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1.如图，AB是$\odot O$的直径，P是AB延长线上一点，PC与$\odot O$相切，切点是C，连接AC.若$∠ P=40°$，则$∠ A$的度数是 （
A.$50°$
B.$30°$
C.$25°$
D.$10°$
（第1题图）
（第2题图）
C
）A.$50°$
B.$30°$
C.$25°$
D.$10°$
（第1题图）
（第2题图）
答案
1.C
解析
【分析】
遇到圆的切线相关问题，首先考虑连接圆心和切点，利用切线的性质得到直角三角形，先求出∠COP的度数；再结合同圆半径相等得到等腰三角形，利用三角形外角的性质，即可推导求出∠A的度数。
【解析】
解：连接OC，
∵ PC是$\odot O$的切线，C为切点，
∴ $OC⊥ PC$，即$∠ OCP=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ OCP$中，$∠ P=40°$，
∴ $∠ COP=90°-∠ P=90°-40°=50°$，
∵ $OA=OC$（都是$\odot O$的半径），
∴ $∠ A=∠ OCA$，
又
∵ $∠ COP$是$△ AOC$的外角，
∴ $∠ COP=∠ A+∠ OCA=2∠ A$，
∴ $∠ A=∠ COP÷2=50°÷2=25°$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆的基础常考题，解题的关键是掌握切线问题的常用辅助线作法：连接圆心与切点，再结合三角形的相关性质即可完成求解。
【难度系数】
0.8
遇到圆的切线相关问题，首先考虑连接圆心和切点，利用切线的性质得到直角三角形，先求出∠COP的度数；再结合同圆半径相等得到等腰三角形，利用三角形外角的性质，即可推导求出∠A的度数。
【解析】
解：连接OC，
∵ PC是$\odot O$的切线，C为切点，
∴ $OC⊥ PC$，即$∠ OCP=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ OCP$中，$∠ P=40°$，
∴ $∠ COP=90°-∠ P=90°-40°=50°$，
∵ $OA=OC$（都是$\odot O$的半径），
∴ $∠ A=∠ OCA$，
又
∵ $∠ COP$是$△ AOC$的外角，
∴ $∠ COP=∠ A+∠ OCA=2∠ A$，
∴ $∠ A=∠ COP÷2=50°÷2=25°$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆的基础常考题，解题的关键是掌握切线问题的常用辅助线作法：连接圆心与切点，再结合三角形的相关性质即可完成求解。
【难度系数】
0.8
2.如图,在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB与小圆相切,点C为切点.若大圆的半径是13,小圆的半径是5,则AB的长为
24
.答案
2.24
解析
【分析】
遇到圆的切线问题，首先想到切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此先连接OC、OA，可得OC⊥AB；再结合大圆中弦AB的特征，根据垂径定理可知C是AB的中点，即AB=2AC；最后在构造出的Rt△OAC中，利用勾股定理计算AC的长度，即可求出AB的长。
【解析】
解：连接OA、OC，
∵AB是小圆的切线，C为切点，
∴OC⊥AB，
根据垂径定理可得：$AC=BC=\frac{1}{2}AB$，
已知大圆半径$OA=13$，小圆半径$OC=5$，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{OA^2 - OC^2}=\sqrt{13^2 - 5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$，
∴$AB=2AC=2×12=24$。
【答案】
24
【知识点】
切线的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆与几何计算结合的基础题型，解题的核心是通过连接辅助线构造直角三角形，将圆的性质与直角三角形的计算结合，掌握相关基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
遇到圆的切线问题，首先想到切线的性质：切线垂直于过切点的半径，因此先连接OC、OA，可得OC⊥AB；再结合大圆中弦AB的特征，根据垂径定理可知C是AB的中点，即AB=2AC；最后在构造出的Rt△OAC中，利用勾股定理计算AC的长度，即可求出AB的长。
【解析】
解：连接OA、OC，
∵AB是小圆的切线，C为切点，
∴OC⊥AB，
根据垂径定理可得：$AC=BC=\frac{1}{2}AB$，
已知大圆半径$OA=13$，小圆半径$OC=5$，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{OA^2 - OC^2}=\sqrt{13^2 - 5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$，
∴$AB=2AC=2×12=24$。
