角形的边角关系即可快速求解。
【难度系数】0.8
【解析】解：由题意可知，树折断后形成的直角三角形中，30°角所对的直角边长为3m。
根据含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得斜边（即树折断部分的长度）为 $ 2×3=6\ \mathrm{m} $。
因此树折断前的总高度为未折断部分加折断部分的长度：$ 3+6=9\ \mathrm{m} $。
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形的性质；直角三角形的实际应用
【点评】本题是实际场景结合几何性质的基础题，解题的核心是将生活中的折断问题转化为直角三角形模型，熟练掌握30°角直角三角形的边角关系即可快速求解。
【难度系数】0.8
3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ B=60°$,$CD⊥ AB$,$AB=6$,求$AD$的长.
答案
解：
在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，
∴ ∠A = 90° - ∠B = 30°，
∴ $BC = \frac{1}{2}AB$。
∵ AB=6，
∴ $BC = \frac{1}{2} × 6 = 3$。
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CDB=90°，
∴ 在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴ ∠BCD = 90° - ∠B = 30°，
∴ $BD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 3 = 1.5$，
∴ $AD = AB - BD = 6 - 1.5 = 4.5$。
在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，
∴ ∠A = 90° - ∠B = 30°，
∴ $BC = \frac{1}{2}AB$。
∵ AB=6，
∴ $BC = \frac{1}{2} × 6 = 3$。
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CDB=90°，
∴ 在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴ ∠BCD = 90° - ∠B = 30°，
∴ $BD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 3 = 1.5$，
∴ $AD = AB - BD = 6 - 1.5 = 4.5$。
解析
【分析】
解题时先从已知的Rt△ABC入手，利用直角三角形两锐角互余求出∠A的度数，再根据含30°角的直角三角形中“30°角所对直角边是斜边的一半”的性质求出BC的长度；接着分析Rt△BCD，同样用直角三角形两锐角互余求出∠BCD的度数，再次运用含30°角的直角三角形的性质求出BD的长度，最后用AB的长度减去BD的长度即可得到AD的长。
【解析】
在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，
∴ ∠A = 90° - ∠B = 30°，
∴ $BC = \frac{1}{2}AB$。
∵ AB=6，
∴ $BC = \frac{1}{2} × 6 = 3$。
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CDB=90°，
∴ 在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴ ∠BCD = 90° - ∠B = 30°，
∴ $BD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 3 = 1.5$，
∴ $AD = AB - BD = 6 - 1.5 = 4.5$。
【答案】
4.5
【知识点】
直角三角形两锐角互余；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题型，解题时需要两次利用直角三角形的相关性质求解线段长度，关键是准确识别直角三角形中的30°锐角及其对边、斜边的对应关系，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的Rt△ABC入手，利用直角三角形两锐角互余求出∠A的度数，再根据含30°角的直角三角形中“30°角所对直角边是斜边的一半”的性质求出BC的长度；接着分析Rt△BCD，同样用直角三角形两锐角互余求出∠BCD的度数，再次运用含30°角的直角三角形的性质求出BD的长度，最后用AB的长度减去BD的长度即可得到AD的长。
【解析】
在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，
∴ ∠A = 90° - ∠B = 30°，
∴ $BC = \frac{1}{2}AB$。
∵ AB=6，
∴ $BC = \frac{1}{2} × 6 = 3$。
∵ CD⊥AB，
∴ ∠CDB=90°，
∴ 在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴ ∠BCD = 90° - ∠B = 30°，
∴ $BD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 3 = 1.5$，
∴ $AD = AB - BD = 6 - 1.5 = 4.5$。
【答案】
4.5
【知识点】
直角三角形两锐角互余；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题型，解题时需要两次利用直角三角形的相关性质求解线段长度，关键是准确识别直角三角形中的30°锐角及其对边、斜边的对应关系，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
4. 如图,已知$∠ AOB=60°$,点P在边OA上,$OP=12$,点M,N在边OB上,$PM=PN$,若$MN=2$,则OM的长为().
