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【即学即练】
1. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,以AB为直径的$\odot O$交BC于点D,过点D作$\odot O$的切线交AC于点E.
(1)求$∠ DEC$的度数.
(2)若$AB=AC=5$,$BC=8$,求DE的长.
1. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,以AB为直径的$\odot O$交BC于点D,过点D作$\odot O$的切线交AC于点E.
(1)求$∠ DEC$的度数.
(2)若$AB=AC=5$,$BC=8$,求DE的长.
答案
1.【解】(1)如图,连接OD，
则$OD=OB$.
$\therefore ∠ODB=∠OBD$.
$\because AB=AC$,
$\therefore ∠C=∠OBD$.
$\therefore ∠C=∠ODB$.
$\therefore AC// OD$.
$\because DE$与$\odot O$相切于点D，
$\therefore DE⊥OD$.
$\therefore ∠DEC=∠ODE=90°$.
(2)如图,连接AD.
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ADB=90°$.
又$AB=AC=5,BC=8$,
$\therefore BD=CD=\frac{1}{2}BC=4$.
$\therefore AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$.
由(1)知,$∠DEC=90°$.
$\therefore S_{△ACD}=\frac{1}{2}AC· DE=\frac{1}{2}CD· AD$,即$\frac{1}{2}×5DE=\frac{1}{2}×4×3$.
$\therefore DE=\frac{12}{5}$.
解析
【分析】
(1) 要求∠DEC的度数，已知DE是⊙O的切线，根据切线性质，切线垂直于过切点的半径，因此先连接辅助线OD，可得DE⊥OD；接下来只需证明OD//AC，即可得到DE⊥AC，从而求出∠DEC的度数：利用等腰△OBD和等腰△ABC的底角相等，可推导∠ODB=∠C，进而得到OD//AC。
(2) 要求DE的长，已知AB是直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，连接AD可得AD⊥BC，结合等腰三角形三线合一先求出CD、AD的长度；再利用等积法，△ACD的面积可分别以AC、CD为底计算，列等式即可求出DE的长。
【解析】
(1) 连接OD，
∵ OD=OB（同圆的半径相等），
∴ ∠ODB=∠OBD（等边对等角）。
∵ AB=AC，
∴ ∠C=∠OBD（等边对等角），
∴ ∠C=∠ODB（等量代换），
∴ AC//OD（同位角相等，两直线平行）。
∵ DE与⊙O相切于点D，
∴ DE⊥OD（切线垂直于过切点的半径），
∴ DE⊥AC，即∠DEC=90°。
(2) 连接AD，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），即AD⊥BC。
又
∵ AB=AC=5，BC=8，
∴ BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=4（等腰三角形三线合一）。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
由(1)知∠DEC=90°，即DE是△ACD中AC边上的高，
∴ $S_{△ACD}=\frac{1}{2}·AC·DE=\frac{1}{2}·CD·AD$，
代入数值：$\frac{1}{2}×5×DE=\frac{1}{2}×4×3$，
解得$DE=\frac{12}{5}$。
【答案】
(1) $\boxed{∠DEC=90°}$；(2) $\boxed{DE=\frac{12}{5}}$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与等腰三角形结合的常规题型，解题核心是掌握圆中常见辅助线的构造思路：遇切线连接过切点的半径，遇直径构造其所对的直角，再结合等腰三角形性质和等积法即可求解，这类辅助线作法是圆类几何题的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 要求∠DEC的度数，已知DE是⊙O的切线，根据切线性质，切线垂直于过切点的半径，因此先连接辅助线OD，可得DE⊥OD；接下来只需证明OD//AC，即可得到DE⊥AC，从而求出∠DEC的度数：利用等腰△OBD和等腰△ABC的底角相等，可推导∠ODB=∠C，进而得到OD//AC。
