＞小结 二次函数$y=ax^2$的图象和性质
| $y=ax^2$ | $a＞0$ | $a＜0$ |
| --- | --- | --- |
| 图象 | | |
| 开口 | 开口向 | 开口向 |
| | μlticolumn{2}{c|}{$|a|$越大，开口越小} |
| 对称轴 | μlticolumn{2}{c|}{$y$轴($x=0$)} |
| 顶点坐标 | μlticolumn{2}{c|}{$(0,0)$} |
| 最值 | 当$x=0$时，$y$有最值 | 当$x=0$时，$y$有最值 |
| 增减性 | 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而 | 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而 |

小结 上 小 0 减小 增大
下 大 0 增大 减小

【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2$的基本性质，解题时可结合函数图象推导相关结论：第一步先根据$a$的符号判断开口方向，$a$为正时抛物线开口向上，$a$为负时抛物线开口向下；第二步结合开口方向判断最值，开口向上时顶点$(0,0)$是图象最低点，因此$y$有最小值，开口向下时顶点$(0,0)$是图象最高点，因此$y$有最大值；第三步结合对称轴（$y$轴）判断增减性，开口向上时对称轴左侧$y$随$x$增大而减小、右侧随$x$增大而增大，开口向下时增减性和$a＞0$的情况相反。
【解析】
当$a＞0$时：
开口方向为向上；$x=0$时，$y$有最小值$0$；$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
当$a＜0$时：
开口方向为向下；$x=0$时，$y$有最大值$0$；$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
上、小、0、减小、增大、下、大、0、增大、减小
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质、二次函数的开口与最值、二次函数的增减性
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查二次函数$y=ax^2$的基础性质，熟练掌握$a$的取值对函数图象和性质的影响，是后续学习更复杂二次函数的重要基础。
【难度系数】
0.9

1. (人教九上$\mathrm{P}_{36}$练习$\mathrm{T}_{2}$改编)二次函数$y=3x^2$的图象是一条，它的开口向，顶点坐标是，对称轴是，在对称轴的左侧，$y$随$x$的增大而，在对称轴的右侧，$y$随$x$的增大而。

1. 抛物线 上 $(0,0)$ $y$轴 减小 增大

【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2$的图象与性质，解题思路如下：首先回忆二次函数的通用图象特征，再根据二次项系数的正负判断开口方向，接着结合$y=ax^2$的固定性质确定顶点坐标和对称轴，最后结合开口方向推导对称轴两侧的增减性规律即可。
【解析】
1. 所有二次函数的图象都是抛物线，因此$y=3x^2$的图象是抛物线；
2. 该函数的二次项系数$a=3＞0$，因此图象开口向上；
3. 对于形如$y=ax^2$的最简二次函数，其顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴；
4. 由于图象开口向上，因此在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
抛物线 上 $(0,0)$ $y$轴 减小 增大
【知识点】
二次函数图象特征、$y=ax^2$的性质、二次函数增减性
【点评】
本题是基础概念考查题，涉及的是二次函数最核心的基础性质，是后续学习复杂二次函数的前提，需要牢固记忆相关结论。
【难度系数】
0.9

2. 二次函数$y=mx^2$的图象如图所示，则：
(1)$m$ $0$；
(2)开口向 ；
(3)对称轴是 ；
(4)顶点坐标是 ；
(5)当$x =$ 时，$y$取最大值，即为 ；
(6)当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而 。

2. (1) ＜ (2) 下 (3) $y$轴 (4) $(0,0)$ (5) 0 0 (6) 减小

【分析】
这道题考查形如$y=ax^2$的二次函数的图像与性质，解题时先观察图像特征推导性质即可：
1. 首先看开口方向：图像开口向下，可直接确定二次项系数$m$的符号；
2. 回忆$y=ax^2$的通用性质：此类二次函数对称轴恒为$y$轴，顶点恒为原点$(0,0)$；
3. 结合开口向下的特征：顶点是图像最高点，$y$在顶点处取最大值，且在对称轴右侧（$x＞0$时），$y$随$x$增大而减小。
【解析】
结合图像和$y=mx^2$的性质逐一求解：
(1) 由图可知二次函数开口向下，对于$y=ax^2$，开口向下时二次项系数$a＜0$，因此$m＜0$；
(2) 直接观察图像可得，开口向下；
(3) 形如$y=ax^2$的二次函数，对称轴为$y$轴；
(4) $y=ax^2$的顶点为坐标原点，即顶点坐标是$(0,0)$；
(5) 开口向下的抛物线，顶点是最高点，$y$在顶点处取最大值，因此当$x=0$时，$y$取最大值，最大值为$0$；
(6) 开口向下的抛物线，在对称轴右侧（$x＞0$的区域），$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
(1) $＜$ (2) 下 (3) $y$轴 (4) $(0,0)$ (5) $0$；$0$ (6) 减小
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次函数图像特征
3. 二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，重点考查最基础的$y=ax^2$型二次函数的图像与对应性质，只要熟练掌握二次项系数符号与开口方向、增减性、最值的对应关系，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.9