【答案】
24
【知识点】
切线的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆与几何计算结合的基础题型，解题的核心是通过连接辅助线构造直角三角形，将圆的性质与直角三角形的计算结合，掌握相关基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.如图,OA交$\odot O$于点B,AC与$\odot O$相切,切点为点C,点D在$\odot O$上,连接OC,BD,CD.若$∠ D=26°$,则$∠ A$的度数为
(第3题图)
(第4题图)
38°
.(第3题图)
(第4题图)
答案
3.38°
解析
【分析】
解题思路可分三步梳理：1. 看到切线先联想切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此AC切⊙O于C时，OC⊥AC，得到直角△OCA，∠A和∠COA互余；2. 已知圆周角∠D的度数，利用圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求出同弧BC对应的圆心角∠COA的度数；3. 最后利用直角三角形两锐角互余的性质计算∠A的度数即可。
【解析】
1. 由切线的性质可知：AC是⊙O的切线，C为切点，因此OC⊥AC，即$∠ OCA=90°$，在$Rt△ OCA$中，$∠ A + ∠ COA=90°$。
2. $∠ D$是弧BC所对的圆周角，$∠ COA$是弧BC所对的圆心角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知$∠ D=26°$，因此$∠ COA=2∠ D=2×26°=52°$。
3. 代入直角三角形锐角互余关系可得：$∠ A=90°-∠ COA=90°-52°=38°$。
【答案】
$38°$
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形性质
【点评】
本题属于圆的基础题型，难度较低，核心是熟练掌握切线性质和圆周角定理，找到已知角和未知角的关联即可快速求解。
【难度系数】
0.85
解题思路可分三步梳理：1. 看到切线先联想切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此AC切⊙O于C时，OC⊥AC，得到直角△OCA，∠A和∠COA互余；2. 已知圆周角∠D的度数，利用圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可求出同弧BC对应的圆心角∠COA的度数；3. 最后利用直角三角形两锐角互余的性质计算∠A的度数即可。
【解析】
1. 由切线的性质可知：AC是⊙O的切线，C为切点，因此OC⊥AC，即$∠ OCA=90°$，在$Rt△ OCA$中，$∠ A + ∠ COA=90°$。
2. $∠ D$是弧BC所对的圆周角，$∠ COA$是弧BC所对的圆心角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知$∠ D=26°$，因此$∠ COA=2∠ D=2×26°=52°$。
3. 代入直角三角形锐角互余关系可得：$∠ A=90°-∠ COA=90°-52°=38°$。
【答案】
$38°$
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形性质
【点评】
本题属于圆的基础题型，难度较低，核心是熟练掌握切线性质和圆周角定理，找到已知角和未知角的关联即可快速求解。
【难度系数】
0.85
4.如图，AB是$\odot O$的直径，PB与$\odot O$相切于点B，连接PA交$\odot O$于点C，连接BC.若$AB=6$，$PB=8$，则BC的长为
4.8
.答案
4.4.8
解析
【分析】
解题时首先利用切线的性质得到AB⊥PB，先在Rt△PAB中通过勾股定理计算出斜边PA的长度；再根据直径所对圆周角为直角的性质，得到BC⊥PA；最后利用等面积法，通过△PAB面积的两种不同表达形式建立等式，即可求解BC的长度。
【解析】
解：
∵PB是⊙O的切线，B为切点，根据切线的性质可知：AB⊥PB，即∠ABP=90°。
在Rt△ABP中，AB=6，PB=8，由勾股定理可得：
$PA=\sqrt{AB^2+PB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$。
∵AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，
∴∠ACB=90°，即BC⊥PA。
△PAB的面积可表示为两种形式：
$S_{△ PAB}=\frac{1}{2}× AB× PB=\frac{1}{2}× PA× BC$，
代入数值：$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× BC$，
化简得：$48=10BC$，解得$BC=4.8$。
【答案】
4.8
