1.【例1】先填表，然后在如图的平面直角坐标系中画出下列函数的图象：


观察图象填空：

思考:(1)抛物线$y=x^2$向平移个单位长度可得到抛物线$y=x^2 +1$；向平移个单位长度可得到抛物线$y=x^2 -1$.
(2)对于二次函数$y=x^2 +1$,当$x=$时,$y$取最值为.

1. 4 1 0 1 4 5 2 1 2 5 3 0 -1 0 3

向上 $y$轴$(x=0)$ $(0,0)$ 向上 $y$轴$(x=0)$ $(0,1)$ 向上 $y$轴$(x=0)$ $(0,-1)$
(1)上 1 下 1
(2)0 小 1

【分析】
解决本题可结合二次函数的平移规律和基本性质分析：
1. 平移问题：首先回忆二次函数平移规律“上加下减常数项，左加右减自变量”，本题中三个函数只有常数项不同，属于上下平移，也可以通过对比顶点坐标的变化直接判断平移方向和距离。
2. 最值问题：先根据二次项系数的符号判断抛物线开口方向，开口向上时顶点处取最小值，开口向下时顶点处取最大值，再结合顶点坐标即可得到对应的最值。
【解析】
(1) 抛物线$y=x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，抛物线$y=x^2+1$的顶点坐标为$(0,1)$，顶点从$(0,0)$向上移动1个单位得到$(0,1)$，因此抛物线$y=x^2$向上平移1个单位长度可得到$y=x^2+1$；
抛物线$y=x^2-1$的顶点坐标为$(0,-1)$，顶点从$(0,0)$向下移动1个单位得到$(0,-1)$，因此抛物线$y=x^2$向下平移1个单位长度可得到$y=x^2-1$。
(2) 二次函数$y=x^2+1$的二次项系数$a=1＞0$，抛物线开口向上，顶点为图象的最低点，此时$y$取最小值，其顶点坐标为$(0,1)$，因此当$x=0$时，$y$取最小值为1。
【答案】
1. 4 1 0 1 4 5 2 1 2 5 3 0 -1 0 3

向上 $y$轴$(x=0)$ $(0,0)$ 向上 $y$轴$(x=0)$ $(0,1)$ 向上 $y$轴$(x=0)$ $(0,-1)$
(1)上 1 下 1
(2)0 小 1
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数y=ax²+k的性质；二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，核心是二次函数上下平移的规律和最值的判断，熟练掌握相关基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

3.【例2】(2025广州市二模)已知点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$在抛物线$y=-x^2 -2$上，且$0 ＜ x_1 ＜ x_2$，则$y_1$ $y_2$.（填“＜”“＞”或“=”）

3. ＞

【分析】
解题时先分析抛物线的基本性质：首先根据二次项系数的正负判断开口方向，再确定对称轴，然后判断给定的两个自变量的取值在对称轴的哪一侧，最后根据对应区间的增减性比较两个函数值的大小。
【解析】
对于抛物线$y=-x^2 -2$，二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=0$（即y轴）。
根据二次函数的增减性：开口向下的抛物线，在对称轴右侧（$x＞0$时），$y$随$x$的增大而减小。
已知$0 ＜ x_1 ＜ x_2$，即两个点都在对称轴右侧，且$x_1＜x_2$，因此可得$y_1＞y_2$。
【答案】
＞
【知识点】
二次函数增减性；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，解题核心是先明确抛物线的开口方向与对称轴，再结合自变量的取值范围利用增减性比较函数值大小，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8

2.【变式】先填表，然后在如图的平面直角坐标系中画出下列函数的图象：


观察图象填空：

思考:(1) 抛物线 $y=-x^2$ 向 平移 个单位长度可得到抛物线 $y=-x^2+1$；向 平移 个单位长度可得到抛物线 $y=-x^2-1$.
(2)对于二次函数 $y=-x^2-1$，当 $x=$ 时，$y$ 取最 值为 .
4. (2025 珠海市三模)若点 $(0,y_1),(1,y_2),(2,$