3.（广东中考）若点$(0,y_1),(1,y_2),(2,y_3)$都在二次函数$y=x^2$的图象上，则（）

A.$y_3 ＞ y_2 ＞ y_1$
B.$y_2 ＞ y_1 ＞ y_3$
C.$y_1 ＞ y_3 ＞ y_2$
D.$y_3 ＞ y_1 ＞ y_2$

3. A

【分析】
本题考查二次函数的相关性质，解题可从两个思路入手：思路一：二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此可将三个点的横坐标分别代入解析式，求出对应的$y_1$、$y_2$、$y_3$的值，再比较大小即可；思路二：先分析二次函数$y=x^2$的开口方向、对称轴，判断$x≥0$时的增减性，再根据三个点横坐标的大小关系，直接推导对应函数值的大小关系。
【解析】
方法一（代入计算法）：
将$x=0$代入$y=x^2$，得$y_1=0^2=0$；
将$x=1$代入$y=x^2$，得$y_2=1^2=1$；
将$x=2$代入$y=x^2$，得$y_3=2^2=4$；
因为$4＞1＞0$，所以$y_3＞y_2＞y_1$。
方法二（性质判断法）：
二次函数$y=x^2$的图象开口向上，对称轴为$y$轴（直线$x=0$），
因此在$x≥0$的范围内，$y$随$x$的增大而增大，
已知三个点的横坐标满足$0＜1＜2$，
所以对应的函数值满足$y_1＜y_2＜y_3$，即$y_3＞y_2＞y_1$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；有理数大小比较
【点评】
本题是基础题型，解题方法灵活，既可以通过直接代入计算快速得出结果，也可以利用二次函数的增减性推导结论，侧重对二次函数基础性质的考查。
【难度系数】
0.9

4.（易错题）已知抛物线$y=2x^2$，当$-1≤ x≤2$时，$y$的取值范围是（）

A.$-2≤ y≤8$
B.$0≤ y≤8$
C.$2≤ y≤8$
D.$0≤ y≤2$

4. B

【分析】
要解决这个问题，首先回忆二次函数的基本性质：对于抛物线$y=ax²$，$a＞0$时开口向上，对称轴为y轴（即直线$x=0$），顶点是图像的最低点，对应$y$的最小值。接下来判断顶点是否在给定的$x$取值范围$[-1,2]$内：显然$x=0$在这个区间里，所以$y$的最小值就是顶点的函数值。再找最大值：开口向上的抛物线，在给定区间内离对称轴越远的点对应的$y$值越大，只需比较区间两个端点到对称轴的距离，就能找到最大值对应的$x$值，代入计算即可得到$y$的取值范围。
【解析】
解：对于抛物线$y=2x^2$，
∵$a=2＞0$，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,0)$，函数的最小值为顶点处的$y$值。
已知自变量取值范围是$-1≤x≤2$，顶点的横坐标$x=0$在该区间内，
∴当$x=0$时，$y$取得最小值，$y_{\mathrm{最小}}=2×0^2=0$。
再比较区间端点到对称轴$x=0$的距离：
$|-1-0|=1$，$|2-0|=2$，$2＞1$，
∴当$x=2$时，$y$取得最大值，$y_{\mathrm{最大}}=2×2^2=8$。
综上，当$-1≤x≤2$时，$y$的取值范围是$0≤y≤8$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图像性质；二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数最值的易错题，易错点是忽略顶点在自变量取值范围内，直接代入区间两个端点计算最值，从而错选C。解题时要先明确抛物线的开口方向、对称轴，判断顶点是否在给定区间内，再结合函数性质求最值。
【难度系数】
0.6

5. 如图,已知抛物线$y=ax^2$经过点$A(2,-2)$.
(1)这个函数的解析式为;
(2)抛物线上与点A关于y轴对称的点B的坐标是,$△ AOB$的面积是;
(3)抛物线上一点C满足$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}S_{△ AOB}$,求点C的坐标.

