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13. (2025衡阳期末)如图,四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形,若$OA:OA'=2:3$,四边形ABCD的面积等于4,则四边形A'B'C'D'的面积为 (
A.3
B.4
C.6
D.9
D
)A.3
B.4
C.6
D.9
答案
13. D
解析
【分析】
首先明确位似图形的本质是相似图形，解题思路如下：第一步，根据位似图形的性质，两个位似图形的相似比等于对应点到位似中心的距离之比，结合已知OA:OA'=2:3，得到两个四边形的相似比；第二步，回忆相似图形的面积比等于相似比的平方，计算出两个四边形的面积比；第三步，结合已知四边形ABCD的面积，即可求出四边形A'B'C'D'的面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，
∴四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，且相似比$k=OA:OA'=2:3$，
根据相似图形的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{四边形ABCD}}{S_{四边形A'B'C'D'}}=k^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，
已知$S_{四边形ABCD}=4$，代入得$\frac{4}{S_{四边形A'B'C'D'}}=\frac{4}{9}$，
解得$S_{四边形A'B'C'D'}=9$。
【答案】
D
【知识点】
位似图形的性质；相似图形面积比与相似比的关系
【点评】
本题是相似章节的基础常考题，主要考查位似和相似性质的结合应用，解题的核心是明确位似图形属于特殊的相似图形，牢记相似比和面积比的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先明确位似图形的本质是相似图形，解题思路如下：第一步，根据位似图形的性质，两个位似图形的相似比等于对应点到位似中心的距离之比，结合已知OA:OA'=2:3，得到两个四边形的相似比；第二步，回忆相似图形的面积比等于相似比的平方，计算出两个四边形的面积比；第三步，结合已知四边形ABCD的面积，即可求出四边形A'B'C'D'的面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，
∴四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，且相似比$k=OA:OA'=2:3$，
根据相似图形的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{四边形ABCD}}{S_{四边形A'B'C'D'}}=k^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，
已知$S_{四边形ABCD}=4$，代入得$\frac{4}{S_{四边形A'B'C'D'}}=\frac{4}{9}$，
解得$S_{四边形A'B'C'D'}=9$。
【答案】
D
【知识点】
位似图形的性质；相似图形面积比与相似比的关系
【点评】
本题是相似章节的基础常考题，主要考查位似和相似性质的结合应用，解题的核心是明确位似图形属于特殊的相似图形，牢记相似比和面积比的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
14. 如图，$△ ABC$的三个顶点坐标分别是$A(0,3)$，$B(1,0)$，$C(3,1)$。
(1)以原点$O$为位似中心，在$y$轴左侧画出$△ A_1B_1C_1$，使得$△ A_1B_1C_1$与$△ ABC$的相似比为$2:1$。
(2)$△ ABC$的内部有一点$M$的坐标为$(a,b)$，则点$M$在$△ A_1B_1C_1$中的对应点$M_1$的坐标是多少？
(1)以原点$O$为位似中心，在$y$轴左侧画出$△ A_1B_1C_1$，使得$△ A_1B_1C_1$与$△ ABC$的相似比为$2:1$。
(2)$△ ABC$的内部有一点$M$的坐标为$(a,b)$，则点$M$在$△ A_1B_1C_1$中的对应点$M_1$的坐标是多少？
答案
14. 解:(1)如图,$△A_1B_1C_1$即为所求作的三角形.
(2)点M在$△A_1B_1C_1$中的对应点$M_1$的坐标是$(-2a,-2b)$.
解析
【分析】
解决本题首先回忆位似图形的坐标变换规律：当位似中心为原点时，若两个位似图形位于原点异侧，位似比为k，则新图形对应点的坐标是原图形对应点坐标乘以$-k$。第一问作图时，先根据位似变换规则算出△ABC三个顶点变换后的坐标，描点后依次连线即可；第二问直接套用位似坐标变换规律，将点M的坐标对应变换就能得到结果。
【解析】
(1) 已知△ABC三个顶点坐标为$A(0,3)$，$B(1,0)$，$C(3,1)$，位似中心为原点，要求新图形在y轴左侧（与原图形在原点异侧），相似比为$2:1$，因此坐标变换规则为原坐标乘以$-2$：
$A_1$坐标：$(0×(-2),3×(-2))=(0,-6)$
$B_1$坐标：$(1×(-2),0×(-2))=(-2,0)$
$C_1$坐标：$(3×(-2),1×(-2))=(-6,-2)$
在坐标系中描出$A_1$、$B_1$、$C_1$三点，依次连接三点得到的$△ A_1B_1C_1$即为所求。
(2) 位似中心为原点，两图形在原点异侧、位似比为2时，原图形上点$(x,y)$的对应点坐标为$(-2x,-2y)$，因此点$M(a,b)$的对应点$M_1$的坐标为$(-2a,-2b)$。
【答案】
(1) 如图,$△A_1B_1C_1$即为所求作的三角形.
(2) 点$M_1$的坐标是$(-2a,-2b)$.