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆与直角三角形结合的基础题型，解题的关键是熟练掌握切线性质和圆周角定理，灵活运用等面积法简化线段长度的计算。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用切线的性质得到AB⊥PB，先在Rt△PAB中通过勾股定理计算出斜边PA的长度；再根据直径所对圆周角为直角的性质，得到BC⊥PA；最后利用等面积法，通过△PAB面积的两种不同表达形式建立等式，即可求解BC的长度。
【解析】
解：
∵PB是⊙O的切线，B为切点，根据切线的性质可知：AB⊥PB，即∠ABP=90°。
在Rt△ABP中，AB=6，PB=8，由勾股定理可得：
$PA=\sqrt{AB^2+PB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$。
∵AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，
∴∠ACB=90°，即BC⊥PA。
△PAB的面积可表示为两种形式：
$S_{△ PAB}=\frac{1}{2}× AB× PB=\frac{1}{2}× PA× BC$，
代入数值：$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× BC$，
化简得：$48=10BC$，解得$BC=4.8$。
【答案】
4.8
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆与直角三角形结合的基础题型，解题的关键是熟练掌握切线性质和圆周角定理，灵活运用等面积法简化线段长度的计算。
【难度系数】
0.7
5.如图,点A,B,C都在$\odot O$上,连接AB,AC,BC.AD是$\odot O$的直径,E为射线CB上一点,且$AE=AC,AB=BE$.求证:AE是$\odot O$的切线.
答案
5.【证明】如图,连接DB.
$\because AE=AC$,
$\therefore ∠E=∠C$.
$\because AB=BE$,
$\therefore ∠EAB=∠E=∠C$.
$\because ∠C$和$∠D$都是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，
$\therefore ∠C=∠D$.
$\therefore ∠EAB=∠D$.
$\because AD$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ABD=90°$.
$\therefore ∠D+∠DAB=90°$.
$\therefore ∠EAB+∠DAB=90°$,即$∠EAD=90°$.
$\therefore AE⊥AD$.
又OA为$\odot O$的半径，
$\therefore AE$是$\odot O$的切线.
解析
【分析】
要证明AE是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明AE垂直于过点A的半径AD，即证$∠ EAD=90°$。首先利用直径的性质：直径所对的圆周角为直角，因此连接BD可得$∠ ABD=90°$，即$∠ D+∠ DAB=90°$。接下来结合已知等腰三角形$AE=AC$、$AB=BE$推导角相等关系，再利用同弧所对的圆周角相等，将$∠ C$转化为$∠ D$，即可得到$∠ EAB=∠ D$，代入角度和的关系就能证明$∠ EAD=90°$，完成垂直的证明。
【解析】
如图，连接DB.
$\because AE=AC$,
$\therefore ∠ E=∠ C$.
$\because AB=BE$,
$\therefore ∠ EAB=∠ E=∠ C$.
$\because ∠ C$和$∠ D$都是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，
$\therefore ∠ C=∠ D$.
$\therefore ∠ EAB=∠ D$.
$\because AD$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ABD=90°$.
$\therefore ∠ D+∠ DAB=90°$.
$\therefore ∠ EAB+∠ DAB=90°$,即$∠ EAD=90°$.
$\therefore AE⊥ AD$.
又OA为$\odot O$的半径，
$\therefore AE$是$\odot O$的切线.
【答案】
如图，连接DB.
$\because AE=AC$,
$\therefore ∠ E=∠ C$.
$\because AB=BE$,
$\therefore ∠ EAB=∠ E=∠ C$.
$\because ∠ C$和$∠ D$都是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，
$\therefore ∠ C=∠ D$.
$\therefore ∠ EAB=∠ D$.
$\because AD$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ABD=90°$.
$\therefore ∠ D+∠ DAB=90°$.
$\therefore ∠ EAB+∠ DAB=90°$,即$∠ EAD=90°$.
$\therefore AE⊥ AD$.
