1.【例】(人教九上$\mathrm{P}_{34}$例1改编)先填表,然后在如图的平面直角坐标系中画出下列函数的图象:


观察图象填空:

思考:(1)顶点是抛物线的最点.
(2)a越,抛物线$y=ax^2(a＞0)$的开口越小.
(3)当$x＜0$时,y随x的增大而;当$x＞0$时,y随x的增大而.

1. 填表：1.4 1 0 1 4 2 $\frac{1}{2}$ 0 $\frac{1}{2}$ 2 8 2 0 2 8
画出的图象为
观察图象填空：向上 $y$轴 $(0,0)$ 向上 $y$轴 $(0,0)$ 向上 $y$轴 $(0,0)$
思考:(1) 低
(2) 大
(3) 减小 增大

【分析】
这道题围绕$a＞0$的二次函数$y=ax^2$的图象与性质展开，解题思路如下：首先我们通过描点法画出三个不同$a$值的二次函数图象，再从图象的开口方向、顶点位置、开口大小、增减性四个角度观察总结规律：①先看开口方向，$a＞0$时抛物线开口向上，因此顶点是图象的最低点；②对比三个函数的$a$值和对应图象的开口宽度，总结$a$的大小对开口的影响；③以$y$轴为对称轴，分别观察$x＜0$和$x＞0$两个区间内$y$随$x$的变化规律，得到增减性结论。
【解析】
1. 填表：将各$x$值分别代入$y=2x^2$、$y=x^2$、$y=\frac{1}{2}x^2$计算对应$y$值，可得表中数值依次为1.4、1、0、1、4、2、$\frac{1}{2}$、0、$\frac{1}{2}$、2、8、2、0、2、8。
2. 描点画图：根据表格中的坐标点在平面直角坐标系中描点，再用平滑曲线顺次连接，得到对应图象。
3. 观察图象总结性质：三个函数开口都向上，对称轴都是$y$轴，顶点坐标都是$(0,0)$。
4. 思考问题解答：
(1) 三个抛物线开口都向上，顶点$(0,0)$是图象的最低点，因此填“低”；
(2) 对比$a=2$、$a=1$、$a=\frac{1}{2}$的图象，$a$越大，抛物线开口宽度越小，因此填“大”；
(3) 以对称轴$y$轴为界，当$x＜0$（对称轴左侧）时，$x$增大$y$减小；当$x＞0$（对称轴右侧）时，$x$增大$y$增大，因此依次填“减小”、“增大”。
【答案】
填表：1.4 1 0 1 4 2 $\frac{1}{2}$ 0 $\frac{1}{2}$ 2 8 2 0 2 8
画出的图象为
观察图象填空：向上 $y$轴 $(0,0)$ 向上 $y$轴 $(0,0)$ 向上 $y$轴 $(0,0)$
思考:(1) 低
(2) 大
(3) 减小 增大
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象
2. 二次函数$y=ax^2$的性质
3. 二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础考查题，通过描点画图、观察总结的过程，帮助学生直观理解$a＞0$时$y=ax^2$的相关性质，是后续学习复杂二次函数的重要基础。
【难度系数】
0.85

2.【变式】先填表，然后在如图的平面直角坐标系中画出下列函数的图象：


观察图象填空：

思考:(1)顶点是抛物线的最点.
(2)a越,抛物线$y=ax^2(a＜0)$的开口越小.
(3)当$x＜0$时,y随x的增大而；当$x＞0$时,y随x的增大而.

2. 填表：-4 -1 0 -1 -4 -2 $-\frac{1}{2}$ 0 $-\frac{1}{2}$ -2 -8 -2 0 -2 -8
画出的图象为
观察图象填空：向下 $y$轴 $(0,0)$ 向下 $y$轴 $(0,0)$ 向下 $y$轴 $(0,0)$
思考:(1) 高
(2) 小
(3) 增大 减小

【分析】
解题时先回忆二次函数$y=ax^2(a＜0)$的相关性质，结合给出的三个函数图象逐步推导：
1. 先看抛物线开口方向：三个函数的$a$均为负数，因此开口都向下，顶点是整个抛物线的最高点，因为其余所有点的函数值都小于顶点的函数值0；
2. 对比三个$a$值：$-2＜-1＜-\frac{1}{2}$，观察对应图象，$a=-2$时抛物线开口最窄（最小），$a=-\frac{1}{2}$时开口最宽（最大），可得出$a$越小，开口越小的规律；
3. 分析增减性时，分$x＜0$（y轴左侧）和$x＞0$（y轴右侧）两个区间观察图象的升降趋势：左侧图象从左到右上升，即y随x增大而增大；右侧图象从左到右下降，即y随x增大而减小。
【解析】
首先代入x值计算填写对应函数的表格：
对于$y=-x^2$，x取-2、-1、0、1、2时，y分别为-4、-1、0、-1、-4；
对于$y=-\frac{1}{2}x^2$，x取-2、-1、0、1、2时，y分别为-2、$-\frac{1}{2}$、0、$-\frac{1}{2}$、-2；
对于$y=-2x^2$，x取-2、-1、0、1、2时，y分别为-8、-2、0、-2、-8。
描点连线得到三个函数的图象。
观察图象可得三个函数的共同特征：开口都向下，对称轴都是y轴，顶点坐标都是$(0,0)$。
思考问题解答：
(1) 抛物线开口向下，顶点是所有点中y值最大的点，因此顶点是抛物线的最高点；
(2) 对比三个函数的$a$值和对应开口大小：$a=-2$时开口最小，$a=-\frac{1}{2}$时开口最大，可知$a＜0$时，$a$越小，抛物线开口越小；
(3) 观察图象：当$x＜0$时，x增大，对应y值上升，即y随x的增大而增大；当$x＞0$时，x增大，对应y值下降，即y随x的增大而减小。
【答案】
填表：-4 -1 0 -1 -4 -2 $-\frac{1}{2}$ 0 $-\frac{1}{2}$ -2 -8 -2 0 -2 -8
画出的图象为
观察图象填空：向下 $y$轴 $(0,0)$ 向下 $y$轴 $(0,0)$ 向下 $y$轴 $(0,0)$
思考:(1) 高
(2) 小
(3) 增大 减小
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象
二次函数$y=ax^2$的性质
二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，通过对比三个不同$a$值的二次函数图象，帮助学生直观理解$a＜0$时二次函数$y=ax^2$的开口方向、顶点、对称轴、增减性以及开口大小与$a$的关系，是后续学习复杂二次函数的重要基础。
【难度系数】
0.8