典例1（2023·宿迁）如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F. 求证：AF = CE.
　　　　　　　　　　　　　

∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB = CD，AB//CD.
∴ ∠BAE = ∠DCF. 又∵ BE⊥AC，DF⊥AC，∴ ∠AEB =
∠CFD = 90°. 在△ABE和△CDF中，$\begin{cases} \angle AEB=\angle CFD \\ \angle BAE=\angle DCF \\ AB = CD \end{cases}$，
∴ △ABE≌△CDF. ∴ AE = CF. ∴ AE + EF = CF + EF，即
AF = CE.

典例2（2024·南京建邺二模）如图，在□ABCD中，E是边CD的中点，延长BC，AE交于点F，连接AC，DF.
（1）求证：AC = DF；
（2）若AB = AF，求证：四边形ACFD为矩形.
　　　　　　　　　　　　　　

（1）∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD//BC.
∴ ∠ADE = ∠FCE. ∵ E为边CD的中点，∴ DE = CE. 在
△AED和△FEC中，$\begin{cases} \angle ADE=\angle FCE \\ DE = CE \\ \angle AED=\angle FEC \end{cases}$， ∴ △AED≌△FEC.
∴ AE = FE. 又∵ DE = CE，∴ 四边形ACFD是平行四边形.
∴ AC = DF.（2）由（1）可知，四边形ACFD是平行四边形.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB = CD. ∵ AB = AF，
∴ CD = AF. ∴ 四边形ACFD为矩形.

典例3（2024·徐州铜山二模）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF. 若∠B = 55°，则∠AEF的度数为（ ）
A. 55°
B. 57.5°
C. 60°
D. 62.5°
　　　　　　　　　　　　　　

D.

典例4（2024·无锡江阴一模）如图，在□ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线，分别与边AB，CD交于点F，E，连接AE，CF. 求证：
（1）△AOF≌△COE；
（2）四边形AFCE是菱形.
　　　　　　　　　　　　　　

（1）∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB//CD.
∴ ∠OAF = ∠OCE. ∵ O是AC的中点，∴ OA = OC. 在
△AOF和△COE中，$\begin{cases} \angle OAF=\angle OCE \\ OA = OC \\ \angle AOF=\angle COE \end{cases}$， ∴ △AOF≌△COE.
（2）由（1）知，△AOF≌△COE，∴ AF = CE. ∵ 四边形ABCD
是平行四边形，∴ AF//CE. ∴ 四边形AFCE为平行四边形.
∵ EF⊥AC，∴ 四边形AFCE为菱形.