5. 解:(1)$y = -\frac{1}{2}x^2$
(2)$(-2, -2)$ 4
(3)假设存在点 C,且点 C 到 AB 的距离为$h$,
则 $S_{△ ABC} =\frac{1}{2}AB · h = 2h$.
$\because S_{△ ABC} =\frac{1}{2}S_{△ AOB} ,\therefore 2h =\frac{1}{2} × 4$. 解得 $h = 1$.
①当点 C 在 AB 下方时,点 C 的纵坐标为 $-2 -1 = -3$,
此时 $-\frac{1}{2}x^2 = -3$. 解得 $x_1 =\sqrt{6} ,x_2 = -\sqrt{6}$.
$\therefore$ 点 C 的坐标为 $(\sqrt{6} ,-3)$或 $(-\sqrt{6} ,-3)$.
②当点 C 在 AB 上方时,点 C 的纵坐标为 $-2 + 1 = -1$,
此时 $-\frac{1}{2}x^2 = -1$. 解得 $x_3 =\sqrt{2} ,x_4 = -\sqrt{2}$.
$\therefore$ 点 C 的坐标为 $(\sqrt{2} ,-1)$或 $(-\sqrt{2} ,-1)$.
综上所述,点 C 的坐标为 $(\sqrt{6} ,-3)$或 $(-\sqrt{6} ,-3)$或$(\sqrt{2} ,-1)$或 $(-\sqrt{2} ,-1)$.

【分析】
(1) 求抛物线解析式可采用待定系数法，将已知点A的坐标代入$y=ax^2$，求解a的值即可得到函数解析式。
(2) 关于y轴对称的点的坐标规律为纵坐标不变、横坐标互为相反数，据此可直接得到点B的坐标；AB为平行于x轴的线段，先求出AB的长度，再结合AB到原点O的距离，利用三角形面积公式即可算出$△ AOB$的面积。
(3) 先根据两个三角形的面积关系求出$△ ABC$的面积，结合AB的固定长度求出点C到AB的距离；再分点C在AB上方、点C在AB下方两种情况，分别求出点C的纵坐标，代入抛物线解析式求出对应横坐标即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 将$A(2,-2)$代入$y=ax^2$得：
$-2=a× 2^2$，解得$a=-\frac{1}{2}$，
故函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
(2) 点A关于y轴对称的点B，纵坐标与A相同，横坐标为A横坐标的相反数，故B的坐标为$(-2,-2)$；
AB的长度为$|2-(-2)|=4$，AB所在直线为$y=-2$，到原点O的距离为2，
因此$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×4×2=4$。
(3) 设点C到AB的距离为$h$，
$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×4=2$，且$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× h=\frac{1}{2}×4× h=2h$，
$\therefore 2h=2$，解得$h=1$。
分两种情况讨论：
①当点C在AB下方时，点C的纵坐标为$-2-1=-3$，
将$y=-3$代入$y=-\frac{1}{2}x^2$得：$-\frac{1}{2}x^2=-3$，解得$x=\pm\sqrt{6}$，
此时点C坐标为$(\sqrt{6},-3)$或$(-\sqrt{6},-3)$；
②当点C在AB上方时，点C的纵坐标为$-2+1=-1$，
将$y=-1$代入$y=-\frac{1}{2}x^2$得：$-\frac{1}{2}x^2=-1$，解得$x=\pm\sqrt{2}$，
此时点C坐标为$(\sqrt{2},-1)$或$(-\sqrt{2},-1)$。
综上，点C的坐标为$(\sqrt{6},-3)$、$(-\sqrt{6},-3)$、$(\sqrt{2},-1)$、$(-\sqrt{2},-1)$。
【答案】
(1)$y=-\frac{1}{2}x^2$
(2)$(-2,-2)$；$4$
(3)$(\sqrt{6},-3)$或$(-\sqrt{6},-3)$或$(\sqrt{2},-1)$或$(-\sqrt{2},-1)$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 轴对称的坐标性质
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数基础综合题，结合了二次函数图象性质、坐标变换和三角形面积计算的知识点，解题核心是合理运用分类讨论思想确定点C的位置，避免漏解，能够有效考查学生对基础知识点的掌握情况和思维的严谨性。
【难度系数】
0.7