又OA为$\odot O$的半径，
$\therefore AE$是$\odot O$的切线.
【知识点】
切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题是切线判定的常规基础题，解题的关键是通过连接辅助线BD构造直径所对的直角，结合等腰三角形的性质和圆周角的相等关系推导垂直，熟练掌握切线的判定条件是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
要证明AE是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明AE垂直于过点A的半径AD，即证$∠ EAD=90°$。首先利用直径的性质：直径所对的圆周角为直角，因此连接BD可得$∠ ABD=90°$，即$∠ D+∠ DAB=90°$。接下来结合已知等腰三角形$AE=AC$、$AB=BE$推导角相等关系，再利用同弧所对的圆周角相等，将$∠ C$转化为$∠ D$，即可得到$∠ EAB=∠ D$，代入角度和的关系就能证明$∠ EAD=90°$，完成垂直的证明。
【解析】
如图，连接DB.
$\because AE=AC$,
$\therefore ∠ E=∠ C$.
$\because AB=BE$,
$\therefore ∠ EAB=∠ E=∠ C$.
$\because ∠ C$和$∠ D$都是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，
$\therefore ∠ C=∠ D$.
$\therefore ∠ EAB=∠ D$.
$\because AD$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ABD=90°$.
$\therefore ∠ D+∠ DAB=90°$.
$\therefore ∠ EAB+∠ DAB=90°$,即$∠ EAD=90°$.
$\therefore AE⊥ AD$.
又OA为$\odot O$的半径，
$\therefore AE$是$\odot O$的切线.
【答案】
如图，连接DB.
$\because AE=AC$,
$\therefore ∠ E=∠ C$.
$\because AB=BE$,
$\therefore ∠ EAB=∠ E=∠ C$.
$\because ∠ C$和$∠ D$都是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，
$\therefore ∠ C=∠ D$.
$\therefore ∠ EAB=∠ D$.
$\because AD$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ABD=90°$.
$\therefore ∠ D+∠ DAB=90°$.
$\therefore ∠ EAB+∠ DAB=90°$,即$∠ EAD=90°$.
$\therefore AE⊥ AD$.
又OA为$\odot O$的半径，
$\therefore AE$是$\odot O$的切线.
【知识点】
切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题是切线判定的常规基础题，解题的关键是通过连接辅助线BD构造直径所对的直角，结合等腰三角形的性质和圆周角的相等关系推导垂直，熟练掌握切线的判定条件是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在$△ ABC$中，AC，BC都与$\odot O$相切，切点分别为A，D，AB经过圆心O，AB交$\odot O$于另一点E，连接AD.若$∠ B＝28°$，则$∠ DAC$的度数为（
A.$28°$
B.$45°$
C.$52°$
D.$59°$
D
）A.$28°$
B.$45°$
C.$52°$
D.$59°$
答案
6.D
解析
【分析】
解题时先从切线的性质切入思考：1. 切线垂直于过切点的半径，因此AC切⊙O于A可得OA⊥AC，BC切⊙O于D可得OD⊥BC，得到两个直角；2. 在Rt△BOD中利用直角三角形两锐角互余求出∠BOD的度数，再结合平角的性质得到圆心角∠AOD的度数；3. 利用OA、OD都是半径，即△OAD为等腰三角形，根据三角形内角和算出底角∠OAD的度数；4. 最后用∠OAC减去∠OAD即可得到∠DAC的度数。
【解析】
解：
∵AC是⊙O的切线，切点为A，AB过圆心O，
∴OA⊥AC，即$∠ OAC=90°$。
∵BC是⊙O的切线，切点为D，
∴OD⊥BC，即$∠ ODB=90°$。
在$Rt△ BOD$中，$∠ B=28°$，
∴$∠ BOD=90°-∠ B=90°-28°=62°$。
∵点B、O、A共线，
∴$∠ AOD=180°-∠ BOD=180°-62°=118°$。
又