【知识点】
位似作图、位似图形的坐标变换
【点评】
本题考查位似图形的作图与坐标变换，核心是掌握位似中心在原点时，对应点坐标的变化规则，注意图形位于原点同侧和异侧时坐标变换的符号差异。
【难度系数】
0.75
解决本题首先回忆位似图形的坐标变换规律：当位似中心为原点时，若两个位似图形位于原点异侧，位似比为k，则新图形对应点的坐标是原图形对应点坐标乘以$-k$。第一问作图时，先根据位似变换规则算出△ABC三个顶点变换后的坐标，描点后依次连线即可；第二问直接套用位似坐标变换规律，将点M的坐标对应变换就能得到结果。
【解析】
(1) 已知△ABC三个顶点坐标为$A(0,3)$，$B(1,0)$，$C(3,1)$，位似中心为原点，要求新图形在y轴左侧（与原图形在原点异侧），相似比为$2:1$，因此坐标变换规则为原坐标乘以$-2$：
$A_1$坐标：$(0×(-2),3×(-2))=(0,-6)$
$B_1$坐标：$(1×(-2),0×(-2))=(-2,0)$
$C_1$坐标：$(3×(-2),1×(-2))=(-6,-2)$
在坐标系中描出$A_1$、$B_1$、$C_1$三点，依次连接三点得到的$△ A_1B_1C_1$即为所求。
(2) 位似中心为原点，两图形在原点异侧、位似比为2时，原图形上点$(x,y)$的对应点坐标为$(-2x,-2y)$，因此点$M(a,b)$的对应点$M_1$的坐标为$(-2a,-2b)$。
【答案】
(1) 如图,$△A_1B_1C_1$即为所求作的三角形.
(2) 点$M_1$的坐标是$(-2a,-2b)$.
【知识点】
位似作图、位似图形的坐标变换
【点评】
本题考查位似图形的作图与坐标变换，核心是掌握位似中心在原点时，对应点坐标的变化规则，注意图形位于原点同侧和异侧时坐标变换的符号差异。
【难度系数】
0.75
15.(应用意识)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”大意如下：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）。
答案
15. 解:根据题意可知:$DE=DG=200,AH=15$,
∵H为GD的中点,K为DE的中点,
∴DH=100,DK=100,
∵$AH// DK$,
∴∠CDK=∠A,
而∠CKD=∠AHD,
∴△CDK∽△DAH,
∴$\frac{CK}{DH}=\frac{DK}{AH}$,
即$\frac{CK}{100}=\frac{100}{15}$,
∴$CK=\frac{2000}{3}$.
答:出南门$\frac{2000}{3}$步恰好看到位于A处的树木.
∵H为GD的中点,K为DE的中点,
∴DH=100,DK=100,
∵$AH// DK$,
∴∠CDK=∠A,
而∠CKD=∠AHD,
∴△CDK∽△DAH,
∴$\frac{CK}{DH}=\frac{DK}{AH}$,
即$\frac{CK}{100}=\frac{100}{15}$,
∴$CK=\frac{2000}{3}$.
答:出南门$\frac{2000}{3}$步恰好看到位于A处的树木.
解析
【分析】
解决本题首先要把实际问题转化为几何问题：先提取已知条件，正方形DEFG边长为200步，H、K分别是GD、ED的中点，AH=15步，要求CK的长度。观察图形可知△CDK和△DAH都是直角三角形，由AH//DK可得到一组相等的角，即可判定两个三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质列等式，就能计算出CK的长度。
【解析】
解：根据题意得：$DE=DG=200$步，$AH=15$步，
∵H是GD的中点，K是ED的中点，
∴$DH=\frac{1}{2}DG=100$步，$DK=\frac{1}{2}DE=100$步，
∵$AH// DK$，
∴$∠ CDK=∠ A$，
又
∵$∠ CKD=∠ AHD=90°$，
∴$△ CDK ∽ △ DAH$，
∴$\frac{CK}{DH}=\frac{DK}{AH}$，
代入数据得：$\frac{CK}{100}=\frac{100}{15}$，
解得：$CK=\frac{100×100}{15}=\frac{2000}{3}$步。
【答案】
出南门$\frac{2000}{3}$步恰好看到位于A处的树木。
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查相似三角形在实际问题中的应用，解题的关键是将实际问题抽象为几何模型，准确找到相似三角形，再利用相似的性质列式计算。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要把实际问题转化为几何问题：先提取已知条件，正方形DEFG边长为200步，H、K分别是GD、ED的中点，AH=15步，要求CK的长度。观察图形可知△CDK和△DAH都是直角三角形，由AH//DK可得到一组相等的角，即可判定两个三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质列等式，就能计算出CK的长度。
【解析】
解：根据题意得：$DE=DG=200$步，$AH=15$步，
∵H是GD的中点，K是ED的中点，
∴$DH=\frac{1}{2}DG=100$步，$DK=\frac{1}{2}DE=100$步，
∵$AH// DK$，
∴$∠ CDK=∠ A$，
又
∵$∠ CKD=∠ AHD=90°$，
∴$△ CDK ∽ △ DAH$，
∴$\frac{CK}{DH}=\frac{DK}{AH}$，
代入数据得：$\frac{CK}{100}=\frac{100}{15}$，
解得：$CK=\frac{100×100}{15}=\frac{2000}{3}$步。
【答案】
出南门$\frac{2000}{3}$步恰好看到位于A处的树木。
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查相似三角形在实际问题中的应用，解题的关键是将实际问题抽象为几何模型，准确找到相似三角形，再利用相似的性质列式计算。
【难度系数】
0.7