2. -4 -1 0 -1 -4 -3 0 1 0 -3 -5 -2 -1 -2 -5

向下 $y$轴$(x=0)$ $(0,0)$ 向下 $y$轴$(x=0)$ $(0,1)$ 向下 $y$轴$(x=0)$ $(0,-1)$
(1)上 1 下 1
(2)0 大 -1

【分析】
本题考查二次函数图象的平移规律及最值性质，解题思路如下：1. 对于平移问题，二次函数图象上下平移时遵循“上加下减常数项”的规律，也可通过对比顶点坐标的变化判断平移方向和距离；2. 对于最值问题，先根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，开口向下的抛物线顶点处取得最大值，开口向上的抛物线顶点处取得最小值，再结合顶点坐标即可得到最值对应的x值和最值大小。
【解析】
(1) 抛物线$y=-x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，抛物线$y=-x^2+1$的顶点坐标为$(0,1)$，顶点从$(0,0)$向上移动1个单位到$(0,1)$，因此抛物线$y=-x^2$向上平移1个单位长度可得到$y=-x^2+1$；
抛物线$y=-x^2-1$的顶点坐标为$(0,-1)$，顶点从$(0,0)$向下移动1个单位到$(0,-1)$，因此抛物线$y=-x^2$向下平移1个单位长度可得到$y=-x^2-1$。
(2) 二次函数$y=-x^2-1$中，二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，函数存在最大值，其顶点坐标为$(0,-1)$，因此当$x=0$时，$y$取最大值为$-1$。
【答案】
-4 -1 0 -1 -4 -3 0 1 0 -3 -5 -2 -1 -2 -5

向下 $y$轴$(x=0)$ $(0,0)$ 向下 $y$轴$(x=0)$ $(0,1)$ 向下 $y$轴$(x=0)$ $(0,-1)$
(1)上 1 下 1
(2)0 大 -1
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数的最值；二次函数$y=ax^2+k$的性质
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础应用题，重点考查上下平移规律和开口方向与最值的对应关系，熟练掌握相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.85

$y_3$)都在二次函数$y=x^2+1$图象上,则()

A.$y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$
B.$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$
C.$y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$
D.$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
＞小结 1. 二次函数$y=ax^2 +k$的图象和性质

2. 抛物线$y=ax^2 \frac{k＞0,向上平移|k|个单位长度}{k＜0,向下平移|k|个单位长度}$抛物线$y=ax^2 +k$
k决定平移方向
| $k＞0$ | 向上平移 | 简记:上加下减 |
| $k＜0$ | 向下平移 | |

4. A
小结 1. 上 0 小 k 增大 减小
下 0 大 k 减小 增大

【分析】
要完成表格填空，需结合二次项系数$a$的符号分析$y=ax^2+k$的性质：
1. 首先$a$的符号决定开口方向：$a＞0$时抛物线开口向上，顶点$(0,k)$是图象最低点，函数存在最小值；$a＜0$时抛物线开口向下，顶点$(0,k)$是图象最高点，函数存在最大值。
2. 该函数对称轴为$x=0$（即$y$轴），结合开口方向分析增减性：开口向上时，对称轴右侧$y$随$x$增大而增大，左侧$y$随$x$增大而减小；开口向下时，对称轴右侧$y$随$x$增大而减小，左侧$y$随$x$增大而增大。
【解析】
按表格内容依次填写：
当$a＞0$时：开口向上；$x=0$时$y$有最小值$k$；$x＞0$时$y$随$x$的增大而增大，$x＜0$时$y$随$x$的增大而减小。
当$a＜0$时：开口向下；$x=0$时$y$有最大值$k$；$x＞0$时$y$随$x$的增大而减小，$x＜0$时$y$随$x$的增大而增大。
选择题可根据$y=x^2+1$开口向上、对称轴为$y$轴的性质，比较各点横坐标到对称轴的距离即可判断函数值大小。
【答案】
$a＞0$行依次填：上，0，小，$k$，增大，减小
$a＜0$行依次填：下，0，大，$k$，减小，增大
选择题答案：$\boxed{A}$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 二次函数图象平移规律
【点评】
本题属于二次函数基础概念题，核心是掌握$a$、$k$两个参数对二次函数图象、最值、增减性的影响，熟练记忆相关规律即可快速作答，是后续学习复杂二次函数的重要基础。
【难度系数】
0.8