∵OA=OD（⊙O的半径相等），
∴$△ OAD$为等腰三角形，
∴$∠ OAD=\frac{180°-∠ AOD}{2}=\frac{180°-118°}{2}=31°$。
∴$∠ DAC=∠ OAC-∠ OAD=90°-31°=59°$。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质基础综合题，核心考查切线性质的应用，需要学生结合三角形内角和、等腰三角形性质梳理角的数量关系，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从切线的性质切入思考：1. 切线垂直于过切点的半径，因此AC切⊙O于A可得OA⊥AC，BC切⊙O于D可得OD⊥BC，得到两个直角；2. 在Rt△BOD中利用直角三角形两锐角互余求出∠BOD的度数，再结合平角的性质得到圆心角∠AOD的度数；3. 利用OA、OD都是半径，即△OAD为等腰三角形，根据三角形内角和算出底角∠OAD的度数；4. 最后用∠OAC减去∠OAD即可得到∠DAC的度数。
【解析】
解：
∵AC是⊙O的切线，切点为A，AB过圆心O，
∴OA⊥AC，即$∠ OAC=90°$。
∵BC是⊙O的切线，切点为D，
∴OD⊥BC，即$∠ ODB=90°$。
在$Rt△ BOD$中，$∠ B=28°$，
∴$∠ BOD=90°-∠ B=90°-28°=62°$。
∵点B、O、A共线，
∴$∠ AOD=180°-∠ BOD=180°-62°=118°$。
又
∵OA=OD（⊙O的半径相等），
∴$△ OAD$为等腰三角形，
∴$∠ OAD=\frac{180°-∠ AOD}{2}=\frac{180°-118°}{2}=31°$。
∴$∠ DAC=∠ OAC-∠ OAD=90°-31°=59°$。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质基础综合题，核心考查切线性质的应用，需要学生结合三角形内角和、等腰三角形性质梳理角的数量关系，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
7. 如图，$△ ABC$为直角三角形，$∠ C=90°$，直角边$BC$与$\odot O$交于点$E$，$BD$是$\odot O$的直径，$OA ⊥ AC$，垂足为$A$，$BA$平分$∠ CBD$。
(1)求证：$AC$与$\odot O$相切。
(2)若$BD=12$，$BE=8$，求$AC$的长。
(1)求证：$AC$与$\odot O$相切。
(2)若$BD=12$，$BE=8$，求$AC$的长。
答案
7.(1)【证明】$\because OA⊥AC$,
$\therefore ∠OAC=90°$.
$\because ∠C=90°$,
$\therefore ∠C+∠OAC=180°$.
$\therefore OA// BC$.
$\therefore ∠OAB=∠CBA$.
$\because BA$平分$∠CBD$,
$\therefore ∠CBA=∠OBA$.
$\therefore ∠OAB=∠OBA$.
$\therefore OA=OB$.
$\because OA$是$\odot O$的半径.
$\therefore AC$与$\odot O$相切.
(2)【解】如图,连接OE,过点O作$OF⊥BE$,垂足为F,
则$BF=EF=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}×8=4$.
$\because BD=12$,
$\therefore OB=\frac{1}{2}BD=6$.
在$Rt△OBF$中,根据勾股定理,得$OF=\sqrt{OB^2-BF^2}=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt{5}$.
$\because OA⊥AC,∠C=90°,OF⊥BC$,
$\therefore ∠OAC=∠C=∠OFC=90°$.
$\therefore$ 四边形OACF是矩形.
$\therefore AC=OF=2\sqrt{5}$.
解析
【分析】
(1)要证明AC与$\odot O$相切，根据切线的判定定理，需证明AC垂直于$\odot O$的半径且经过半径外端。已知$OA⊥AC$，因此只需证明OA是$\odot O$的半径即可：先通过直角互补证明$OA// BC$，结合角平分线的性质推导角相等，得到$OA=OB$，OB是半径，故OA也是半径，即可得证。
(2)求AC的长，可通过作辅助线构造直角三角形和矩形求解：过O作$OF⊥BE$，利用垂径定理求出BF的长度，再在$Rt△OBF$中用勾股定理求出OF的长，最后证明四边形OACF是矩形，利用矩形对边相等即可得到$AC=OF$，求出结果。
【解析】
(1)证明：
$\because OA⊥AC$,
$\therefore ∠OAC=90°$.