(2) 要求DE的长，已知AB是直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，连接AD可得AD⊥BC，结合等腰三角形三线合一先求出CD、AD的长度；再利用等积法，△ACD的面积可分别以AC、CD为底计算，列等式即可求出DE的长。
【解析】
(1) 连接OD，
∵ OD=OB（同圆的半径相等），
∴ ∠ODB=∠OBD（等边对等角）。
∵ AB=AC，
∴ ∠C=∠OBD（等边对等角），
∴ ∠C=∠ODB（等量代换），
∴ AC//OD（同位角相等，两直线平行）。
∵ DE与⊙O相切于点D，
∴ DE⊥OD（切线垂直于过切点的半径），
∴ DE⊥AC，即∠DEC=90°。
(2) 连接AD，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），即AD⊥BC。
又
∵ AB=AC=5，BC=8，
∴ BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=4（等腰三角形三线合一）。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
由(1)知∠DEC=90°，即DE是△ACD中AC边上的高，
∴ $S_{△ACD}=\frac{1}{2}·AC·DE=\frac{1}{2}·CD·AD$，
代入数值：$\frac{1}{2}×5×DE=\frac{1}{2}×4×3$，
解得$DE=\frac{12}{5}$。
【答案】
(1) $\boxed{∠DEC=90°}$；(2) $\boxed{DE=\frac{12}{5}}$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与等腰三角形结合的常规题型，解题核心是掌握圆中常见辅助线的构造思路：遇切线连接过切点的半径，遇直径构造其所对的直角，再结合等腰三角形性质和等积法即可求解，这类辅助线作法是圆类几何题的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
【典型例题2】如图，AB为$\odot O$的直径，$OC⊥ AB$交$\odot O$于点$C$，$D$为$OB$上一点，连接$CD$并延长交$\odot O$于点$E$，延长$OB$至点$F$，使$DF=FE$。求证：$EF$为$\odot O$的切线。
【证明】连接$OE$(图略)，
则$OE=OC$。
$\therefore∠ OEC=∠ OCE$。
$\because OC⊥ AB$，
$\therefore∠ BOC=90°$。
$\because DF=FE$，
$\therefore∠ FDE=∠ FED$。
$\therefore∠ CDO=∠ FDE=∠ FED$。
$\therefore∠ OEF=∠ OEC+∠ FED=∠ OCE+∠ CDO=180°-∠ BOC=90°$。
又$OE$是$\odot O$的半径，
$\therefore EF$为$\odot O$的切线。
规律方法 已知直线与圆的公共点，要证直线与圆相切，可连接这个公共点和圆心，得到半径，证明这条半径垂直于已知直线即可。
【证明】连接$OE$(图略)，
则$OE=OC$。
$\therefore∠ OEC=∠ OCE$。
$\because OC⊥ AB$，
$\therefore∠ BOC=90°$。
$\because DF=FE$，
$\therefore∠ FDE=∠ FED$。
$\therefore∠ CDO=∠ FDE=∠ FED$。
$\therefore∠ OEF=∠ OEC+∠ FED=∠ OCE+∠ CDO=180°-∠ BOC=90°$。
又$OE$是$\odot O$的半径，
$\therefore EF$为$\odot O$的切线。
规律方法 已知直线与圆的公共点，要证直线与圆相切，可连接这个公共点和圆心，得到半径，证明这条半径垂直于已知直线即可。
答案
证明：连接OE，
则OE=OC，
∴ ∠OEC=∠OCE。
∵ OC⊥AB，
∴ ∠BOC=90°。
∵ DF=FE，
∴ ∠FDE=∠FED。
∵ ∠CDO=∠FDE，
∴ ∠CDO=∠FED。
∴ ∠OEF=∠OEC+∠FED=∠OCE+∠CDO=180°-∠BOC=90°，
即OE⊥EF。
又OE是⊙O的半径，
∴ EF为⊙O的切线。
则OE=OC，
∴ ∠OEC=∠OCE。
∵ OC⊥AB，
∴ ∠BOC=90°。
∵ DF=FE，
∴ ∠FDE=∠FED。
∵ ∠CDO=∠FDE，
∴ ∠CDO=∠FED。
∴ ∠OEF=∠OEC+∠FED=∠OCE+∠CDO=180°-∠BOC=90°，
即OE⊥EF。
又OE是⊙O的半径，
∴ EF为⊙O的切线。
