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1. 锐角的正弦
如图,在直角三角形中,锐角A的
2. 特殊角的正弦值
如图,在直角三角形中,锐角A的
对边
与斜边
的比叫作$∠ A$的正弦,记作$\sin A$,即$\sin A=\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_$.2. 特殊角的正弦值
答案
1. 对边 斜边 $\frac{∠ A的对边}{斜边}$ $\frac{a}{c}$
2. $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
2. $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
解析
【分析】
本题考查锐角正弦的基本定义与特殊角的正弦值，属于基础识记类题目。解题时首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，锐角的正弦是其对边与斜边的比值，据此完成第一问的填空；再牢记30°、45°、60°这三个常用特殊锐角的正弦值，完成第二问的填写即可。
【解析】
1. 根据锐角正弦的定义：在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦，记作$\sin A$，因此前两空依次填对边、斜边；对应表达式为$\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}$，若设∠A的对边长为$a$，斜边长为$c$，则$\sin A=\frac{a}{c}$。
2. 常用特殊锐角的正弦值为：$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
1. 对边 斜边 $\frac{∠ A的对边}{斜边}$ $\frac{a}{c}$
2. $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
锐角正弦的定义；特殊角的正弦值
【点评】
本题属于基础识记类题目，相关内容是锐角三角函数板块的入门知识，需准确记忆定义和特殊角的函数值，为后续解直角三角形等内容的学习打好基础。
【难度系数】
0.9
本题考查锐角正弦的基本定义与特殊角的正弦值，属于基础识记类题目。解题时首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，锐角的正弦是其对边与斜边的比值，据此完成第一问的填空；再牢记30°、45°、60°这三个常用特殊锐角的正弦值，完成第二问的填写即可。
【解析】
1. 根据锐角正弦的定义：在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦，记作$\sin A$，因此前两空依次填对边、斜边；对应表达式为$\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}$，若设∠A的对边长为$a$，斜边长为$c$，则$\sin A=\frac{a}{c}$。
2. 常用特殊锐角的正弦值为：$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
1. 对边 斜边 $\frac{∠ A的对边}{斜边}$ $\frac{a}{c}$
2. $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
锐角正弦的定义；特殊角的正弦值
【点评】
本题属于基础识记类题目，相关内容是锐角三角函数板块的入门知识，需准确记忆定义和特殊角的函数值，为后续解直角三角形等内容的学习打好基础。
【难度系数】
0.9
【例1】如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=10$，$BC=6$，$AC=8$，求$\sin A$，$\sin B$的值.
答案
解:$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$,$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$.
解析
【分析】
求解本题首先要回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。首先确定Rt△ABC的斜边，∠C为直角，因此斜边为已知长度的AB；再分别找到∠A、∠B的对边，代入正弦定义的公式计算即可得到结果。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正弦的定义：锐角的正弦 = 对应角的对边 / 斜边。
1. 计算$\sin A$：∠A的对边是BC，斜边是AB，
因此$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$；
2. 计算$\sin B$：∠B的对边是AC，斜边是AB，
因此$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\sin A=\frac{3}{5}$，$\sin B=\frac{4}{5}$
【知识点】
正弦的定义，直角三角形边角关系
【点评】
本题是基础考查题，重点检验对锐角正弦定义的掌握程度，解题的关键是准确找准对应锐角的对边和斜边，避免混淆边的对应关系即可快速解答。
【难度系数】
0.9
求解本题首先要回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值。首先确定Rt△ABC的斜边，∠C为直角，因此斜边为已知长度的AB；再分别找到∠A、∠B的对边，代入正弦定义的公式计算即可得到结果。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正弦的定义：锐角的正弦 = 对应角的对边 / 斜边。
1. 计算$\sin A$：∠A的对边是BC，斜边是AB，
因此$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$；
2. 计算$\sin B$：∠B的对边是AC，斜边是AB，
因此$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\sin A=\frac{3}{5}$，$\sin B=\frac{4}{5}$
【知识点】
正弦的定义，直角三角形边角关系
【点评】
本题是基础考查题，重点检验对锐角正弦定义的掌握程度，解题的关键是准确找准对应锐角的对边和斜边，避免混淆边的对应关系即可快速解答。
【难度系数】
0.9
【变式】如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AD⊥ BC$于点D，则下列线段的比不能用来表示$\sin B$的是（
A.$\dfrac{AD}{AB}$
B.$\dfrac{AC}{BC}$
