【变式】（2024·南京三模）如图，E，F分别是□ABCD的边BC，AD上的点，且CE = AF.
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AE = BE，∠BAC = 90°，求证：四边形AECF是菱形.
　　　　　　　　　　　　

（1）∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB = CD，
AD = BC，∠B = ∠D. ∵ CE = AF，∴ BC - CE = AD - AF，即
BE = DF. 在△ABE和△CDF中，$\begin{cases} AB = CD \\ \angle B=\angle D \\ BE = DF \end{cases}$，∴ △ABE≌
△CDF.（2）∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD//BC.
∵ CE = AF，∴ 四边形AECF是平行四边形. ∵ AE = BE，
∴ ∠BAE = ∠ABE. ∵ ∠BAC = 90°，∴ ∠ABE + ∠ACE =
90°，∠BAE + ∠CAE = 90°. ∴ ∠ACE = ∠CAE. ∴ AE = CE.
∴ 四边形AECF是菱形.

典例5（2024·盐城东台一模）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，CE交DF于点G，连接AG. 有下列结论：①CE = DF；②CE⊥DF；③∠EAG = 30°；④∠AGE = ∠CDF. 其中，正确的是（ ）
A. ①②
B. ①③
C. ①②④
D. ①②③
　　　　　　　　　　　　　　

∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB = BC = CD = AD，
∠B = ∠BCD = 90°. ∵ E，F分别是AB，BC的中点，∴ BE =
$\frac{1}{2}$AB，CF = $\frac{1}{2}$BC. ∴ BE = CF. 在△CBE和△DCF中，
$\begin{cases} BC = CD \\ \angle B=\angle DCF \\ BE = CF \end{cases}$， ∴ △CBE≌△DCF. ∴ ∠BCE = ∠CDF，
CE = DF. 故①正确. ∵ ∠BCE + ∠DCE = 90°，∴ ∠DCE +
∠CDF = 90°，即∠CGD = 90°. ∴ CE⊥DF. 故②正确. ∵ CE⊥
DF，∴ ∠EGD = 90°. 如图，延长CE交DA的延长线于点H.
∵ E是AB的中点，∴ AE = BE. ∵ AD//BC，∴ ∠H =
∠BCE. 又∵ ∠AEH = ∠BEC，∴ △AEH≌△BEC. ∴ AH =
BC = AD. ∴ AG是Rt△DGH的斜边上的中线. ∴ AG =
$\frac{1}{2}$DH = AD. ∴ ∠ADG = ∠AGD. ∵ CF = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$CD，
∴ ∠CDF≠30°. ∴ ∠ADG = ∠AGD≠60°. ∴ ∠DAG≠60°.
∴ ∠EAG≠30°. 故③错误. ∵ ∠AGE + ∠AGD = 90°，
∠CDF + ∠ADG = 90°，∴ ∠AGE = ∠CDF. 故④正确. 综上所述，①②④正确. 故选C;

典例6（2024·扬州邗江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，D是BC的中点，E是AD的中点. 过点A作AF//BC，交BE的延长线于点F，连接CF.
（1）求证：△AEF≌△DEB.
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由.
　　　　　　　　　　　

（1）∵ AF//BC，∴ ∠AFE = ∠DBE. ∵ E是AD的中点，∴ AE = DE. 在△AEF和△DEB中，$\begin{cases} \angle AFE=\angle DBE \\ \angle FEA=\angle BED \\ AE = DE \end{cases}$，
∴ △AEF≌△DEB.（2）当AB = AC时，四边形ADCF是正方形. 理由：由（1）知，△AEF≌△DEB，∴ AF = DB. ∵ D是BC的中点，∴ BD = CD. ∴ AF = CD. ∵ AF//BC，∴ 四边形ADCF是平行四边形. ∵ ∠BAC = 90°，D是BC的中点，∴ AD = CD = $\frac{1}{2}$BC. ∴ 四边形ADCF是菱形. ∵ AB = AC，D是BC的中点，∴ AD⊥BC. ∴ 四边形ADCF是正方形.

【变式】（2023·苏州昆山模拟）在四边形ABCD中，∠A = ∠B = ∠C = 90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）

A. ∠D = 90°
B. AB = CD
C. AC = BD
D. BC = CD

D.