解析
【分析】
要证明EF是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理，已知点E在$\odot O$上，因此只需证明半径OE与EF垂直即可。首先连接OE，先利用等腰三角形等边对等角的性质，分别得到$∠ OEC=∠ OCE$、$∠ FED=∠ FDE$，再结合对顶角相等得到$∠ FDE=∠ CDO$，最后结合$OC⊥ AB$的条件，通过角度的和差与等量代换推导得出$∠ OEF=90°$，即可完成证明。
【解析】
证明：连接$OE$，
则$OE=OC$，
$\therefore ∠ OEC=∠ OCE$。
$\because OC⊥ AB$，
$\therefore ∠ BOC=90°$。
$\because DF=FE$，
$\therefore ∠ FDE=∠ FED$。
$\because ∠ CDO=∠ FDE$，
$\therefore ∠ CDO=∠ FED$。
$\therefore ∠ OEF=∠ OEC+∠ FED=∠ OCE+∠ CDO=180°-∠ BOC=90°$，
即$OE⊥ EF$。
又$OE$是$\odot O$的半径，
$\therefore EF$为$\odot O$的切线。
【答案】
证明：连接$OE$，
则$OE=OC$，
$\therefore ∠ OEC=∠ OCE$。
$\because OC⊥ AB$，
$\therefore ∠ BOC=90°$。
$\because DF=FE$，
$\therefore ∠ FDE=∠ FED$。
$\because ∠ CDO=∠ FDE$，
$\therefore ∠ CDO=∠ FED$。
$\therefore ∠ OEF=∠ OEC+∠ FED=∠ OCE+∠ CDO=180°-∠ BOC=90°$，
即$OE⊥ EF$。
又$OE$是$\odot O$的半径，
$\therefore EF$为$\odot O$的切线。
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是切线判定的基础典型题，核心解题思路是“有公共点，连半径、证垂直”，解题时要灵活运用等腰三角形、对顶角的性质完成角度的等量代换，熟练掌握该思路能快速解决同类型的切线证明问题。
【难度系数】
0.7
要证明EF是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理，已知点E在$\odot O$上，因此只需证明半径OE与EF垂直即可。首先连接OE，先利用等腰三角形等边对等角的性质，分别得到$∠ OEC=∠ OCE$、$∠ FED=∠ FDE$，再结合对顶角相等得到$∠ FDE=∠ CDO$，最后结合$OC⊥ AB$的条件，通过角度的和差与等量代换推导得出$∠ OEF=90°$，即可完成证明。
【解析】
证明：连接$OE$，
则$OE=OC$，
$\therefore ∠ OEC=∠ OCE$。
$\because OC⊥ AB$，
$\therefore ∠ BOC=90°$。
$\because DF=FE$，
$\therefore ∠ FDE=∠ FED$。
$\because ∠ CDO=∠ FDE$，
$\therefore ∠ CDO=∠ FED$。
$\therefore ∠ OEF=∠ OEC+∠ FED=∠ OCE+∠ CDO=180°-∠ BOC=90°$，
即$OE⊥ EF$。
又$OE$是$\odot O$的半径，
$\therefore EF$为$\odot O$的切线。
【答案】
证明：连接$OE$，
则$OE=OC$，
$\therefore ∠ OEC=∠ OCE$。
$\because OC⊥ AB$，
$\therefore ∠ BOC=90°$。
$\because DF=FE$，
$\therefore ∠ FDE=∠ FED$。
$\because ∠ CDO=∠ FDE$，
$\therefore ∠ CDO=∠ FED$。
$\therefore ∠ OEF=∠ OEC+∠ FED=∠ OCE+∠ CDO=180°-∠ BOC=90°$，
即$OE⊥ EF$。
又$OE$是$\odot O$的半径，
$\therefore EF$为$\odot O$的切线。
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是切线判定的基础典型题，核心解题思路是“有公共点，连半径、证垂直”，解题时要灵活运用等腰三角形、对顶角的性质完成角度的等量代换，熟练掌握该思路能快速解决同类型的切线证明问题。
【难度系数】
0.7
2. 如图，AB是$\odot O$的直径，点C在圆上，连接BC，AC. D为$\odot O$外一点，$AD ⊥ CD$，垂足为D，且AC平分$∠ BAD$. 求证：CD为$\odot O$的切线.