C.$\dfrac{AD}{AC}$
D.$\dfrac{CD}{AC}$
C
）A.$\dfrac{AD}{AB}$
B.$\dfrac{AC}{BC}$
C.$\dfrac{AD}{AC}$
D.$\dfrac{CD}{AC}$
答案
C
解析
【分析】
要判断哪个比值不能表示$\sin B$，核心依据是锐角正弦的定义：直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。解题思路如下：第一步，先找到所有包含$∠ B$的直角三角形，分别写出$\sin B$的表达式，对应排除符合的选项；第二步，利用“同角的余角相等”找到与$∠ B$相等的角，在包含该等角的直角三角形中写出其正弦表达式，同样对应$\sin B$，剩余的选项即为正确答案。
【解析】
我们根据正弦的定义逐一分析选项：
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$∠ B$的对边是$AC$，斜边是$BC$，因此$\sin B=\frac{AC}{BC}$，故B选项不符合题意；
2. 在$Rt△ ABD$中，$AD⊥ BC$即$∠ ADB=90°$，$∠ B$的对边是$AD$，斜边是$AB$，因此$\sin B=\frac{AD}{AB}$，故A选项不符合题意；
3. 由$∠ BAC=90°$可得$∠ B+∠ C=90°$，由$AD⊥ BC$可得$∠ DAC+∠ C=90°$，根据同角的余角相等，得$∠ B=∠ DAC$；
4. 在$Rt△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，$∠ DAC$的对边是$CD$，斜边是$AC$，因此$\sin∠ DAC=\frac{CD}{AC}$，结合$∠ B=∠ DAC$，得$\sin B=\frac{CD}{AC}$，故D选项不符合题意；
5. 选项C的$\frac{AD}{AC}$是$Rt△ ADC$中$∠ DAC$的邻边与斜边的比值，即$\cos∠ DAC=\cos B$，不能表示$\sin B$，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
正弦的定义，同角的余角相等，直角三角形的性质
【点评】
本题考查锐角三角函数的相关应用，解题的关键是准确找到直角三角形中锐角对应的对边、斜边，同时利用余角的性质进行等角转换，做题时要注意区分正弦和余弦对应的边的比值，避免混淆。
【难度系数】
0.7
要判断哪个比值不能表示$\sin B$，核心依据是锐角正弦的定义：直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。解题思路如下：第一步，先找到所有包含$∠ B$的直角三角形，分别写出$\sin B$的表达式，对应排除符合的选项；第二步，利用“同角的余角相等”找到与$∠ B$相等的角，在包含该等角的直角三角形中写出其正弦表达式，同样对应$\sin B$，剩余的选项即为正确答案。
【解析】
我们根据正弦的定义逐一分析选项：
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$∠ B$的对边是$AC$，斜边是$BC$，因此$\sin B=\frac{AC}{BC}$，故B选项不符合题意；
2. 在$Rt△ ABD$中，$AD⊥ BC$即$∠ ADB=90°$，$∠ B$的对边是$AD$，斜边是$AB$，因此$\sin B=\frac{AD}{AB}$，故A选项不符合题意；
3. 由$∠ BAC=90°$可得$∠ B+∠ C=90°$，由$AD⊥ BC$可得$∠ DAC+∠ C=90°$，根据同角的余角相等，得$∠ B=∠ DAC$；
4. 在$Rt△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，$∠ DAC$的对边是$CD$，斜边是$AC$，因此$\sin∠ DAC=\frac{CD}{AC}$，结合$∠ B=∠ DAC$，得$\sin B=\frac{CD}{AC}$，故D选项不符合题意；
5. 选项C的$\frac{AD}{AC}$是$Rt△ ADC$中$∠ DAC$的邻边与斜边的比值，即$\cos∠ DAC=\cos B$，不能表示$\sin B$，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
正弦的定义，同角的余角相等，直角三角形的性质
【点评】
本题考查锐角三角函数的相关应用，解题的关键是准确找到直角三角形中锐角对应的对边、斜边，同时利用余角的性质进行等角转换，做题时要注意区分正弦和余弦对应的边的比值，避免混淆。
【难度系数】
0.7
【例2】$\sin 30° - \frac{1}{2}$的值等于（
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$\sqrt{2}$
B
）A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$\sqrt{2}$
答案
B
解析
【分析】
本题考查特殊角的三角函数值的应用，解题思路清晰：第一步先回忆30°角的正弦值，第二步将其代入原式做减法计算，最后把计算结果和选项匹配就能得到正确答案。
【解析】
根据特殊角的三角函数值可知，$\sin30°=\frac{1}{2}$，将其代入原式计算：
$\sin30° - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
特殊角的三角函数值，实数的运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查30°、45°、60°这几个常见特殊角的三角函数值的识记，只要准确记忆对应数值，代入简单计算即可得分，是考试中常见的基础送分类题目。
【难度系数】
0.9
本题考查特殊角的三角函数值的应用，解题思路清晰：第一步先回忆30°角的正弦值，第二步将其代入原式做减法计算，最后把计算结果和选项匹配就能得到正确答案。
【解析】
根据特殊角的三角函数值可知，$\sin30°=\frac{1}{2}$，将其代入原式计算：
$\sin30° - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
特殊角的三角函数值，实数的运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查30°、45°、60°这几个常见特殊角的三角函数值的识记，只要准确记忆对应数值，代入简单计算即可得分，是考试中常见的基础送分类题目。
【难度系数】
0.9
【变式】(2025 娄底月考)计算：$|\sqrt{3} - 2| + 2\sin 60° - (-π)^0.$
答案
解:$|\sqrt{3}-2|+2\sin 60°-(-π)^0=2-\sqrt{3}+2×\frac{\sqrt{3}}{2}-1=2-\sqrt{3}+\sqrt{3}-1=1$.