A.3
B.4
C.5
D.6
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
C
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先观察到△PMN是等腰三角形（PM=PN），根据等腰三角形“三线合一”的性质，我们可以过P作OB的垂线，垂足为MN的中点，从而得到MN一半的长度；2. 所作的垂线与OB形成直角三角形，已知∠AOB=60°，可得到含30°角的直角三角形，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”计算出垂足到O点的长度；3. 最后用垂足到O的长度减去MN一半的长度，即可得到OM的长。
【解析】
过点P作PD⊥OB，垂足为D。
∵ PM=PN，PD⊥MN，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，D为MN的中点，
∴ MD = $\frac{1}{2}$MN = $\frac{1}{2}$×2 = 1。
在Rt△OPD中，∠PDO=90°，∠AOB=60°，
∴ ∠OPD=90°-60°=30°，
∴ 根据含30°角的直角三角形的性质，OD = $\frac{1}{2}$OP，
∵ OP=12，
∴ OD = $\frac{1}{2}$×12 = 6，
∴ OM = OD - MD = 6 - 1 = 5。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是通过作辅助线将等腰三角形的性质和特殊直角三角形的性质结合起来，难度不大，是考察几何基础性质应用的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 首先观察到△PMN是等腰三角形（PM=PN），根据等腰三角形“三线合一”的性质，我们可以过P作OB的垂线，垂足为MN的中点，从而得到MN一半的长度；2. 所作的垂线与OB形成直角三角形，已知∠AOB=60°，可得到含30°角的直角三角形，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”计算出垂足到O点的长度；3. 最后用垂足到O的长度减去MN一半的长度，即可得到OM的长。
【解析】
过点P作PD⊥OB，垂足为D。
∵ PM=PN，PD⊥MN，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，D为MN的中点，
∴ MD = $\frac{1}{2}$MN = $\frac{1}{2}$×2 = 1。
在Rt△OPD中，∠PDO=90°，∠AOB=60°，
∴ ∠OPD=90°-60°=30°，
∴ 根据含30°角的直角三角形的性质，OD = $\frac{1}{2}$OP，
∵ OP=12，
∴ OD = $\frac{1}{2}$×12 = 6，
∴ OM = OD - MD = 6 - 1 = 5。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是通过作辅助线将等腰三角形的性质和特殊直角三角形的性质结合起来，难度不大，是考察几何基础性质应用的常见题型。
【难度系数】
0.7
5. 某小区安装了智能人脸识别门禁系统,当门禁关闭时,隔板边缘的端点C与F之间的距离为8 cm(如图),两隔板的边缘AC,DF均为60 cm,且与机箱的夹角∠BAC,∠EDF均为30°.当门禁开放时可以通过物体的最大宽度为cm.
答案
$\boldsymbol{68}$
解析
【分析】
要计算门禁开放时可通过物体的最大宽度，首先明确该宽度由三部分构成：隔板AC向左侧机箱收回的水平距离、关闭时点C和F的间距8cm、隔板DF向右侧机箱收回的水平距离。我们可以通过构造直角三角形，利用含30°角的直角三角形的性质，分别求出两个隔板收回的水平距离，再将三部分长度相加即可得到结果。
【解析】
分别过点C作CM⊥AB于点M，过点F作FN⊥DE于点N。
在Rt△ACM中，∠AMC=90°，∠MAC=30°，斜边AC=60cm，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得
$CM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×60=30\ \mathrm{cm}$。
同理，在Rt△DFN中，∠FND=90°，∠FDN=30°，斜边DF=60cm，
可得$FN=\frac{1}{2}DF=\frac{1}{2}×60=30\ \mathrm{cm}$。
因此门禁开放时可通过的最大宽度为$CM+CF+FN=30+8+30=68\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{68}$
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；实际问题的几何转化
【点评】
本题结合生活中的门禁场景考查几何性质的应用，解题的核心是正确理解可通过宽度的组成，将实际问题转化为直角三角形边长计算问题，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要计算门禁开放时可通过物体的最大宽度，首先明确该宽度由三部分构成：隔板AC向左侧机箱收回的水平距离、关闭时点C和F的间距8cm、隔板DF向右侧机箱收回的水平距离。我们可以通过构造直角三角形，利用含30°角的直角三角形的性质，分别求出两个隔板收回的水平距离，再将三部分长度相加即可得到结果。
【解析】
分别过点C作CM⊥AB于点M，过点F作FN⊥DE于点N。
在Rt△ACM中，∠AMC=90°，∠MAC=30°，斜边AC=60cm，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得
$CM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×60=30\ \mathrm{cm}$。
同理，在Rt△DFN中，∠FND=90°，∠FDN=30°，斜边DF=60cm，
可得$FN=\frac{1}{2}DF=\frac{1}{2}×60=30\ \mathrm{cm}$。
因此门禁开放时可通过的最大宽度为$CM+CF+FN=30+8+30=68\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{68}$
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；实际问题的几何转化
【点评】
本题结合生活中的门禁场景考查几何性质的应用，解题的核心是正确理解可通过宽度的组成，将实际问题转化为直角三角形边长计算问题，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