答案
2.【证明】如图,连接OC.
$\because OA=OC$,
$\therefore ∠OAC=∠OCA$.
$\because AC$平分$∠BAD$,
$\therefore ∠OAC=∠CAD$.
$\therefore ∠OCA=∠CAD$.
$\therefore OC// AD$.
$\because AD⊥CD$,
$\therefore OC⊥CD$.
又OC为$\odot O$的半径，
$\therefore CD$为$\odot O$的切线.
解析
【分析】
要证明CD是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，因此首先连接半径OC，只需证明$OC⊥ CD$即可。已知$AD⊥ CD$，因此只需推导$OC// AD$：结合等腰三角形等边对等角的性质，以及AC平分$∠ BAD$的条件，可推出内错角$∠ OCA=∠ CAD$，进而得到OC与AD平行，再根据平行线的性质即可得到$OC⊥ CD$，完成证明。
【解析】
证明：如图，连接OC。
$\because OA=OC$，
$\therefore ∠ OAC=∠ OCA$。
$\because AC$平分$∠ BAD$，
$\therefore ∠ OAC=∠ CAD$。
$\therefore ∠ OCA=∠ CAD$。
$\therefore OC// AD$。
$\because AD⊥ CD$，
$\therefore OC⊥ CD$。
又OC为$\odot O$的半径，
$\therefore CD$为$\odot O$的切线。
【答案】
证明：如图,连接OC.
$\because OA=OC$,
$\therefore ∠OAC=∠OCA$.
$\because AC$平分$∠BAD$,
$\therefore ∠OAC=∠CAD$.
$\therefore ∠OCA=∠CAD$.
$\therefore OC// AD$.
$\because AD⊥CD$,
$\therefore OC⊥CD$.
又OC为$\odot O$的半径，
$\therefore CD$为$\odot O$的切线.
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；平行线的判定与性质
【点评】
本题是切线判定的基础题型，解题的核心是掌握切线判定的常用思路：若已知直线与圆有公共点时，连接圆心和公共点，证明半径与直线垂直即可，解题过程中需熟练结合等腰三角形、角平分线、平行线的性质推导垂直关系。
【难度系数】
0.7
要证明CD是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，因此首先连接半径OC，只需证明$OC⊥ CD$即可。已知$AD⊥ CD$，因此只需推导$OC// AD$：结合等腰三角形等边对等角的性质，以及AC平分$∠ BAD$的条件，可推出内错角$∠ OCA=∠ CAD$，进而得到OC与AD平行，再根据平行线的性质即可得到$OC⊥ CD$，完成证明。
【解析】
证明：如图，连接OC。
$\because OA=OC$，
$\therefore ∠ OAC=∠ OCA$。
$\because AC$平分$∠ BAD$，
$\therefore ∠ OAC=∠ CAD$。
$\therefore ∠ OCA=∠ CAD$。
$\therefore OC// AD$。
$\because AD⊥ CD$，
$\therefore OC⊥ CD$。
又OC为$\odot O$的半径，
$\therefore CD$为$\odot O$的切线。
【答案】
证明：如图,连接OC.
$\because OA=OC$,
$\therefore ∠OAC=∠OCA$.
$\because AC$平分$∠BAD$,
$\therefore ∠OAC=∠CAD$.
$\therefore ∠OCA=∠CAD$.
$\therefore OC// AD$.
$\because AD⊥CD$,
$\therefore OC⊥CD$.
又OC为$\odot O$的半径，
$\therefore CD$为$\odot O$的切线.
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；平行线的判定与性质
【点评】
本题是切线判定的基础题型，解题的核心是掌握切线判定的常用思路：若已知直线与圆有公共点时，连接圆心和公共点，证明半径与直线垂直即可，解题过程中需熟练结合等腰三角形、角平分线、平行线的性质推导垂直关系。
【难度系数】
0.7