解析
【分析】
本题属于实数混合运算题，解题时需先分别化简三个运算项，再合并计算。首先处理绝对值项：先判断绝对值内代数式的正负，√3≈1.732小于2，因此√3-2是负数，负数的绝对值是它的相反数，即可完成绝对值化简；其次处理三角函数项：牢记特殊角60°的正弦值为√3/2，代入计算即可；最后处理零指数幂项：任意非零数的0次幂等于1，据此完成化简，最后将三项化简结果合并，抵消同类二次根式后得到最终结果。
【解析】
解：先分别化简每一项：
1. 化简绝对值：
∵√3 ＜ 2，
∴|√3 - 2| = 2 - √3
2. 计算三角函数项：2sin60° = 2 × $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = √3
3. 化简零指数幂：$(-π)^0$ = 1
将各项代入原式计算：
原式 = 2 - √3 + √3 - 1 = 1
【答案】
1
【知识点】
绝对值化简、特殊角的三角函数值、零指数幂运算
【点评】
本题是实数混合运算的常规题型，综合考查多个基础运算知识点，解题关键是准确掌握各知识点的运算规则，尤其注意去绝对值时的符号判断，不要混淆特殊角的三角函数值，避免因基础概念记错导致计算错误。
【难度系数】
0.8
本题属于实数混合运算题，解题时需先分别化简三个运算项，再合并计算。首先处理绝对值项：先判断绝对值内代数式的正负，√3≈1.732小于2，因此√3-2是负数，负数的绝对值是它的相反数，即可完成绝对值化简；其次处理三角函数项：牢记特殊角60°的正弦值为√3/2，代入计算即可；最后处理零指数幂项：任意非零数的0次幂等于1，据此完成化简，最后将三项化简结果合并，抵消同类二次根式后得到最终结果。
【解析】
解：先分别化简每一项：
1. 化简绝对值：
∵√3 ＜ 2，
∴|√3 - 2| = 2 - √3
2. 计算三角函数项：2sin60° = 2 × $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = √3
3. 化简零指数幂：$(-π)^0$ = 1
将各项代入原式计算：
原式 = 2 - √3 + √3 - 1 = 1
【答案】
1
【知识点】
绝对值化简、特殊角的三角函数值、零指数幂运算
【点评】
本题是实数混合运算的常规题型，综合考查多个基础运算知识点，解题关键是准确掌握各知识点的运算规则，尤其注意去绝对值时的符号判断，不要混淆特殊角的三角函数值，避免因基础概念记错导致计算错误。
【难度系数】
0.8
1. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=4$，$AC=3$，则$\sin B$的值是（
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$
C
）A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$
答案
1. C
解析
【分析】
要计算$\sin B$的值，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边长度与斜边长度的比值。第一步先确定$\mathrm{Rt}△ABC$的斜边：直角$∠ C$所对的边$AB$是斜边，长度为4；第二步确定$∠ B$的对边：与$∠ B$不相邻的直角边$AC$是$∠ B$的对边，长度为3；第三步代入定义计算即可得到结果，另外也可根据锐角正弦值一定小于1，直接排除大于1的B、D选项，缩小选择范围。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正弦的定义：
$\sin B = \frac{∠ B\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{AC}{AB}$
已知$AC=3$，$AB=4$，代入得：
$\sin B = \frac{3}{4}$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
锐角正弦的定义、直角三角形的边角关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查对锐角正弦定义的理解与应用，解题关键是准确对应所求角的对边和斜边，避免混淆对边、邻边的位置导致出错。
【难度系数】
0.9
要计算$\sin B$的值，首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于该角的对边长度与斜边长度的比值。第一步先确定$\mathrm{Rt}△ABC$的斜边：直角$∠ C$所对的边$AB$是斜边，长度为4；第二步确定$∠ B$的对边：与$∠ B$不相邻的直角边$AC$是$∠ B$的对边，长度为3；第三步代入定义计算即可得到结果，另外也可根据锐角正弦值一定小于1，直接排除大于1的B、D选项，缩小选择范围。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角正弦的定义：
$\sin B = \frac{∠ B\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{AC}{AB}$
已知$AC=3$，$AB=4$，代入得：
$\sin B = \frac{3}{4}$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
锐角正弦的定义、直角三角形的边角关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查对锐角正弦定义的理解与应用，解题关键是准确对应所求角的对边和斜边，避免混淆对边、邻边的位置导致出错。
【难度系数】
0.9