$\because ∠C=90°$,
$\therefore ∠C+∠OAC=180°$.
$\therefore OA// BC$.
$\therefore ∠OAB=∠CBA$.
$\because BA$平分$∠CBD$,
$\therefore ∠CBA=∠OBA$.
$\therefore ∠OAB=∠OBA$.
$\therefore OA=OB$.
$\because OB$是$\odot O$的半径，
$\therefore OA$是$\odot O$的半径，
又$\because OA⊥AC$,
$\therefore AC$与$\odot O$相切。
(2)解：
如图，连接OE，过点O作$OF⊥BE$，垂足为F，
根据垂径定理可得：$BF=EF=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}×8=4$.
$\because BD=12$,BD是$\odot O$的直径，
$\therefore OB=\frac{1}{2}BD=6$.
在$Rt△OBF$中，根据勾股定理，得$OF=\sqrt{OB^2-BF^2}=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt{5}$.
$\because OA⊥AC,∠C=90°,OF⊥BC$,
$\therefore ∠OAC=∠C=∠OFC=90°$.
$\therefore$ 四边形OACF是矩形.
$\therefore AC=OF=2\sqrt{5}$.
【答案】
(1)AC与$\odot O$相切，证明见解析；(2)$AC=2\sqrt{5}$
【知识点】
切线的判定；垂径定理；矩形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是熟练掌握切线的判定方法、垂径定理以及矩形的判定与性质，作垂线构造直角三角形和矩形是解决第二问的核心，能够有效考查学生对几何基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1)要证明AC与$\odot O$相切，根据切线的判定定理，需证明AC垂直于$\odot O$的半径且经过半径外端。已知$OA⊥AC$，因此只需证明OA是$\odot O$的半径即可：先通过直角互补证明$OA// BC$，结合角平分线的性质推导角相等，得到$OA=OB$，OB是半径，故OA也是半径，即可得证。
(2)求AC的长，可通过作辅助线构造直角三角形和矩形求解：过O作$OF⊥BE$，利用垂径定理求出BF的长度，再在$Rt△OBF$中用勾股定理求出OF的长，最后证明四边形OACF是矩形，利用矩形对边相等即可得到$AC=OF$，求出结果。
【解析】
(1)证明：
$\because OA⊥AC$,
$\therefore ∠OAC=90°$.
$\because ∠C=90°$,
$\therefore ∠C+∠OAC=180°$.
$\therefore OA// BC$.
$\therefore ∠OAB=∠CBA$.
$\because BA$平分$∠CBD$,
$\therefore ∠CBA=∠OBA$.
$\therefore ∠OAB=∠OBA$.
$\therefore OA=OB$.
$\because OB$是$\odot O$的半径，
$\therefore OA$是$\odot O$的半径，
又$\because OA⊥AC$,
$\therefore AC$与$\odot O$相切。
(2)解：
如图，连接OE，过点O作$OF⊥BE$，垂足为F，
根据垂径定理可得：$BF=EF=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}×8=4$.
$\because BD=12$,BD是$\odot O$的直径，
$\therefore OB=\frac{1}{2}BD=6$.
在$Rt△OBF$中，根据勾股定理，得$OF=\sqrt{OB^2-BF^2}=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt{5}$.
$\because OA⊥AC,∠C=90°,OF⊥BC$,
$\therefore ∠OAC=∠C=∠OFC=90°$.
$\therefore$ 四边形OACF是矩形.
$\therefore AC=OF=2\sqrt{5}$.
【答案】
(1)AC与$\odot O$相切，证明见解析；(2)$AC=2\sqrt{5}$
【知识点】
切线的判定；垂径定理；矩形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是熟练掌握切线的判定方法、垂径定理以及矩形的判定与性质，作垂线构造直角三角形和矩形是解决第二问的核心，能够有效考查学生对几何基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
8. 如图，直线AB，CD相交于点O，$∠ AOC = 45°$，$\odot P$的半径为$\sqrt{2}$ cm，且$OP = 4$ cm。如果$\odot P$以1 cm/s的速度向右平移，那么当$\odot P$与直线CD相切时，平移的时间是
2 s 或 6 s
。答案
8.2 s 或 6 s
解析
【分析】
解题需先明确直线与圆相切的核心判定条件：圆心到直线的距离等于圆的半径。结合已知∠AOC=45°，当圆心到CD的距离等于半径√2 cm时，可通过等腰直角三角形的边长关系求出此时圆心到交点O的距离。要注意圆向右平移时会出现两次与CD相切的情况：第一次是圆心移动到O点左侧时相切，第二次是圆心移动到O点右侧时相切，分别计算两种情况的平移距离，再结合平移速度即可求出对应时间。
【解析】
解：当⊙P与直线CD相切时，圆心P到直线CD的距离等于半径√2 cm。
过平移后的圆心P'作P'H⊥CD于点H，则P'H=√2 cm。
∵∠AOC=45°，
∴△P'OH为等腰直角三角形，
∴$OP' = \sqrt{2} × P'H = \sqrt{2} × \sqrt{2} = 2\ \mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
1. 当⊙P'在点O左侧相切时：
平移的距离为 $OP - OP' = 4 - 2 = 2\ \mathrm{cm}$，
∵平移速度为1 cm/s，
∴平移时间 $t_1 = 2 ÷ 1 = 2\ \mathrm{s}$。
2. 当⊙P'在点O右侧相切时：
平移的距离为 $OP + OP' = 4 + 2 = 6\ \mathrm{cm}$，
∴平移时间 $t_2 = 6 ÷ 1 = 6\ \mathrm{s}$。
综上，平移时间为2 s或6 s。
【答案】2 s 或 6 s
【知识点】直线与圆的位置关系；等腰直角三角形性质；平移的性质
【点评】本题易错点是容易忽略圆心在O点右侧相切的情况，导致漏解，解题时要结合图形全面分析所有可能的位置关系，利用几何性质准确计算平移距离即可求解。
【难度系数】0.6
解题需先明确直线与圆相切的核心判定条件：圆心到直线的距离等于圆的半径。结合已知∠AOC=45°，当圆心到CD的距离等于半径√2 cm时，可通过等腰直角三角形的边长关系求出此时圆心到交点O的距离。要注意圆向右平移时会出现两次与CD相切的情况：第一次是圆心移动到O点左侧时相切，第二次是圆心移动到O点右侧时相切，分别计算两种情况的平移距离，再结合平移速度即可求出对应时间。
【解析】
解：当⊙P与直线CD相切时，圆心P到直线CD的距离等于半径√2 cm。
过平移后的圆心P'作P'H⊥CD于点H，则P'H=√2 cm。
∵∠AOC=45°，
∴△P'OH为等腰直角三角形，
∴$OP' = \sqrt{2} × P'H = \sqrt{2} × \sqrt{2} = 2\ \mathrm{cm}$。
分两种情况讨论：
1. 当⊙P'在点O左侧相切时：
平移的距离为 $OP - OP' = 4 - 2 = 2\ \mathrm{cm}$，
∵平移速度为1 cm/s，
∴平移时间 $t_1 = 2 ÷ 1 = 2\ \mathrm{s}$。
2. 当⊙P'在点O右侧相切时：
平移的距离为 $OP + OP' = 4 + 2 = 6\ \mathrm{cm}$，
∴平移时间 $t_2 = 6 ÷ 1 = 6\ \mathrm{s}$。
综上，平移时间为2 s或6 s。
【答案】2 s 或 6 s
【知识点】直线与圆的位置关系；等腰直角三角形性质；平移的性质
【点评】本题易错点是容易忽略圆心在O点右侧相切的情况，导致漏解，解题时要结合图形全面分析所有可能的位置关系，利用几何性质准确计算平移距离即可求解。
【难度系数】0.6
